1.4. Линеаризация нелинейных моделей САУ
Общую схему линеаризации рассмотрим на примере нелинейного
дифференциального уравнения второго порядка
, , , ,
0.
F y y y x x
(1.4)
Если система (1.4) устойчива, то при
,
0,
0,
0
t
y
y
x
, т.е.
0,0, ,0,
0.
F
y
x
(1.5)
Уравнение (1.5) описывает связь выхода и входа в установившемся ре-
жиме, т.е. является статической характеристикой объекта. Это уравнение
можно представить в виде
.
y
x
(1.6)
На рис. 1.8 в качестве примера приведен возможный вид статической
характеристики. Если статическая характеристика достаточно гладкая, в ма-
лой окрестности некоторой точки возможна замена этой характеристики ли-
нейной функцией. Рассмотрим основанную на этом принципе схему линеа-
ризации.
Рис. 1.8. Линеаризация статической характеристики
Вначале рассмотрим простейший случай линеаризации статической ха-
рактеристики. Пусть установившийся режим соответствует значениям
х
0
,
у
0
,
а отклонения от этого режима малы. В этом случае нелинейную зависимость
(1.6) можно разложить в ряд Тейлора в окрестности точки
х
0
,
у
0
. Ограничи-
ваясь членами первого порядка, можно записать
16
0
0
0
x
d
y
x
x
x
dx
(1.7)
или
,
y
k
x
(1.8)
где
0
y
y
x
,
0
/
x
k
d
dx
,
0
x
x
x
. Уравнение (1.8) является
уравнением касательной нелинейной функции
y
x
в точке
х
0
,
у
0
, по-
этому оно справедливо лишь в малой окрестности этой точки.
Рассмотрим теперь общий случай линеаризации уравнения (1.4), вклю-
чающего производные по времени от входной и выходной величин. Разло-
жив, как и выше, нелинейную функцию в левой части (1.4) в ряд Тейлора в
окрестности точки
0
0
,
x
y
можно записать
0
0
0
0
0
.
dF
dF
dF
dF
dF
y
y
y
x
x
dy
dy
dy
dx
dx
(1.9)
Введя обозначения
0
0
0
1
0
2
0
0
0
1
,
,
,
,
dF
dF
dF
dF
dF
a
a
a
b
b
dy
dy
dy
dx
dx
,
уравнение (1.9) можно переписать в следующем простом виде
0
1
2
.
a
y
a y
a
y
k x
(1.10)
В общем случае линеаризованное дифференциальное уравнение, име-
ющее старшие производные в левой и правой части порядка
n
и
m
соответ-
ственно, можно представить в виде
1
1
0
1
1
0
1
1
...
...
.
n
n
m
m
n
n
m
n
a y
a y
a
y
a
b x
b x
b
x b
(1.11)
Здесь, для простоты записей, вместо
y
,
x
мы применяем обозначе-
ния
у
,
х
имея в виду, что эти переменные имеют смысл отклонений от неко-
торого заданного режима. Кроме того, для производных различного порядка
здесь и далее мы применяем широко используемые обозначения
,
1, 2,...
,
1, 2,....
n
m
n
m
n
m
d y
d y
y
n
y
m
dt
dt
.
Уравнения (1.10), (1.11) являются линейными дифференциальными
уравнениями в отклонениях
. Иногда их называют
уравнениями в вариациях
.
17
Эти уравнения могут использоваться только для исследования динамики
объектов в окрестности установившихся режимов, при которых имеют ме-
сто малые отклонения параметров движения и их производных от этих ре-
жимов движения. Коэффициенты этого уравнения имеют смысл чувстви-
тельности объекта к отклонениям от режима, в окрестности которого
осуществляется линеаризация.
|