Лекции по математическому анализу Часть I москва 2012 б у т у з о в В. Ф. Лекции по математическому анализу. Часть I

3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
25
Числовая последовательность это функция, определен-
ная на множестве натуральных чисел:
f
(
n
)
,
n
?
N
. Обычно
числовую последовательность обозначают так:
{
x
n
}
=
x
1
,
x
2
, ... ,
x
n
, ...
.
Индекс
n
называется номером члена последовательности
x
n
.
Определение. Число
a
называется пределом числовой после-
довательности
{
x
n
}
, если
?
? >
0
?
N
?
N
, такой, что
?
n > N
выполнено неравенство
|
x
n
?
a
|
< ?
.
Обозначение:
lim
n
?
+
?
x
n
=
a.
Если последовательность
{
x
n
}
имеет предел, то говорят, что
она сходится, а если не имеет предела, то говорят, что она
расходится.
Задание. Пусть
x
n
=
n
+
1
n
. Докажите, пользуясь определе-
нием предела числовой последовательности, что
lim
n
?
+
?
x
n
=
1
.
џ 3. Бесконечно малые и бесконечно большие
функции
Определение. Функция
f
(
x
)
называется бесконечно малой
в точке
a
(при
x
?
a
), если
lim
x
?
a
f
(
x
) =
0
.
Иначе говоря, функция
f
(
x
)
бесконечно малая в точке
a
,
если
?
? >
0
?
? >
0,
?
x
? {
0
<
|
x
?
a
|
< ?
}
:
|
f
(
x
)
|
< ?
. Разуме-
ется, неравенство
|
f
(
x
)
|
< ?
должно выполняться для тех
x
из
проколотой
?
?
окрестности точки
a
, которые входят в область
определения
X
функции
f
(
x
)
, но для краткости записи условие
x
?
X
будем часто опускать.
Примеры.
1) Функция
f
(
x
) = sin
x
является бесконечно малой в точке
x
=
0, так как (это было доказано)
lim
x
?
0
sin
x
=
0
.

26
Гл. 2. Предел функции
2) Функция
f
(
x
) =
sin
x
, если
x
6
=
0
1, если
x
=
0
также является бесконечно малой в точке
x
=
0 (заметим, что
при этом
f
(
0
) =
1
6
=
0).
3) Функция
f
(
x
) =
sgn
x
не является бесконечно малой в
точке
x
=
0, хотя
f
(
0
) =
0.
Аналогично определяется бесконечно малая при
x
?
+
?
(или
??
) функция, в частности, бесконечно малая последова-
тельность
{
x
n
}
:
lim
n
??
x
n
=
0
.
Примеры.
1) Функция
f
(
x
) =
1
/x
является бесконечно малой при
x
? ?
.
2) Последовательность
{
1
/n
}
является бесконечно малой.
Определение. Функция
f
(
x
)
называется бесконечно боль-
шой в точке
a
(при
x
?
a
)
, если
?
A >
0
?
? >
0,
?
x
? {
0
<
|
x
?
a
|
< ?
}
:
|
f
(
x
)
|
> A.
Обозначение:
lim
x
?
a
f
(
x
) =
?
.
Если при этом выполнено неравенство
f
(
x
)
> A
(
f
(
x
)
<
?
A
)
, то
пишут
lim
x
?
a
f
(
x
) = +
?
(
??
)
.
Пример. Функция
f
(
x
) =
1
/x
является бесконечно большой в
точке
x
=
0 (для доказательства этого утверждения достаточно
?
A >
0 взять
?
=
1
/A
).
Аналогично определяется бесконечно большая функция при
x
?
+
?
(
??
) , а также при
x
?
a
+
0
(
x
?
a
?
0
)
.
Примеры:
lim
x
?
+
0
1
x
= +
?
;
lim
x
??
0
1
x
=
??
.
Задание. Докажите следующие утверждения (считая, что
f
(
x
)
определена в некоторой проколотой окрестности точки
a
):
1) если
f
(
x
)
бесконечно большая в точке
a
функция, то в
некоторой проколотой окрестности точки
a
определена функция
g
(
x
) =
1
/f
(
x
)
и она является бесконечно малой в точке
a
.
2) если
f
(
x
)
бесконечно малая в точке
a
функция и
f
(
x
)
6
=
0 в
некоторой проколотой окрестности точки
a
, то
g
(
x
) =
1
/f
(
x
)

3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
27
бесконечно большая функция в точке
a
.
3) если
f
(
x
) =
c
=
const и
lim
x
?
a
f
(
x
) =
0,
то
c
=
0.
Теорема 2. Сумма и разность двух бесконечно малых в точке
a
функций являются бесконечно малыми в точке
a
функциями.
Доказательство. Пусть
f
(
x
)
и
g
(
x
)
бесконечно малые в точке
a
функции. Тогда
?
? >
0
?
?
1
>
0,
?
x
? {
0
<
|
x
?
a
|
< ?
1
}
:
|
f
(
x
)
|
<
?
2
,
и также
?
?
2
>
0,
?
x
? {
0
<
|
x
?
a
|
< ?
2
}
:
|
g
(
x
)
|
<
?
2
.
Возьмем
?
= min(
?
1
,
?
2
)
. Тогда
?
x
? {
0
<
|
x
?
a
|
< ?
}
выполнены
неравенства
|
f
(
x
)
|
<
?
2
и
|
g
(
x
)
|
<
?
2
,
следовательно,
?
x
? {
0
<
|
x
?
a
|
< ?
}
:
|
f
(
x
)
±
g
(
x
)
|
6
|
f
(
x
)
|
+
|
g
(
x
)
|
< ?
,
а это и означает, что функции
f
(
x
) +
g
(
x
)
и
f
(
x
)
?
g
(
x
)
являются
бесконечно малыми в точке
a
.
Следствие. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно
малых в точке
a
функций является бесконечно малой в точке
a
функцией.
Доказательство проведем по индукции. Для двух слагаемых
утверждение верно в силу теоремы 2. Предположим, что утвер-
ждение верно для
n
слагаемых
(
n
>
2
)
, и докажем, что тогда оно
верно и для
n
+
1 слагаемых.
Пусть
f
1
(
x
)
,
f
2
(
x
)
,
...
,
f
n
(
x
)
,
f
n
+
1
(
x
)
бесконечно малые в
точке
a
функции. Их сумму представим в виде
n
+
1
X
i
=
1
f
i
(
x
) =
n
X
i
=
1
f
i
(
x
) +
f
n
+
1
(
x
) =
g
(
x
) +
f
n
+
1
(
x
)
Функция
g
(
x
)
является бесконечно малой в точке
a
в силу
индуктивного предположения. Поэтому
n
+
1
X
i
=
1
f
i
(
x
)
представляет

28
Гл. 2. Предел функции
собой сумму двух бесконечно малых в точке
a
функций
g
(
x
)
и
f
n
+
1
(
x
)
, а такая сумма является бесконечно малой в точке
a
функцией в силу теоремы 2. Следствие доказано.
Теорема 3. Произведение бесконечно малой в точке
a
функ-
ции на ограниченную в окрестности точки
a
функцию есть
бесконечно малая функция в точке
a
.
Доказательство. Пусть
f
(
x
)
бесконечно малая в точке
a
функ-
ция, а
g
(
x
)
ограниченная функция в некоторой окрестности
точки
a
(обозначим эту окрестность
?
). Тогда существует такое
число
M >
0, что
?
x
?
?
:
|
g
(
x
)
|
6
M
.
Зададим произвольное
? >
0. Так как
f
(
x
)
бесконечно
малая в точке
a
функция, то
?
? >
0,
?
x
? {
0
<
|
x
?
a
|
< ?
}
:
|
f
(
x
)
|
<
?
M
.
Возьмем
?
1
6
?
столь малым, что
?
1
-окрестность точки
a
принад-
лежит
?
. Тогда
?
x
? {
0
<
|
x
?
a
|
< ?
1
}
:
|
f
(
x
)
·
g
(
x
)
|
=
|
f
(
x
)
| · |
g
(
x
)
|
<
?
M
=
?
,
а это и означает, что
f
(
x
)
·
g
(
x
)
бесконечно малая в точке
a
функция.
Следствие. Произведение конечного числа ограниченных
функций, из которых хотя бы одна бесконечно малая в точке
a
, есть бесконечно малая в точке
a
функция.
Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших
функций
1) Пусть
f
(
x
)
и
g
(
x
)
бесконечно малые в точке
a
функции.
Тогда
lim
x
?
a
f
(
x
)
g
(
x
)
называется неопределенностью типа
0
0
.
Пример.
lim
x
?
0
sin
x
x
является неопределенностью типа
0
0
.
Определение. Функция
f
(
x
)
называется бесконечно малой
более высокого порядка (имеет более высокий порядок мало-
сти), чем
g
(
x
)
при
x
?
a
, если
lim
x
?
a
f
(
x
)
g
(
x
)
=
0
.

3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
29
Обозначение:
f
=
o
(
g
)
при
x
?
a
(символ o(g) читается так:
о-малое от
g
).
Пример.
x
2
=
o
(
x
)
при
x
?
0.
Определение. Функции
f
(
x
)
и
g
(
x
)
называются бесконечно
малыми одного порядка (имеют одинаковый порядок малости)
при
x
?
a
, если
lim
x
?
a
f
(
x
)
g
(
x
)
=
b
6
=
0
.
Обозначение:
f
=
O
(
g
)
при
x
?
a
(символ O(g) читается так:
O-большое от
g
).
Пример. 2
x
2
+
x
3
=
O
(
x
2
)
при
x
?
0.
Определение. Функции
f
(
x
)
и
g
(
x
)
называются эквивалент-
ными бесконечно малыми при
x
?
a
, если
lim
x
?
a
f
(
x
)
g
(
x
)
=
1
.
Обозначение:
f
?
g
при
x
?
a
.
Примеры.
1)
x
2
+
x
3
?
x
2
при
x
?
0.
2)
sin
x
?
x
при
x
?
0 (это будет доказано ниже).
Замечание. Для неопределенностей типа
0
0
при
x
?
a
+
0,
x
?
a
?
0 и
x
? ?
можно дать аналогичные определения.
Свойства символа ѕo-малоеї:
а) o
(
g
)
±
o
(
g
) =
o
(
g
)
.
б) Если
f
=
o
(
g
)
, то o
(
f
)
±
o
(
g
) =
o
(
g
)
.
Пример: o
(
x
2
)
±
o
(
x
) =
o
(
x
)
.
в) Если
f
и
g
бесконечно малые, то
f
·
g
=
o
(
f
)
,
f
·
g
=
o
(
g
)
.
г) Если
f
?
g
, то
f
?
g
=
o
(
f
)
и
f
?
g
=
o
(
g
)
.
д) o
(
c
·
g
) =
o
(
g
)
, если
c
=
const
6
=
0.
е) o
(
g
+
o
(
g
)) =
o
(
g
)
. Пример: o
(
x
+
2
x
2
) =
o
(
x
)
.
Справедливость этих утверждений нетрудно доказать, используя
определение символа ѕo-малоеї.
Замечание. Равенства с символом ѕo-малоеї, как прави-
ло, верны только в одну сторону (слева направо). Например,
x
2
=
o
(
x
)
при
x
?
0, но, вообще говоря, o
(
x
)
6
=
x
2
.
2) Пусть
f
(
x
)
и
g
(
x
)
бесконечно большие в точке
a
функ-
ции. Тогда
lim
x
?
a
f
(
x
)
g
(
x
)

30
Гл. 2. Предел функции
называется неопределенностью типа
?
?
.
Определение. Говорят, что функция
f
(
x
)
имеет при
x
?
a
более высокий порядок роста, чем функция
g
(
x
)
, если
lim
x
?
a
f
(
x
)
g
(
x
)
=
?
.
Пример. Функция
f
(
x
) =
1
/x
2
имеет при
x
?
0 более высо-
кий порядок роста, чем функция
g
(
x
) =
1
/x
, так как
lim
x
?
0
f
(
x
)
g
(
x
)
= lim
x
?
0
1
x
=
?
.
Определение. Говорят, что функции
f
(
x
)
и
g
(
x
)
имеют при
x
?
a
одинаковый порядок роста, если
lim
x
?
a
f
(
x
)
g
(
x
)
=
b
6
=
0
.
Пример. Функции
f
(
x
) =
1
/x
+
1 и
g
(
x
) =
1
/x
имеют при
x
?
0 одинаковый порядок роста.
3) Существуют другие типы неопределенностей:
? ? ?
, 0
· ?
, 1
?
, 0
0
,
?
0
.
Приведем примеры.
а)
lim
x
?
+
?
(
p
x
2
+
x
?
x
)
является неопределенностью типа
? ? ?
.
б)
lim
x
?
0
x
·
ctg
x
является неопределенностью типа 0
· ?
.
в)
lim
x
?
0
(
1
+
x
)
1
/x
является неопределенностью типа 1
?
.
г)
lim
x
?
0
+
0
x
x
является неопределенностью типа 0
0
.
д)
lim
x
?
+
?
x
1
/x
является неопределенностью типа
?
0
.

4. Свойства пределов функций
31
џ 4. Свойства пределов функций
Лемма 1. Если
lim
x
?
a
f
(
x
) =
b
,
то
f
(
x
) =
b
+
?
(
x
)
, где
?
(
x
)
бесконечно малая функция в точке
a
.
Доказательство. Согласно определению предела
?
? >
0
?
? >
0,
?
x
? {
0
<
|
x
?
a
|
< ?
}
:
|
f
(
x
)
?
b
|
< ?.
Это означает, что функция
?
(
x
) =
f
(
x
)
?
b
бесконечно малая в
точке
a
. Представим
f
(
x
)
в виде
f
(
x
) =
b
+ [
f
(
x
)
?
b
] =
b
+
?
(
x
)
.
Тем самым лемма 1 доказана.
Лемма 2 (обратная). Если
f
(
x
) =
b
+
?
(
x
)
, где
b
число, а
?
(
x
)
бесконечно малая функция в точке
a
, то
lim
x
?
a
f
(
x
) =
b.
Докажите лемму 2 самостоятельно.
Теорема 4. Пусть функции
f
(
x
)
и
g
(
x
)
определены в проко-
лотой окрестности точки
a
, и пусть
lim
x
?
a
f
(
x
) =
b
,
lim
x
?
a
g
(
x
) =
c.
Тогда:
1)
lim
x
?
a
[
f
(
x
)
±
g
(
x
)] =
b
±
c.
2)
lim
x
?
a
f
(
x
)
g
(
x
) =
bc.
3) если
c
6
=
0, то в некоторой проколотой окрестности точки
a
определена функция
f
(
x
)
/g
(
x
)
и
lim
x
?
a
f
(
x
)
g
(
x
)
=
b
c
.
Доказательство. 1) В силу леммы 1
f
(
x
) =
b
+
?
(
x
)
,
g
(
x
) =
c
+
?
(
x
)
,
(2.1)
где
?
(
x
)
и
?
(
x
)
бесконечно малые функции в точке
a
. Поэтому
f
(
x
)
±
g
(
x
) = (
b
±
c
) +
?
(
x
)
±
?
(
x
) = (
b
±
c
) +
?
(
x
)
,
(2.2)

32
Гл. 2. Предел функции
где
?
(
x
) =
?
(
x
)
±
?
(
x
)
бесконечно малая функция в точке
a
в силу теоремы 2. Согласно лемме 2 из равенства (
2.2
) следует,
что
lim
x
?
a
[
f
(
x
)
±
g
(
x
)] =
b
±
c.
2) Докажите самостоятельно.
3) Пусть
c >
0 (для
c <
0 доказательство аналогичное). Возьмем
?
=
c
2
. По определению предела функции
?
? >
0,
?
x
? {
0
<
|
x
?
a
|
< ?
}
:
|
g
(
x
)
?
c
|
< ?
,
то есть
c
?
? < g
(
x
)
< c
+
?
, или
c
2
< g
(
x
)
<
3
c
2
, поскольку
?
=
c
2
. Из левого неравенства следует, что
g
(
x
)
6
=
0 в проколотой
?
?
окрестности точки
a
, и, следовательно, в этой проколотой
окрестности определена функция
f
(
x
)
g
(
x
)
.
Используя равенства (
2.1
), получаем:
f
(
x
)
g
(
x
)
?
b
c
=
b
+
?
(
x
)
c
+
?
(
x
)
?
b
c
=
c?
(
x
)
?
b?
(
x
)
c
·
g
(
x
)
:=
?
(
x
)
.
(2.3)
(Символ
:=
означает, что дробь, стоящая слева от этого символа,
обозначена через
?
(
x
)
).
Функция
1
cg
(
x
)
ограничена в проколотой
?
?
окрестности точ-
ки
a
, так как
g
(
x
)
>
c
2
и, следовательно, 0
<
1
cg
(
x
)
<
2
c
2
, а
функция
c?
(
x
)
?
b?
(
x
)
бесконечно малая в точке
a
в силу
теорем 2 и 3. Поэтому
?
(
x
)
бесконечно малая в точке
a
функция (по теореме 3).
Из равенства (
2.3
) следует, что
f
(
x
)
g
(
x
)
=
b
c
+
?
(
x
)
, а это в силу
леммы 2 означает, что
lim
x
?
a
f
(
x
)
g
(
x
)
=
b
c
.
Теорема 4 доказана.
Замечание 1. Теорема 4 справедлива в отношении пределов
функций при
x
? ?
.

4. Свойства пределов функций
33
Следствия из теоремы 4:
1)
lim
x
?
a
cf
(
x
) =
c
lim
x
?
a
f
(
x
)
,
где
c
=
const.
2) Пусть
P
n
(
x
)
и
Q
m
(
x
)
многочлены степени
n
и
m
, тогда
функция
f
(
x
) =
P
n
(
x
)
/Q
m
(
x
)
называется рациональной функ-
цией или рациональной дробью.
Имеет место следующее утверждение: если
Q
m
(
a
)
6
=
0, то
lim
x
?
a
P
n
(
x
)
Q
m
(
x
)
=
P
n
(
a
)
Q
m
(
a
)
.
Доказательство. Пусть
Q
m
(
x
) =
C
m
x
m
+
C
m
?
1
x
m
?
1
+
...
+
C
0
,
где
C
i
какие-то числа (коэффициенты многочлена
Q
m
(
x
)
).
Ранее было доказано, что
lim
x
?
a
x
=
a.
Отсюда, в силу теоремы 4, следует, что
lim
x
?
a
x
i
=
a
i
(
i
=
1, 2,
...
,
m
)
,
lim
x
?
a
c
i
x
i
=
c
i
a
i
,
lim
x
?
a
Q
m
(
x
) =
c
m
a
m
+
c
m
?
1
a
m
?
1
+
...
+
c
0
=
Q
m
(
a
)
.
Аналогично,
lim
x
?
a
P
n
(
x
) =
P
n
(
a
)
,
а так как
Q
m
(
a
)
6
=
0, то
lim
x
?
a
P
n
(
x
)
Q
m
(
x
)
=
lim
x
?
a
P
n
(
x
)
lim
x
?
a
Q
m
(
x
)
=
P
n
(
a
)
Q
m
(
a
)
.
Пример.
lim
x
?
2
x
2
?
2
x
x
2
?
5
x
+
6
= lim
x
?
2
x
(
x
?
2
)
(
x
?
2
)(
x
?
3
)
= lim
x
?
2
x
x
?
3
=
2
?
1
=
?
2
.
Теорема 5. Если в некоторой проколотой окрестности точки
a
выполняется неравенство
f
(
x
)
>
c
(
f
(
x
)
6
c
)
и существует
lim
x
?
a
f
(
x
) =
b
,
2 В.Ф. Бутузов

34
Гл. 2. Предел функции
то
b
>
c
(
b
6
c
)
.
Доказательство. Рассмотрим случай, когда
f
(
x
)
>
c
, и докажем,
что
b
>
c
. Допустим, что
b < c
, и возьмем
? >
0 столь малым, что
b
+
? < c
. По определению предела функции существует
? >
0
такое, что в проколотой
?
?
окрестности точки
a
выполняется
неравенство
|
f
(
x
)
?
b
|
< ?
или
b
?
? < f
(
x
)
< b
+
?
. Таким обра-
зом, в некоторой проколотой
?
?
окрестности точки
a
должны од-
новременно выполняться неравенства
f
(
x
)
>
c
и
f
(
x
)
< b
+
? < c
,
чего не может быть. Полученное противоречие доказывает, что
b
>
c
.
Замечание 2. Теорема 5 справедлива в отношении предела
функции при
x
? ?
.
Замечание 3 (о пределе последовательности). Если для лю-
бого номера
n
выполнено неравенство
c
6
x
n
6
b
и существует
lim
n
??
x
n
=
a
, то
c
6
a
6
b
.
Замечание 4. Из условия
f
(
x
)
> c
не следует, что и предел
функции будет больше
c
. Приведем пример: 1
/x >
0 при
x >
0 ,
тогда как
lim
x
??
1
x
=
0
.
Теорема 6. Если в проколотой окрестности точки
a
выпол-
няются неравенства
f
(
x
)
6
g
(
x
)
6
h
(
x
)
, и существуют пределы
функций
f
(
x
)
и
h
(
x
)
при
x
?
a
, причем
lim
x
?
a
f
(
x
) = lim
x
?
a
h
(
x
) =
b
,
то существует
lim
x
?
a
g
(
x
) =
b.
Доказательство. Зададим произвольное
? >
0. Согласно опре-
делению предела функции найдется проколотая
?
?
окрестность
точки
a
, в которой
|
f
(
x
)
?
b
|
< ?
,
|
h
(
x
)
?
b
|
< ?
и, кроме того,
выполняются неравенства
f
(
x
)
?
b
6
g
(
x
)
?
b
6
h
(
x
)
?
b
. Отсюда
следует, что
|
g
(
x
)
?
b
|
< ?
при
x
? {
0
<
|
x
?
a
|
< ?
}
, а это и
означает, что
lim
x
?
a
g
(
x
) =
b
.
џ 5. Теорема о пределе монотонной функции
Определение. Функция
f
(
x
)
называется: а) возрастающей,
б) убывающей, в) невозрастающей, г) неубывающей на мно-
жестве
X
, если для любых
x
1
,
x
2
?
X
, таких, что
x
1
< x
2
,

5. Теорема о пределе монотонной функции
35
выполняется неравенство: а)
f
(
x
1
)
< f
(
x
2
)
, б)
f
(
x
1
)
> f
(
x
2
)
, в)
f
(
x
1
)
>
f
(
x
2
)
, г)
f
(
x
1
)
6
f
(
x
2
)
.
Функции а)-г) называются монотонными, а функции а) и
б) строго монотонными на множестве
X
.
Примеры.
1) Функция
f
(
x
) =
x
2
является возрастающей на полупрямой
(
0;
+
?
)
.
2) Функция
f
(
x
) = [
x
]
(целая часть
x
) не убывает на числовой
прямой
(
??
;
+
?
)
.
Теорема 7. Если функция
f
(
x
)
монотонна и ограничена на
полупрямой
x
>
a
, то существует
lim
x
?
+
?
f
(
x
)
.
Доказательство. Рассмотрим случай, когда функция
f
(
x
)
не
убывает на полупрямой
x
>
a
и ограничена сверху на этом
множестве (случай невозрастающей функции рассматривается
аналогично). Тогда существует точная верхняя грань функции
(обозначим ее буквой
b
):
sup
x
?
[
a
;
+
?
)
f
(
x
) =
b.
Докажем, что
lim
x
?
+
?
f
(
x
) =
b.
Зададим произвольное
? >
0 и рассмотрим число
b
?
?
. По
определению точной верхней грани функции
?
A
?
[
a
;
+
?
) :
f
(
A
)
> b
?
?
. Поскольку
f
(
x
)
не убывает, то
f
(
x
)
>
f
(
A
)
при
x > A
, и, следовательно,
f
(
x
)
> b
?
?
при
x > A
. Отсюда полу-
чаем неравенство
b
?
f
(
x
)
< ?
при
x > A
, или
|
f
(
x
)
?
b
|
< ?
при
x > A
, а это означает, что
lim
x
??
f
(
x
) =
b
. Теорема 7 доказана.
Замечание. Аналогичная теорема имеет место для правого и
левого пределов функции в точке
a
: если функция
f
(
x
)
монотон-
на и ограничена в правой (левой) полуокрестности точки
a
, то
существует
lim
x
?
a
+
0
f
(
x
)
lim
x
?
a
?
0
f
(
x
)
.
Следствие. Монотонная ограниченная последовательность
сходится.
Пример. Рассмотрим последовательность
x
n
=
1
+
1
n
n
. До-
кажем, что
{
x
n
}
монотонная ограниченная последователь-
2*

36
Гл. 2. Предел функции
ность (тем самым будет доказано, что эта последовательность
сходится).
Нам потребуется неравенство Бернулли:
?
n
?
N
и
?
x
?
[
?
1,
+
?
) : (
1
+
x
)
n
>
1
+
nx
,
причем при
n >
1 знак равенства имеет место только для случая
x
=
0 (предлагается доказать это неравенство самостоятельно,
используя метод математической индукции).
Покажем, используя неравенство Бернулли, что последова-
тельность
{
x
n
}
монотонно возрастает:
x
n
+
1
x
n
=
1
+
1
n
+
1
n
+
1
1
+
1
n
n
=
1
+
1
n
+
1
n
+
1
1
+
1
n
n
+
1
·
1
+
1
n
=
=
n
2
+
2
n
+
1
?
1
n
+
1
n
2
+
2
n
+
1
n
+
1
·
n
+
1
n
=
=
1
?
1
(
n
+
1
)
2
n
+
1
·
n
+
1
n
>
1
?
n
+
1
(
n
+
1
)
2
·
n
+
1
n
=
1,
откуда следует, что
x
n
+
1
> x
n
для любых
n
, то есть последова-
тельность
{
x
n
}
возрастающая.
Рассмотрим теперь последовательность
{
y
n
}
, где
y
n
=
x
n
·
(
1
+
1
/n
)
.
Очевидно, что
?
n
?
N
:
y
n
> x
n
. Вновь используя неравенство
Бернулли, нетрудно доказать, что
y
n
< y
n
?
1
, т.е. последователь-
ность
{
y
n
}
убывающая.
Таким образом,
2
=
x
1
< x
2
<
...
< x
n
< y
n
< y
n
?
1
<
...
< y
1
=
4,
то есть
{
x
n
}
и
{
y
n
}
монотонные ограниченные последователь-
ности. Значит, они сходятся, причем
lim
n
?
+
?
x
n
=
lim
n
?
+
?
y
n
.
Предел числовой последовательности
{
x
n
}
это и есть зна-
менитое число
e
:
lim
n
?
+
?
x
n
=
lim
n
?
+
?
1
+
1
n
n
=
e
?
2, 718281828 ...
.

Г л а в а 3
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
џ 1. Определение непрерывности. Точки разрыва
функции
Наглядное представление о непрерывной и разрывной функ-
циях дают непрерывная и разрывная кривые графики этих
функций (рис.
3.1
). Как сформулировать математическое опреде-
ление непрерывности?

жүктеу/скачать 1,76 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: