Лекции по теории управления : учебное пособие

19

вещественной переменой 
t
, для которой существует 
преобразование 
Лапласа
: 
 
 
 
0
.
st
L f t
F s
f t e dt









(2.4)
 
В этом случае функция 
 
f t
называется 
оригиналом
, а функция 
 
F s
– 
изображением
. Если функции 
 
f t
соответствует изображение 
 
F s
, то 
это соответствие обычно записывают следующим образом 
 
 
.
f t
F s

Для нахождения оригинала по изображению используется формула об-
ратного преобразования Лапласа: 
 
 
 
0
0
1
1
.
2
c
j
st
c
j
L
F s
f t
F s e ds
j

 

 







(2.5) 
Преобразование Лапласа обладает следующими свойствами. Дифферен-
цирование оригинала 
 
f t
по переменной 
t
соответствует операции умно-
жения изображения 
 
F s
на комплексную переменную 
s
, а интегрирование 
оригинала 
 
f t
соответствует операции деления 
 
F s
на 
s
. Покажем это. 
Выполним интегрирование (2.4) по частям. Пусть 
 
,
'
st
u
e
dv
f
t dt



, тогда 
 
 
 
'
v
f
t dt
d f t
f t





, 
 
st
st
du
d e
s e dt



  
и 
 
 
 
0
0
0
0
'
( )
(0).
st
st
L f t
uv
vdu
f t e
s f t e dt
sF s
f


















(2.6) 
Если начальное значение 
(0)
0
f

, из (2.6) получаем 
 
'
( ).
L f
t
sF s





(2.7) 
Ясно, что 
 
2
''
(
( ))
( )
L f
t
s sF s
s F s






. 
Последовательно применяя формулы (2.4), (2.7) для вычисления изоб-
ражений более высоких производных функции 
 
f t
легко установить, что 
изображение, например, 
k
-й производной
 
f t
при нулевых начальных зна-
чениях имеет вид 

20 
 
 
.
k
k
L p f t
s F s

 


(2.8) 
Преобразование Лапласа (2.4) существует при выполнении следующих 
условий: 
1
. 
Функция 
 
f t
непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 
первого рода для всех 
0
t

. 
2. Функция 
 
0
f t

для всех 
0
t

. 
3. Скорость возрастания функции 
 
f t
ограничена, т.е. можно указать 
числа 
M
> 0, 
c
0
≥ 0, при которых
 
0
,
0.
c t
f t
M e
t



Можно показать, что интеграл Лапласа (2.5) при Re(
s
) > 
c
0
является аб-
солютно сходящимся (т.е. существует интеграл модуля подынтегрального 
выражения). Поэтому число 
c
0
называют абсциссой абсолютной сходимо-
сти. Для 
затухающих
переходных процессов устойчивых систем абсцисса 
абсолютной сходимости равна нулю, при этом область существования пре-
образования Лапласа – правая полуплоскость комплексной переменной 
s
(рис. 2.1). 
а
б 
Рис. 2.1. Области существования преобразования Лапласа: 
для 
0
0
c

– (a) и 
0
0
c

– (б) 
2.3. Применение преобразования Лапласа для описания САУ 
Пусть уравнение системы задано в операторной форме: 
   
   
,
D p y t
M p x t

(2.9) 

21

где 
D
(
p
), 
M
(
p
) – многочлены от 
p
: 
 
1
0
1
1
...
;
n
n
n
n
D p
a p
a p
a
p
a




 

 
1
0
1
1
...
.
m
m
m
m
M p
b p
b p
b
p
b




 

Здесь 
p
– оператор дифференцирования, 
 
x t
– входной, а 
 
y t
– вы-
ходной сигналы. 
Предположив, что начальные условия нулевые подвергнем обе части 
уравнения преобразованию Лапласа. Получим 
   
   
,
D s Y s
M s X s

(2.10) 
где, в соответствии с (2.8)
 
1
0
1
1
...
;
n
n
n
n
D s
a s
a s
a
s
a




 

 
1
0
1
1
...
.
m
m
m
m
M s
b s
b s
b
s
b




 

Из соотношения (2.10) следует, что 
 
 
   
   
,
M s
Y s
X s
W s X s
D s


(211) 
где
 
1
0
1
1
1
0
1
1
...
.
...
m
m
m
m
n
n
n
n
b s
b s
b
s
b
W s
a s
a s
a s
a





 



 

(2.12) 
Дробно-рациональная функция 
 
W s
совпадает с передаточной функ-
цией (2.3) при замене в исходных многочленах 
 
,
M p
 
D p
оператора диф-
ференцирования 
p
на 
s
. Таким образом, передаточную функцию, с одной 
стороны, можно определить как отношение входного оператора 
М
(
р
) к соб-
ственному оператору 
D
(
р
). С другой стороны, ее можно трактовать как отно-
шение изображения по Лапласу выходной координаты системы к изображе-
нию по Лапласу входного воздействия 
при нулевых начальных условиях
. Далее 
мы будем использовать операторное представление передаточной функции, 
которое мы формально ввели в (2.3), имея при этом в виду, что передаточная 
функция 
 
W p
всегда может быть представлена как отношение изображений 
по Лапласу входа и выхода системы формальной заменой 
р
на 
s
. 

22 
2.4. Структурные схемы и структурные преобразования 
Описание звеньев систем передаточными функциями плодотворно ис-
пользуется для представления систем в виде структурных схем. Опираясь 
на детектирующее свойство направленного действия звеньев, система мо-
жет быть описана как совокупность передаточных функций звеньев, со-
ставленных независимо друг от друга. При этом 
структурная схема
САУ 
может быть представлена в виде блоков, соединенных стрелками, а каж-
дому блоку ставится в соответствие своя 
передаточная функция
. Стрел-
ками показываются также приложенные к звеньям системы, задающие и 
возмущающие воздействия. На рис. 2.2 в качестве примера приведена 
структурная схема системы, функциональная схема которой была приве-
дена на рис. 1.1. 
Удобство представления системы в виде структурных схем состоит в 
наглядности. Кроме того, структурная схема может быть приведена к жела-
емому виду с использованием простых и очевидных правил преобразова-
ния. Рассмотрим эти правила.
Рис. 2.2. Структурная схема системы 
Передаточная функция последовательного соединения, например, 
n
звеньев равна произведению передаточных функций этих звеньев:
 
 
.
i
i
W p
W p


(2.13) 
Это правило следует из свойства направленного действия звеньев.
Передаточная функция параллельного соединения звеньев в соответ-
ствии с 
принципом суперпозиции
определяется как сумма передаточных 
функций звеньев: 
 
 
.
i
i
W p
W p


(2.14) 

23

При исследовании систем часто необходимо осуществлять переход от 
разомкнутой системы к замкнутой системе, охваченной обратной связью. 
Пусть система с обратной связью имеет вид, показанный на рис. 2.3, где 
1
( )
W p
– передаточная функция прямой цепи, а 
2
( )
W p
– передаточная функ-
ция цепи обратной связи. С использованием обозначений, принятых на этой 
схеме, соотношения, описывающие замкнутую систему, имеют вид 
1
( )(
);
ос
y
W p x
x

(2.15) 
2
( ) ,
ос
x
W p y

(2.16) 
где знак «–» соответствует отрицательной, а «+» – положительной обратной 
связи. 
После подстановки (2.16) в (2.15) получаем 
1
2
1
1
2
( )(
( ) )
( )
( )
( )
y
W p x
W
p y
W p x
W p W
p y


или 


1
2
1
1
( )
( )
( ) .
W p W p y W p x


(2.17) 
Тогда передаточная функция 
замкнутой
системы 
( )
Ф p
с учетом (2.17) 
запишется в виде 
1
1
2
( )
( )
.
1
( )
( )
y
W p
Ф p
x
W p W p
 

(2.18) 
Если разомкнутая система охвачена единичной обратной связью
(
2
( )
W p
=1) 
 
 
 
0
0
.
1
W
p
Ф p
W
p


(2.19) 
Здесь отрицательной обратной связи соответствует знак «плюс», а знак 
«минус» – положительной обратной 
связи.
Приведенные правила использу-
ются для объединения групп простей-
ших звеньев в общую передаточную 
функцию системы. Если вдобавок тре-
буется преобразовать многоконтурную 
схему в одноконтурную применяются 
Рис 2.3. Схема системы
с обратной связью

24 
правила переноса воздействий из одной точки в другую. Поскольку суще-
ствует огромное число структурных схем с разнообразными связями,
рассмотреть все возможные варианты преобразований не представляется 
возможным. В каждом конкретном случае приходится проявлять изобре-
тательность. При построении этих преобразований следует соблюдать ос-
новной принцип: сохранение неизменными сигналов на выходе системы 
после преобразования. 

25


жүктеу/скачать 3,95 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: