Лекции по теории управления : учебное пособие

разделены ключом. Поэтому Z-передаточная функция прямой цепи опреде-
ляется как произведение Z-передаточных функций алгоритма управления и 
приведенной непрерывной части.
Получим Z-передаточную функцию приведенной непрерывной части. 
С учетом последовательного соединения фиксатора и объекта, теоремы 
сдвига и свойств линейности Z-преобразований, а также соотношений 
(16.1), (16.2) можно записать
0
1
( )
( )
( )
( )
( )
1
( )
.
sT
об
об
пнч
об
об
об
W
s
W
s
W
z
Z
e
s
s
W
s
W
s
z
W
s
Z
z Z
Z
s
s
z
s

































(16.4) 
Теперь с использованием (16.1) найдем Z-передаточную функцию
2
( )
(
1)
об
W
s
K
Z
Z
s
s Ts



 









. 
(16.5) 
Для этого разложим 
2
/
(
1)
K s Ts

на простейшие дроби: 
2
2
1
1
(
1)
K
T
T
K
s Ts
s
s
s
T





 









. 
(16.6) 
Для каждого слагаемого в правой части формулы (16.6) в справочниках 
можно найти соответствующие формулы Z-изображений. Тогда с учетом 
(16.4) Z-передаточную функцию приведенной непрерывной части можно за-
писать в виде: 

130 








0
2
0
2
1
( )
1
(
1)
1
1
1
1
пнч
z
Tz
T z
Tz
W
z
K
z
z
z
z
d
KT
d
z
d
d
z
d z
d



























 

, 
(16.7) 
где 
0
0
,
T
T
T
d
e
T




. Для удобства дальнейших выкладок запишем Z-пере-
даточную функцию (16.7) в виде 
1
0
2
1
0
( )
( )
( )
пнч
z
y z
z
W
z
K
u z
z
z









, 
(16.8) 
где 


1
1
1
,
d


 



0
1
,
d
d
 





1
1
,
d

  
0
d


. Кроме того мы 
ввели также общий коэффициент усиления в прямой цепи 
0
z
кор
K
K
KT

, ко-
торый мы будем назначать из соображений достижения требуемой точности 
в установившемся режиме. Это будет достигаться с помощью дополнитель-
ного корректирующего коэффициента 
кор
K
, который, как нетрудно заме-
тить, определяется как 
0
/
кор
z
K
K
KT

. 
С использованием (16.3) и (16.7) запишем Z-передаточную функцию 
прямой цепи: 
2
1
2
1
0
2
1
0
2
3
2
3
1
0
2
1
0
( )
пнч
z
z
T z
T
z
b z
b z
b
W
z
K
K
z
T
z
z
z
a z
a z
a
















, 
(16.9) 
где 
2
1
1
b
T


, 
1
1
0
2
1
b
T
T




К, 
0
2
0
b
T


, 
2
3
1
a
T

 
, 
1
3
1
0
a
T
 


, 
0
3
0
a
T


. 
Соответствующая Z-передаточная функция замкнутой системы 
2
2
1
0
3
2
2
1
0
( )
z
b z
b z
b
Ф z
K
z
с z
с z с






, 
(16.10) 
где 
2
1
0
,
,
b
b
b
, те же, что и в (16.9), а коэффициенты знаменателя опре-
деляются следующими соотношениями 
2
3
1
2
z
с
T
K b




, 
1
3
1
0
1
z
c
T
K b
 



, 
0
3
0
0
z
c
T
K b



.
(16.11) 

131

С учетом соотношений для 
b
1
, 
b
2
, 
b
0
в (16.9) эти соотношения перепи-
шем в виде 
2
3
1
1
1
z
с
T
K T


 

; 


1
3
1
0
1
0
2
1
z
c
T
K T
T
 






; 
(16.12) 
0
3
0
2
0
z
c
T
K T




.
Теперь с использованием соотношений для коэффициентов 
с
1
, 
с
2
, 
с
0
мы 
можем построить соотношения для определения параметров алгоритмов 
управления. Для этого можно использовать широкий набор критериев, в т.ч. 
рассмотренных в настоящем курсе. Для определенности мы рассмотрим ме-
тодику, основанную на корневых оценках качества переходного процесса.
Потребуем, чтобы корни характеристического уравнения
3
2
2
1
0
0
z
с z
с z с


 
(16.13) 
имели заданное расположение внутри круга единичного радиуса, с некото-
рым запасом, обеспечивающим заданную степень устойчивости. Очевидно, 
что с использованием заданных корней можно сформировать эталонный ха-
рактеристический полином 
*
3
* 2
*
*
2
1
0
( )
D z
z
с z
с z с




, 
(16.14) 
при достижении коэффициентов которого, будет обеспечиваться заданное 
качество переходного процесса. Подставляя эталонные коэффициенты 
*
*
*
2
1
0
,
,
с с с
в части равенств (16.12) после соответствующих преобразований 
можно записать следующую систему уравнений 

Xc
Y
; 
(16.15) 
1
1
2
1
0
1
1
2
1
0
0
0
3
0
0
1
,
,
0
z
z
z
z
K
T
с
K
K
T
c
K
T
c



 

 








 




 








 




 


 


X
c
Y
. 
Из (16.15) наилучшее, в среднеквадратическом смысле, приближение к 
искомым параметрам алгоритмов управления 
1
ˆ
T
T



 

c
X X
X Y
. 
(16.16) 

132 
Формирование системы (16.15) с использованием приведенных выше 
соотношений и построение оценки (16.16) в рамках рассмотренной мето-
дики является содержанием алгоритмов адаптации. Как мы указывали выше 
для их реализации необходимо знать параметры объекта. Эта задача реша-
ется в блоке алгоритмов идентификации. 
16.4. Алгоритм идентификации 
Как легко заметить из уравнения (16.15) задача БАИ состоит в опреде-
лении коэффициентов 
1
,

0
,

1
,

0

объекта. Для этого с использованием 
теоремы сдвига из передаточной функции (16.8) запишем разностное урав-
нение (
мы полагаем, что коэффициент 
0
KT
входит сомножителем в пара-
метры 
1
,

0

, а потом определяется 
0
/
кор
z
K
K
KT

)
: 
 








1
0
1
0
1
2
1
2
y k
y k
y k
u k
u k




 
 
 
 

.
(16.17) 
Проведя наблюдения входа и выхода объекта, например, на 
N
тактах 
можно записать систему уравнений 

Xc
Y
; 
(16.18) 
 


 


 
 
 
 

 
 
 

1
2
1
2
1
1
2
3
2
3
y k
y k
u k
u k
y k
y k
u k
u k
y k N
y k N
u k N
u k N

















 
 
 
 




X
1
0
1
0




 
 
 

 
 
 
c
[ ]
[
1]
[
1]
y k
y k
y k N












 


Y
Теперь искомые оценки параметров определяются также как и оценки 
параметров алгоритмов управления
1
ˆ
T
T



 

c
X X
X Y
.
(16.19) 
Мы намеренно применили здесь такие же как и в (16.15) обозначения 
для совершенно иных матриц и векторов, чтобы подчеркнуть возможность 
реализации алгоритмов адаптации и идентификации с помощью унифици-
рованных программ. Это может иметь существенное значение, т.к. подоб-
ные алгоритмы обычно должны выполняться в реальном времени. 

133

Заметим, что оценки параметров объекта могут быть получены при 
условии, что на вход замкнутой системы подаются энергичные входные сиг-
налы, с целью перехода с одного режима на другой. Если в системе проис-
ходит свободное движение под действием начальных условий вместо пара-
метров объекта, скорее всего, будут получены параметры алгоритма 
управления, т.к. порядок передаточной функции объекта выше порядка по-
линомов алгоритма управления. Этот результат является следствием всеоб-
щего принципа природы: идти по пути «наименьшего сопротивления».
Пример.
В заключение приведем результаты реализации описанной технологии 
формирования алгоритмов управления, в соответствии с приведенными 
выше соотношениями. Параметры объекта, желаемые характеристики и по-
лученные входе эксперимента характеристики приведены в таблице 16.1. На 
рис. 16.2 приведен переходный процесс, полученный при подаче на вход за-
мкнутой системы единичной ступенчатой функции. 
Таблица 16.1 
Параметры объекта 
10;
1;
1
z
K
K
T



Параметры передаточной функции 
объекта 
1
2
1
0
0,0012;
0,0012;
1,9512
0,9512






 

Желаемые корни 
1
2,3
0,5;
0,6
0,5
z
z
j



Желаемые коэффициенты характе-
ристического уравнения 
*
3
1,0;
c

*
2
1,7;
c
 
*
1
1,21;
c

*
0
0,305
c
 
Коэффициенты 
характеристиче-
ского уравнения по формуле (16.16) 
3
1,0;
c

2
1,81;
c
 
1
1, 21;
c

0
0,305
c
 
Коэффициенты числителя переда-
точной функции замкнутой системы 
2
0, 25;
b

1
0,044;
b

0
0,0012
b

Рис. 16.2. Переходный процесс в замкнутой системе 

134 
В заключение приведем результаты реализации описанной технологии 
формирования алгоритмов управления на одном из режимов, характеризу-
ющемся следующими значениями параметров объекта и БЦВМ: 
K_z = 10; K = 1; T = 1,0. 
При указанных характеристиках были получены следующие пара-
метры объекта: 
1
2
1
0
0,0012;
0,0012
1,9512
0,9512






 

Задавались желаемые корни характеристического уравнения: 
1
2,3
0,5;
0,6
0,5
z
z
j



. 
Для этих корней желаемые коэффициенты характеристического урав-
нения: 
*
*
*
2
1
0
1,7;
1,21
0,305
c
c
c
 

 
.
Коэффициенты характеристического уравнения по формуле (16.16) 
3
2
1
0
1,0
1,81;
1, 21
0,305
c
c
c
c

 

 
. 
Коэффициенты числителя передаточной функции замкнутой системы: 
2
1
0
0, 25;
0,044;
0,0012
b
b
b



. 
На рис. 16.2 приведен переходный процесс, полученный при подаче на 
вход замкнутой системы единичной ступенчатой функции. 

135

 
 
 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
1.
Андронов, А.А. Теория колебаний / А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хай-
кин. – М.: Физматгиз, 1959. – 915 с. 
2.
Динамика систем управления ракет с ботовыми вычислительными ма-
шинами / В.Д. Аренс, С.М. Федоров, М.С. Хитрик, С.В. Лучко ; под ред. 
М.С. Хитрика, С.М. Федорова. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Машино-
строение, 1976. – 272 с. 
3.
Бесекерский, В.А. Теория систем автоматического регулирования / 
В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. – М.: Наука, 1972. – 767 с. 
4.
Гноенский, Л.С. Математические основы теории управляемых систем / 
Л.С. Гноенский, Г.А. Каменский, Л.Э. Эльсгольц. – М.: Наука, 1969. – 
512 с. 
5.
Шамриков, Б.М. Основы теории цифровых систем управления: учебник 
для высших технических учебных заведений / Б.М. Шамриков. – М.: Ма-
шиностроение, 1985. – 296 с. 
6.
Юревич, Е.И. Теория автоматического управления: учебник для высших 
технических учебных заведений / Е.И. Юревич. – 2-е изд., перераб. и 
доп. – Л.: «Энергия», 1975. – 416 с. 

136 
Учебное издание 
Фурсов Владимир Алексеевич 
 
 
ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ 
 
Учебное пособие 
 
 
Редактор Л . Р . Д м и т р и е н к о
Компьютерная верстка Л . Р . Д м и т р и е н к о
Подписано в печать 29.06.2021. Формат 60х84 1/16. 
Бумага офсетная. Печ. л. 8,5. 
Тираж 25 экз. Заказ . Арт. – 8(Р1У)/2021 
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АКАДЕМИКА С.П. КОРОЛЕВА» 
(САМАРСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) 
443086, Самара, Московское шоссе, 34. 
Издательство Самарского университета.
443086, Самара, Московское шоссе, 34.