Пропорциональное (усилительное) звено

34 


2
1,2
1
1 .
p
T



 

Предположим, что 
0
1

 
, тогда имеем пару комплексно сопряжен-
ных корней 
1
p
j


 
, 
1
p
j


 
, где
;
T


 
2
1
.
T




(4.15) 
При этом решение соответствующего однородного уравнения имеет 
вид 


1
2
cos
sin
.
t
o
y
e
C
t
C
t





(4.16) 
При построении переходного процесса, мы всегда предполагаем, что 
при 
0
t

выходная координата и ее производные равны нулю: 
 
0
0;
y

 
0
0;
y

 
0
0.
y

Подставляя решение (4.16) в исходное уравнение (4.13) при 
0
t

полу-
чаем 
1
.
C
k

(4.17) 
Еще одно уравнение
1
2
0
C
C




(4.18) 
запишем, приравняв к нулю производную (4.16): 




1
2
1
2
cos
sin
sin
cos
.
t
t
o
y
e
C
t
C
t
e
C
t
C
t














Из (4.17) с учетом (4.16)
2
1
.
C
C
k




 
 
(4.19) 
Следовательно 


cos
sin
.
t
o
k
y
e
t
t


 




(4.20) 
Общее решение равно сумме решений соответствующего однородного 
уравнения и частного решения: 




cos
sin
1
cos
sin
.
t
t
k
e
y
k
e
t
k
t
k
t
t



 


 





 








(4.21) 

35

Соотношение (4.20) можно преобразовать к виду 
2
2
1
sin
.
t
y
k
e
t
arctg

























(4.22) 
Весовая функция
 
 
/
'
.
t T
k
w t
h t
e
T



(4.23) 
Амплитудно-фазовая частотная передаточная функция 
 






2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
( )
( ),
1
2
1
4
k
T
jk T
k
W j
U
jV
T
j T
T
T








 










(4.24)
 
где 
 




2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
4
k
T
U
T
T



 




и 
 


2
2
2
2
2
2
2
;
1
4
k T
V
T
T



 
 


 
 
 
 




2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
4
;
1
4
k
T
T
A
W j
U
V
T
T

 





 








(4.25) 
 
 
 


2
2
.
1
V
T
arctg
arctg
U
T


 






(4.26) 
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика 
 
 




2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
4
20lg
20lg
20lg
.
1
4
T
T
L
A
k
T
T

 



 







(4.27) 
4.4. Идеальное интегрирующее звено 
Уравнение 
py
kx

(4.28) 
или в интегральной форме 
0
0
.
t
k
y
x
k x dt
x
p


 

(4.29) 
Переходная функция 

36 
0
( )
1
.
t
h t
k
dt
kt

 

(4.30) 
Весовая функция 
( )
'( )
.
w t
h t
k


(4.31) 
Передаточная функция
( )
.
k
W p
p

(4.32) 
Амплитудно-фазовая частотная характеристики 
(
)
.
k
k
W j
j
j




 
(4.33) 
Амплитудная и фазовая характеристики соответственно 
( )
;
k
A



(4.34) 
/
( )
.
0
2
k
arctg


 




 




(4.35) 
ЛАХ 
( )
20lg
20lg
20lg .
k
L
k






(4.36) 
4.5. Идеальное дифференцирующее звено 
Уравнение 
.
y
kpx

(4.37) 
Переходная функция 
1( )
( )
( ).
d t
h t
k
k
t
dt



(4.38) 
Передаточная функция
( )
.
W p
kp

(4.39) 
Амплитудно-фазовая частотная характеристика 
(
)
.
W j
jk



(4.40) 
Амплитудная и фазовая характеристики соответственно 
( )
;
A
k



(4.41) 

37

( )
0
2
k
arctg


 



 




.
(4.42) 
ЛАХ 
( )
20lg
20lg
20lg .
L
k
k






(4.43) 
Идеальное дифференцирующее звено практически нереализуемо. Лю-
бое устройство дифференцирования сигнала обладает инерционностью. По-
этому уравнение реального дифференцирующего звена имеет вид 


1
.
Tp
y
kpx


(4.44) 
Это уравнение можно переписать в виде системы уравнений: 
z
kpx

; 


1
Tp
y
z


. 
Это означает, что реальное дифференцирующее звено можно предста-
вить как последовательное соединение идеального дифференцирующего и 
апериодического звеньев. 

38 
 
 
 
Лекция 5. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ 
5.1. Понятие устойчивости системы 
Устойчивость – это свойство системы возвращаться в установившийся 
режим после выхода из него в результате какого-либо воздействия. Из-
вестно, что решение линейного дифференциального уравнения 
   
   
D p x t
M p g t

, 
(5.1) 
в общем виде состоит из двух составляющих: 
 
 
 
уст
п
x t
x
t
x
t


, 
где
 
уст
x
t
– частное решение (установившийся процесс); 
 
п
x t
– общее решение соответствующего однородного уравнения 
   
0
D p x t

, 
(5.2) 
описывающее переходный процесс в системе. Таким образом, система бу-
дет устойчива, если переходный процесс 
 
п
x t
, вызванный каким-либо воз-
действием, является затухающим. 
Решение уравнения (5.2) порядка 
n
в случае, когда корни характеристи-
ческого уравнения имеют, например, 
r
вещественных 
– 
,
1,
i
i
r


и 
l
ком-
плексно-сопряженных пар 
– 
, 1
,
i i
i
i
j




 
1,
i
l

корней (
2
r
l
n
 
) имеет вид 


1
1
( )
sin
i
i
r
l
t
t
i
i
i
i
i
i
x t
C e
C e
t











. 
(5.3) 
Как видно из (5.3) переходная составляющая 
будет затухать, если все вещественные корни 
i

и/или вещественные части 
i

комплексно-сопря-
женных корней отрицательны (в случае равенства 
нулю система на границе устойчивости). Другими 
Рис. 5.1. Пример 
расположения корней 
устойчивой системы

39

словами, условием устойчивости является расположение всех корней харак-
теристического уравнения в левой полуплоскости комплексной плоскости 
(рис. 5.1). 
5.2. Критерий устойчивости Михайлова 
В соответствии со сказанным для анализа устойчивости достаточно 
рассмотреть левую часть уравнения (5.1) или однородное уравнение (5.2). 
Запишем полином 
 
1
0
1
1
...
n
n
n
n
D p
a p
a p
a
p
a




 

в виде 
 
0
1
2
(
)(
)...(
)
n
D p
a p
p
p
p
p
p




, 
(5.4) 
где 
i
p
,
1,
i
n

– корни характеристического уравнения. Подставляя в этот 
многочлен 
p
j


имеем 
 
0
1
2
(
)(
)...(
)
n
D j
a
j
p
j
p
j
p








. 
(5.5) 
 
D j

– называют годографом Михайлова. 
Рассмотрим отдельный сомножитель 
(
)
i
j
p


.
Если 
i
p
– веществен-
ный отрицательный корень, то при 
0


этот сомножитель отобразится 
точкой на вещественной положительной полуоси. При изменении 

в ин-
тервале 
 
0,

произойдет поворот вектора, представляющего комплексное 
число 
(
)
i
j
p


на угол 
/ 2

. 


0,
/ 2

, т.е. изменение аргумента 
arg(
)
/ 2
i
j
p





(рис. 5.2).
Нетрудно заметить (рис. 5.3), что в случае, когда 
, 1
i i
p

– пара ком-
плексно-сопряженных корней, таких, что 
0


, то для пары соответствую-
щих множителей 
(
),
(
)
j
j
j
j
 

 

 
 
arg(
)
arg(
)
j
j










. 
Таким образом, если все вещественные и комплексно-сопряженные 
корни всех сомножителей в (5.5) находятся в левой полуплоскости, то 
 


1
arg
arg
/ 2
n
i
i
D j
D j
p
n










. 
(5.6) 
Теперь можно сформулировать критерий Михайлова.

40 
 
Система устойчива, если годограф 
 
D j

, начинаясь на действительной 
положительной полуоси, охватывает 
против часовой стрелки начало коорди-
нат, проходя последовательно n квадран-
тов
. 
Если система на границе устойчиво-
сти, годограф Михайлова пройдет через 
начало координат. Пример годографа 
устойчивой системы при 
n 
= 4 приведен 
на рис. 5.4. 

жүктеу/скачать 3,95 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: