Лекции по теории управления : учебное пособие


 Линеаризация нелинейных моделей САУ



Pdf көрінісі
бет5/43
Дата04.09.2023
өлшемі3,95 Mb.
#106068
түріЛекции
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   43
Байланысты:
Фурсов В.А. Лекции по теории управления 2021

1.4. Линеаризация нелинейных моделей САУ 
Общую схему линеаризации рассмотрим на примере нелинейного 
дифференциального уравнения второго порядка 


, , , ,
0.
F y y y x x

(1.4) 
Если система (1.4) устойчива, то при 
,
0,
0,
0
t
y
y
x
  


, т.е. 


0,0, ,0,
0.
F
y
x

(1.5) 
Уравнение (1.5) описывает связь выхода и входа в установившемся ре-
жиме, т.е. является статической характеристикой объекта. Это уравнение 
можно представить в виде 
 
.
y
x


(1.6) 
На рис. 1.8 в качестве примера приведен возможный вид статической 
характеристики. Если статическая характеристика достаточно гладкая, в ма-
лой окрестности некоторой точки возможна замена этой характеристики ли-
нейной функцией. Рассмотрим основанную на этом принципе схему линеа-
ризации.
Рис. 1.8. Линеаризация статической характеристики 
Вначале рассмотрим простейший случай линеаризации статической ха-
рактеристики. Пусть установившийся режим соответствует значениям 
х
0

у
0

а отклонения от этого режима малы. В этом случае нелинейную зависимость 
(1.6) можно разложить в ряд Тейлора в окрестности точки 
х
0

у
0
. Ограничи-
ваясь членами первого порядка, можно записать 


16 
 


0
0
0
x
d
y
x
x
x
dx











(1.7) 
или
,
y
k
x


 
(1.8) 
где 
 
0
y
y
x


 



0
/
x
k
d
dx



0
x
x
x

 
. Уравнение (1.8) является 
уравнением касательной нелинейной функции 
 
y
x


в точке 
х
0

у
0
, по-
этому оно справедливо лишь в малой окрестности этой точки. 
Рассмотрим теперь общий случай линеаризации уравнения (1.4), вклю-
чающего производные по времени от входной и выходной величин. Разло-
жив, как и выше, нелинейную функцию в левой части (1.4) в ряд Тейлора в 
окрестности точки 
0
0
,
x
y
можно записать 
0
0
0
0
0
.
dF
dF
dF
dF
dF
y
y
y
x
x
dy
dy
dy
dx
dx









(1.9) 
Введя обозначения
0
0
0
1
0
2
0
0
0
1
,
,
,
,
dF
dF
dF
dF
dF
a
a
a
b
b
dy
dy
dy
dx
dx






уравнение (1.9) можно переписать в следующем простом виде 
0
1
2
.
a
y
a y
a
y
k x







(1.10) 
В общем случае линеаризованное дифференциальное уравнение, име-
ющее старшие производные в левой и правой части порядка 
n
и 
m
соответ-
ственно, можно представить в виде 
 
 
 


1
1
0
1
1
0
1
1
...
...
.
n
n
m
m
n
n
m
n
a y
a y
a
y
a
b x
b x
b
x b





 



 

(1.11) 
Здесь, для простоты записей, вместо 
y


x

мы применяем обозначе-
ния 
у

х
имея в виду, что эти переменные имеют смысл отклонений от неко-
торого заданного режима. Кроме того, для производных различного порядка 
здесь и далее мы применяем широко используемые обозначения 
 
 
,
1, 2,...
,
1, 2,....
n
m
n
m
n
m
d y
d y
y
n
y
m
dt
dt





Уравнения (1.10), (1.11) являются линейными дифференциальными 
уравнениями в отклонениях
. Иногда их называют 
уравнениями в вариациях



17

Эти уравнения могут использоваться только для исследования динамики 
объектов в окрестности установившихся режимов, при которых имеют ме-
сто малые отклонения параметров движения и их производных от этих ре-
жимов движения. Коэффициенты этого уравнения имеют смысл чувстви-
тельности объекта к отклонениям от режима, в окрестности которого 
осуществляется линеаризация. 


18 


Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   43




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет