Амплитудно-фазовая частотная характеристика

29

место свойства аналогичные соотношениям (2.7), (2.8): при дифференциро-
вании сигнала во временной области спектральная характеристика умножа-
ется на 
j

. 
Частотную передаточную функцию (3.16), как всякую функцию ком-
плексной переменной, можно представить в показательной форме 
 
 
 
j
Ф j
A
e
 



(3.18) 
и в алгебраической форме 
 
 
 
,
Ф j
U
jV





(3.19) 
где 
 
U

и 
 
V

– указанные выше вещественная и мнимая частотные ха-
рактеристики, связанны с амплитудной и фазовой характеристиками соот-
ношениями 
 
 
 
 
2
2
;
A
Ф j
U
V







(3.20) 
 
   


/
;
arctg
V
U
 




(3.21) 
 
 
 
cos
;
U
A


 

(3.22) 
 
 
 
sin
.
V
A


 

(3.23) 
Амплитудно-фазовую характеристику (АФХ) можно представить в 
виде кривой на комплексной плоскости (рис. 3.4). Каждая точка АФХ соот-
ветствует определенному значению частоты (рис. 3.3), а геометрическое ме-
сто точек концов вектора амплитудно-частотной характеристики при изме-
нении частоты от 0 до ∞ – называется 
годографом
. Покажем справедливость 
представления 
 
Ф j

в виде (3.18). 
Установившиеся колебания на входе и 
выходе системы зададим в виде гармониче-
ских функций: 
 
max
;
j t
x t
x
e


(3.24) 
 


max
.
j
t
y t
y
e
 


(3.25) 
Подставим в (3.13) входной и выходной 
сигналы из (3.24) и (3.25). С учетом того, что 
производные 
 
x t
и 
 
y t
k
-го порядка опре- 
Рис. 3.4. Представление 
АФЧХ для изменяющейся 
частоты 


30 
деляются как 


 
max
max
k
k
j t
j t
p
x
e
j
x
e




, 




 


max
max
k
j
t
j
t
k
p
y
e
j
y
e
 
 




, 
соответственно, имеем
 


 
max
max
.
j
t
j t
D j
y
e
M j
x
e
 





Откуда для произвольных значений 

и 

 
 
 


 
 
max
max
max
max
.
j
t
j
j
j t
M j
y
e
y
Ф j
e
A
e
D j
x
e
x
 
 











(3.26) 
3.4. Связь частотных и временных характеристик 
Зная передаточную функцию системы 
 
W p
и операторное представ-
ление 
 
X p
входного воздействия, с использованием формальной замены 
p
на 
s
, можно по формуле (2.11) найти изображение 
Y
(
s
) выходной коорди-
наты системы. В частности, для построенных выше (см. формулы (3.2), 
(3.6)) изображений для входных воздействий в виде единичной ступенчатой 
функции – 1/
s
и дельта функции – 
1
 
 
1
;
Y s
Ф s
s

(3.27) 
 
 
1.
Y s
Ф s


(3.28) 
Переходя от изображения 
Y
(
s
) к оригиналу в соответствии с (2.5) можно 
получить выходной сигнал 
y
(
t
). В данном примере это будут переходная и 
весовая функции. 
Выше мы уже отмечали, что для устойчивых систем область существо-
вания преобразования Лапласа – правая полуплоскость комплексной пере-
менной 
s
. В этом случае переменная 
s
является чисто мнимой: 
s
j


, а пре-
образование Лапласа превращается в одностороннее преобразование Фурье, 
определяемое формулами 
 
 
0
;
j t
F j
f t e
dt






(3.29) 
 
 
1
.
2
j
j t
j
f t
F j
e
d




 
 


(3.30) 

31

Поэтому если известно изображение сигнала по Лапласу, спектр этого 
сигнала определяется простой заменой переменной Лапласа 
s
j


. В част-
ности, в соответствии с (3.27), (3.28) спектр выходного сигнала при подаче 
на вход единичного ступенчатого воздействия
 
 
1
,
h
Y
j
Ф j
j




(3.31) 
а спектр сигнала на выходе при входном воздействии в виде дельта-функции 
 
 
.
w
Y
j
Ф j



(3.32) 
Представленные соотношения для 
   
,
h
w
Y
j
Y
j


являются спектрами 
переходной функции и весовой функции, поэтому применяя к ним обратное 
преобразование Фурье (3.30) получаем 
 
 
;
j t
Ф j
h t
e d
j








(3.33) 
 
 
.
j t
w t
Ф j
e d







(3.34) 
Выражение (3.34) для весовой функции можно также получить из (3.33) 
с использованием следующего свойства: умножению спектральной характе-
ристики на 
j

соответствует операция дифференцирования во временной 
области, поэтому 
 
 
.
j t
dh t
Ф j
e d
dt







(3.35) 
Как и следовало ожидать 
 
 
/
dh t
dt
w t

. 

32 
 
 
 
Лекция 4. ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ САУ 
4.1. Апериодическое звено первого порядка 
Уравнение звена в операторной форме 


1
.
Tp
y
kx


(4.1) 
Передаточная функция 
 
.
1
k
W p
Tp


(4.2)
 
Переходная функция является решением уравнения (4.1) при 
 
1
x
t

. 
Решение: 
Характеристическое уравнение 
1 0
Tp
 
имеет один вещественный корень 
1
1
p
T
 
, следовательно общий интеграл 
имеет вид 
 
1
1
.
t
T
y t
C e


Подставив полученное решение однородного уравнения в исходное 
уравнение (4.1) с учетом того, что 
1
x

, производная 
 
0
0
y

, а 
 
1
0
y
C

получаем 
1
C
k
 
. 
Общее решение является суммой решения однородного уравнения и 
частного решения: 
 


/
1
.
t T
h t
k
e



(4.3) 
Весовая функция
 
 
/
'
.
t T
k
w t
h t
e
T



(4.4) 
Амплитудно-фазовая частотная передаточная функция 
 
2
2
( )
( ),
1
1
k
k
jkT
W j
U
jV
jT
T













(4.5)
 

33

где
 
2
2
1
k
U
T




и 
 
2
2
1
kT
V
T



 

; 
 
 
 
 
2
2
2
2
;
1
k
A
W j
U
V
T










(4.6) 
 
 
 
V
arctg
arctgT
U

 



 
. 
(4.7) 
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика 
 
 
2
2
20lg
20lg
20lg 1
L
A
k
T







. 
(4.8) 

жүктеу/скачать 3,95 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: