Лекции по теории управления : учебное пособие
Корневые оценки качества переходных процессов
жүктеу/скачать 3,95 Mb. Pdf көрінісі
|
Фурсов В.А. Лекции по теории управления 2021
| 6.2. Корневые оценки качества переходных процессов
6.2.1. Оценка длительности переходного процесса Длительность переходного процесса характеризуется показателем сте- пени устойчивости – , который определяется как расстояние от мнимой оси до ближайшего корня (рис. 6.2, а). Если – вещественный корень: 0 , в переходном процессе ему соответствует составляющая вида t x C e . (6.2) В начальный момент при 0 t (0) x C . Из (6.2) видно, что с тече- нием времени x убывает. Зададимся некоторым числом Δ (например Δ=0.05), показывающим долю исходного значения (0) x C , при котором переходный процесс можно считать завершившимся (рис. 6.2, б). Запишем равенство (6.2) для этого момента времени: ( ) t x t C e C . (6.3) Откуда t e или 1 1 3 ln ` t . (6.4) Рис. 6.1. Иллюстрация показателей качества переходного процесса 47 В случае пары комплексно-сопряженных корней j составляю- щая переходного процесса 1 1 ( ) cos sin t x t e C t C t . Легко понять, что и в этом случае приведенная выше приближенная оценка длительности переходного процесса (6.3) справедлива, если вместо подставить (рис. 6.2,в). Рис. 6.2. Степень устойчивости (а) и оценки длительности переходного процесса: б – случай вещественного корня; в – случай комплексного корня Определение степени устойчивости. Пусть 1 0 1 1 ( ) ... n n n n D a a a a (6.5) характеристический полином системы. Сделаем подстановку q , (6.6) где – пока неизвестная положительная величина (степень устойчивости). Раскрывая по формуле бинома Ньютона 1 2 2 ! ! ... 1!( 1)! 2!( 2)! n n n n n n n a b a a b a b b n n (6.7) двучлены i q , 1, i n получаем новый многочлен 1 0 1 1 ( ) ... n n n n D q b q b q b q b . (6.8) Из (6.7) нетрудно заметить, что коэффициенты этого многочлена будут зависеть от коэффициентов , i a 0, i n и искомого параметра . Нули этого многочлена отличаются от нулей многочлена (6.4) – ( ) D уменьшением дей- 48 ствительной части на величину , т.к. переход от ( ) D к ( ) D q соответ- ствует смещению мнимой оси влево на величину , при которой многочлен ( ) D q окажется на границе устойчивости, т.е. будет иметь корень на этой смещенной границе. Таким образом, если решается задача синтеза, т.е выбора параметров системы, обеспечивающих требуемое качество переходного процесса, можно поступить следующим образом. Записать многочлен (6.4) в виде функции варьируемого параметра. Задать степень величины , при которой обеспечивается заданная длительность переходного процесса и перейти к многочлену (6.6), так как описано выше. Этот многочлен также будет зави- сеть от варьируемого параметра. Далее, применяя один из рассмотренных в предыдущем разделе критериев устойчивости, можно записать уравнения, соответствующие нахождению многочлена (6.6) на границе устойчивости, решение которых даст значение искомого варьируемого параметра. В слу- чае двух варьируемых параметров можно определить области устойчивости в плоскости двух параметров при заданном методом D - разбиения. жүктеу/скачать 3,95 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|