29
место свойства аналогичные соотношениям (2.7), (2.8): при дифференциро-
вании сигнала во временной области спектральная характеристика умножа-
ется на
j
.
Частотную передаточную функцию (3.16), как всякую
функцию ком-
плексной переменной, можно представить в показательной форме
j
Ф j
A
e
(3.18)
и в алгебраической форме
,
Ф j
U
jV
(3.19)
где
U
и
V
– указанные выше вещественная и мнимая частотные ха-
рактеристики, связанны с амплитудной и фазовой характеристиками соот-
ношениями
2
2
;
A
Ф j
U
V
(3.20)
/
;
arctg
V
U
(3.21)
cos
;
U
A
(3.22)
sin
.
V
A
(3.23)
Амплитудно-фазовую характеристику (АФХ) можно представить в
виде кривой на комплексной плоскости (рис. 3.4). Каждая точка АФХ соот-
ветствует определенному значению частоты (рис. 3.3), а геометрическое ме-
сто точек концов вектора амплитудно-частотной характеристики при изме-
нении частоты от 0 до ∞ – называется
годографом
. Покажем справедливость
представления
Ф j
в виде (3.18).
Установившиеся колебания на входе и
выходе системы зададим в виде гармониче-
ских функций:
max
;
j t
x t
x
e
(3.24)
max
.
j
t
y t
y
e
(3.25)
Подставим в (3.13) входной и выходной
сигналы из (3.24) и (3.25). С учетом того, что
производные
x t
и
y t
k
-го порядка опре-
Рис. 3.4. Представление
АФЧХ для изменяющейся
частоты
30
деляются как
max
max
k
k
j t
j t
p
x
e
j
x
e
,
max
max
k
j
t
j
t
k
p
y
e
j
y
e
,
соответственно, имеем
max
max
.
j
t
j t
D j
y
e
M j
x
e
Откуда для произвольных значений
и
max
max
max
max
.
j
t
j
j
j t
M j
y
e
y
Ф j
e
A
e
D j
x
e
x
(3.26)
3.4. Связь частотных и временных характеристик
Зная передаточную функцию системы
W p
и операторное представ-
ление
X p
входного воздействия, с использованием формальной замены
p
на
s
, можно по формуле (2.11) найти изображение
Y
(
s
) выходной коорди-
наты системы. В
частности, для построенных выше (см. формулы (3.2),
(3.6)) изображений для входных воздействий в виде единичной ступенчатой
функции – 1/
s
и дельта функции –
1
1
;
Y s
Ф s
s
(3.27)
1.
Y s
Ф s
(3.28)
Переходя от изображения
Y
(
s
) к оригиналу в соответствии с (2.5) можно
получить выходной сигнал
y
(
t
). В данном примере это будут переходная и
весовая функции.
Выше мы уже отмечали, что для устойчивых систем область существо-
вания преобразования Лапласа – правая полуплоскость комплексной пере-
менной
s
. В этом случае переменная
s
является чисто мнимой:
s
j
, а пре-
образование Лапласа превращается в одностороннее преобразование Фурье,
определяемое формулами
0
;
j t
F j
f t e
dt
(3.29)
1
.
2
j
j t
j
f t
F j
e
d
(3.30)
31
Поэтому если известно изображение сигнала по Лапласу, спектр этого
сигнала определяется простой заменой переменной Лапласа
s
j
. В част-
ности, в соответствии с (3.27), (3.28) спектр выходного сигнала при подаче
на вход единичного ступенчатого воздействия
1
,
h
Y
j
Ф j
j
(3.31)
а спектр сигнала на выходе при входном воздействии в виде дельта-функции
.
w
Y
j
Ф j
(3.32)
Представленные соотношения для
,
h
w
Y
j
Y
j
являются спектрами
переходной функции и весовой функции, поэтому применяя к ним обратное
преобразование Фурье (3.30) получаем
;
j t
Ф j
h t
e d
j
(3.33)
.
j t
w t
Ф j
e d
(3.34)
Выражение (3.34) для весовой
функции можно также получить из (3.33)
с использованием следующего свойства: умножению спектральной характе-
ристики на
j
соответствует операция дифференцирования во временной
области, поэтому
.
j t
dh t
Ф j
e d
dt
(3.35)
Как и следовало ожидать
/
dh t
dt
w t
.
32
Лекция 4. ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ САУ
4.1. Апериодическое звено первого порядка
Уравнение звена в операторной форме
1
.
Tp
y
kx
(4.1)
Передаточная функция
.
1
k
W p
Tp
(4.2)
Переходная функция является решением уравнения (4.1) при
1
x
t
.
Решение:
Характеристическое уравнение
1 0
Tp
имеет один вещественный корень
1
1
p
T
, следовательно общий интеграл
имеет вид
1
1
.
t
T
y t
C e
Подставив полученное решение однородного уравнения в
исходное
уравнение (4.1) с учетом того, что
1
x
, производная
0
0
y
, а
1
0
y
C
получаем
1
C
k
.
Общее решение является суммой решения однородного уравнения и
частного решения:
/
1
.
t T
h t
k
e
(4.3)
Весовая функция
/
'
.
t T
k
w t
h t
e
T
(4.4)
Амплитудно-фазовая частотная передаточная функция
2
2
( )
( ),
1
1
k
k
jkT
W j
U
jV
jT
T
(4.5)
33
где
2
2
1
k
U
T
и
2
2
1
kT
V
T
;
2
2
2
2
;
1
k
A
W j
U
V
T
(4.6)
V
arctg
arctgT
U
.
(4.7)
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
2
2
20lg
20lg
20lg 1
L
A
k
T
.
(4.8)
Достарыңызбен бөлісу: