Лекции по теории управления : учебное пособие
Линеаризация нелинейных моделей САУ
жүктеу/скачать 3,95 Mb. Pdf көрінісі
|
Фурсов В.А. Лекции по теории управления 2021
| 1.4. Линеаризация нелинейных моделей САУ
Общую схему линеаризации рассмотрим на примере нелинейного дифференциального уравнения второго порядка , , , , 0. F y y y x x (1.4) Если система (1.4) устойчива, то при , 0, 0, 0 t y y x , т.е. 0,0, ,0, 0. F y x (1.5) Уравнение (1.5) описывает связь выхода и входа в установившемся ре- жиме, т.е. является статической характеристикой объекта. Это уравнение можно представить в виде . y x (1.6) На рис. 1.8 в качестве примера приведен возможный вид статической характеристики. Если статическая характеристика достаточно гладкая, в ма- лой окрестности некоторой точки возможна замена этой характеристики ли- нейной функцией. Рассмотрим основанную на этом принципе схему линеа- ризации. Рис. 1.8. Линеаризация статической характеристики Вначале рассмотрим простейший случай линеаризации статической ха- рактеристики. Пусть установившийся режим соответствует значениям х 0 , у 0 , а отклонения от этого режима малы. В этом случае нелинейную зависимость (1.6) можно разложить в ряд Тейлора в окрестности точки х 0 , у 0 . Ограничи- ваясь членами первого порядка, можно записать 16 0 0 0 x d y x x x dx (1.7) или , y k x (1.8) где 0 y y x , 0 / x k d dx , 0 x x x . Уравнение (1.8) является уравнением касательной нелинейной функции y x в точке х 0 , у 0 , по- этому оно справедливо лишь в малой окрестности этой точки. Рассмотрим теперь общий случай линеаризации уравнения (1.4), вклю- чающего производные по времени от входной и выходной величин. Разло- жив, как и выше, нелинейную функцию в левой части (1.4) в ряд Тейлора в окрестности точки 0 0 , x y можно записать 0 0 0 0 0 . dF dF dF dF dF y y y x x dy dy dy dx dx (1.9) Введя обозначения 0 0 0 1 0 2 0 0 0 1 , , , , dF dF dF dF dF a a a b b dy dy dy dx dx , уравнение (1.9) можно переписать в следующем простом виде 0 1 2 . a y a y a y k x (1.10) В общем случае линеаризованное дифференциальное уравнение, име- ющее старшие производные в левой и правой части порядка n и m соответ- ственно, можно представить в виде 1 1 0 1 1 0 1 1 ... ... . n n m m n n m n a y a y a y a b x b x b x b (1.11) Здесь, для простоты записей, вместо y , x мы применяем обозначе- ния у , х имея в виду, что эти переменные имеют смысл отклонений от неко- торого заданного режима. Кроме того, для производных различного порядка здесь и далее мы применяем широко используемые обозначения , 1, 2,... , 1, 2,.... n m n m n m d y d y y n y m dt dt . Уравнения (1.10), (1.11) являются линейными дифференциальными уравнениями в отклонениях . Иногда их называют уравнениями в вариациях . 17 Эти уравнения могут использоваться только для исследования динамики объектов в окрестности установившихся режимов, при которых имеют ме- сто малые отклонения параметров движения и их производных от этих ре- жимов движения. Коэффициенты этого уравнения имеют смысл чувстви- тельности объекта к отклонениям от режима, в окрестности которого осуществляется линеаризация. |