Электрическая емкость уединенного проводника

 

31 

R

Q

4

1

0

 

Используя формулу (1.49), получим: емкость шара 

R

4

C

0

.                                              (1.50) 

Отсюда следует, что емкостью в 1Ф обладал бы уединенный шар, Нахо-

дящийся в вакууме и имеющий радиус 

0

4

C

R

 9-10

6

 км, что примерно в 

1400  раз  больше  радиуса  Земли  (электроемкость  Земли  00,7  мФ).  Следова-

тельно, фарад - очень большая величина, поэтому на практике используются 

дольные единицы - миллифарад (мФ), микрофарад (мкФ), нанофарад  - (нФ), 

пикофарад (пФ). Из формулы (1.50) вытекает также, что единица электриче-

ской постоянной ε

0

 фарад на метр (Ф/м). 

 

1.19. Конденсаторы 

 

Для  того  чтобы  проводник  обладал  емкостью,  он  должен  имен,  очень 

большие  размеры.  На  практике,  однако,  необходимы  устройства,  обладаю-

щие способностью при малых размерах и небольших относительно окружающих 

тел потенциалах накапливать значительные по величине заряды, иными словами, 

обладать большой емкостью. Эти устройства получили название к о н д е н с а то 

р о в. 

Мели  к  заряженному  проводнику  приближать  другие  тела,  то  на  них  возни-

кают  индуцированные  (на  проводнике)  или  связанные  (на  диэлектрике)  заряды, 

причем  ближайшими  к  наводящему  заряду  Q  будут  заряды  противоположного 

знака  Они,  естественно,  ослабляют  поле,  создаваемое  зарядом  Q,  т.е.  понижают 

потенциал проводника, что приводит к повышению его электроемкости. 

Конденсатор  состоит  из  двух  проводников  (обкладок),  разделенных  диэлек-

триком. На его емкость не должны оказывать влияния окружающие тела, поэтому 

проводникам  придают  такую  форму,  чтобы  поле,  создаваемое  накапливаемыми 

зарядами,  было  сосредоточено  в  узком  зазоре  между  обкладками  конденсатора. 

Этому условию удовлетворяют две плоские пластины, два коаксиальных цилинд-

ра, две концентрические сферы. Поэтому в зависимости от формы обкладок кон-

денсаторы делятся на п ло с к и е ,  ц и л и н д р и ч е ские   и  с ф е р и ч е с к и е. 

Так  как 

 

поле  сосредоточено  внутри  конденсатора,  то  линии  напряженности 

начинаются  на  одной  обкладке  и  кончаются  на  другой,  поэтому  свободные  за-

ряды, но шикающие на разных обкладках, являются равными по модулю разно-

именными зарядами. Под е м к о с т ь ю  к о н д е н с а т о р а  понимается физическая 

величина, равная отношению заряда Q, накопленного в конденсаторе, к разности 

потенциалов (

2

1

) между eго обкладками: 

2

1

Q

С

.                                                  (1.51) 

 

32 

Рассчитаем емкость плоского конденсатора, состоящего из двух параллельных 

металлических  пластин  площадью  S  каждая,  расположенных  на  расстоянии  d 

друг от друга и имеющих заряды +Q и -Q. Вели расстояние между пластина-

ми мало по сравнению с их линейными размерами, то краевыми эффектами 

можно пренебречь и поле между обкладками считать однородным. Его мож-

но  рассчитать,  используя  формулы  (

0

2

1

d ) и (1.51). При наличии ди-

электрика между обкладками разность потенциалов между ними согласно 

(1.24): 

0

2

1

d

,                                           (1.52) 

где  ε  -  диэлектрическая  проницаемость.  Тогда  из  формулы  (1.38),  заме-

няя Q =  S, с учетом (1.52) получим выражение для емкости плоского кон-

денсатора: 

d

S

C

0

.                                                  (1.53) 

Емкость конденсатора любой формы прямо пропорциональна диэлектри-

ческой  проницаемости  диэлектрика,  заполняющего  пространство  между  об-

кладками. Поэтому применение в качестве прослойки сегнетоэлектриков зна-

чительно увеличивает емкость конденсаторов. 

Конденсаторы  характеризуются  п р о б и в н ы м   н а п р я ж е н и е м   -

разностью потенциалов между обкладками конденсатора, при которой проис-

ходит п р о б о й  - электрический разряд через слой диэлектрика в конденса-

торе.  Пробивное  напряжение  зависит  от  формы  обкладок,  свойств  диэлек-

трика и его толщины. 

Для увеличения емкости и варьирования ее возможных значений конден-

саторы соединяют в батареи, при этом используется их параллельное и после-

довательное соединение. 

1 .   П а р а л л е л ь н о е  с о е д и н е н и е  конденсаторов (рис. 24). 

 

Рис. 24 

У  параллельно  соединенных  конденсаторов 

разность  потенциалов  на  обкладках  одина-

кова  и  равна 

B

A

    Если  емкость  отдель-

ных  конденсаторов  С

ь

  С

2

,..., 

n

C

э

  то,  согласно 

(1.51), их заряды равны 

B

A

1

1

C

Q

 

B

A

2

2

C

Q

 

B

A

n

n

C

Q

 

 

а заряд батареи конденсаторов 

n

1

i

B

A

n

2

1

i

C

...

C

C

Q

Q

. 

 

33 

Полная емкость конденсатора 

n

1

i

i

n

2

1

B

A

C

C

...

C

C

Q

C

, 

т.е. при параллельном соединении конденсаторов она равна сумме емкостей 

отдельных конденсаторов. 

2.  П о с л е д о в а т е л ь н о е    с о е д и н е н и е  конденсаторов (рис. 19). 

У последовательно соединенных конденсаторов заряды всех обкладок равны 

по  модулю,  а  разность  потенциалов  на  зажимах  батареи 

n

1

i

,  где  для 

любого из рассматриваемых конденсаторов 

C

Q

1

. 

 

Рис. 25 

С другой стороны ,  

n

1

i

i

C

1

Q

C

Q

, 

Откуда 

n

1

i

C

1

C

1

 

т.е. при последовательном соединении конденсаторов суммируются величины, 

обратные емкостям. Таким образом, при последовательном соединении конден-

саторов  результирующая  емкость  С  всегда  меньше  наименьшей  емкости,  ис-

пользуемой в батарее. 

 

1.20. Энергия системы зарядов уединенного проводника и конденсатора. 

Энергия электростатического поля 

 

1. Энергия системы неподвижных точечных з а р я д о в. Электростатиче-

ские силы взаимодействия консервативны, следовательно, система зарядов об-

ладает потенциальной энергией. Найдем потенциальную энергию системы двух 

неподвижных точечных зарядов Q

1

 и Q

2

, находящихся на расстоянии r друг от 

друга. Каждый из этих зарядов в поле другого обладает потенциальной энерги-

ей: 

12

1

1

Q

W

,      

21

2

2

Q

W

 

 

34 

где 

12

 и 

21

 - соответственно потенциалы, создаваемые зарядом Q

2

 в точке на-

хождения  заряда 

1

Q ,  и  зарядом 

1

Q в  точке  нахождения  заряда  Q

2

.Согласно 

(1.19), 

r

Q

4

1

2

0

12

    и   

r

Q

4

1

1

0

21

, 

поэтому 

W

W

W

2

1

и 

21

2

12

1

21

2

12

1

Q

Q

2

1

Q

Q

W

  .  Добавляя  к 

системе и двух нарядов последовательно заряды Q

3

, Q

4

,..., можно убедиться в 

том,  что  и  случае  n  неподвижных  зарядов  энергия  взаимодействия  системы 

точечных зарядов равна 

n

1

i

1

1

Q

2

1

W

,                                          (1.54) 

 (

i

 -потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд  Q

i

, всеми за-

рядами  кроме i-го 

2.  Энергия  заряженного  уединенного  проводника.  Пусть  имеется  уединенный 

проводник, заряд, ѐмкость и потенциал которого соответственно равны Q,C, . 

Увеличим заряд проводника на dQ. Для этого необходимо перенести заряд dQ 

из бесконечности на уединенный проводник, затратив на эту работу равную 

d

C

dQ

dA

. 

Чтобы  зарядить  тело  от  нулевого  потенциала  до 

,  необходимо  совер-

шить работу 

0

2

2

C

d

C

A

.                                          (1.55) 

Энергия заряженного проводника равна той работе, которую необходи-

мо совершить, чтобы зарядить этот проводник: 

C

2

Q

2

Q

2

C

W

2

2

.                                          (1.56) 

Эту  формулу  можно  получить  и  из  того,  что  потенциал  проводника  во 

всех его точках одинаков, так как поверхность проводника является эквипо-

тенциальной. Полагая потенциал проводника равным   из (1.54) найдем 

1

1

2

Q

2

Q

W

 

где 

i

i

Q

Q

-заряд проводника. 

3. Э н е р г и я   з а р я ж е н н о г о   к о н д е н с а т о р а .     Как  всякий  заряжен-

ный  проводник,  конденсатор  обладает  энергией,  которая  в  соответствии  с 

формулой (1.56) равна 

 

 

35 

C

2

Q

2

C

W

2

2

2

1

,                                     (1.57) 

где  Q  -  заряд  конденсатора,  С  -  его  емкость, 

2

1

-  разность  потенциалов 

между обкладками. 

4.  Э н е р г и я   э л е к т р о с т а т и ч е с к о г о   п о л я .   Преобразуем  формулу 

(1.57), выражающую энергию плоского конденсатора посредством зарядов и 

потенциалов, воспользовавшись выражением для емкости плоского конден-

сатора  

d

S

C

0

  и    разности    потенциалов    между    его    обкладками 

(

)

Ed

2

1

. Тогда получим 

2

V

2

Sd

W

2

0

2

0

,                                 (1.58) 

где  V  =  S  d  -  объем  конденсатора.  Формула  (1.58)  показывает,  что  энергия 

конденсатора  выражается  через  величину,  характеризующую  электростати-

ческое поле, - напряженность Е. 

О б ъ е м н а я   п л о т н о с т ь   энергии  электростатического  поля  (энергия 

единицы объема) 

2

D

2

V

W

w

2

0

.                                (1.59) 

Это  выражение  справедливо  только  для  и з о т р о п н о г о   д и э л е к т -

р и к а ,  для которого выполняется соотношение:  





0

P

 

Формулы (1.57) и (1.58) соответственно связывают энергию конденсато-

ра  с  зарядом  на  его  обкладках  и  напряженностью  поля.  Возникает,  естест-

венно,  вопрос о  локализации  электростатической  энергии  и что является се 

носителем - заряды или поле? Ответ на этот вопрос может дать только опыт. 

Электростатика изучает постоянные во времени поля неподвижных зарядов, 

т.е. в ней поля и обусловившие их заряды неотделимы друг от друга. Поэто-

му электростатика ответить на поставленные вопросы не может. Дальнейшее 

развитие  теории  и  эксперимента  показало,  что  переменные  во  времени 

электрические  и  магнитные  поля  могут  существовать  обособленно,  незави-

симо от возбудивших их зарядов, и распространяются в пространстве в виде 

электромагнитных  волн,  способных  переносить  энергию.  Это  убедительно 

подтверждает  основное  положение  теории  близкодействия  о  локализации 

энергии в поле и то, что поле является ее носителем. 

 

 

 

 

 

36 

ЛЕКЦИЯ №7 

2. ПОСТОЯННЫЙ  Э Л Е К Т Р И Ч Е С К И Й  ТОК 

2.1. Электрический ток. Сила и плотность тока 

 

В  э л е к т р о д и н а м и к е   -  разделе  учения  об  электричестве,  в  котором 

рассматриваются  явления  и  процессы,  обусловленные  движением  электри-

ческих  зарядов  или  макроскопических  заряженных  тел,  -  важнейшим  поня-

тием является понятие электрическою тока. Э л е к т р и ч е с к и м  т о к о м  на-

зывается любое упорядоченное (направленное) движение электрических за-

рядов.  В  проводнике  под  действием  приложенного  электрического  поля  Ё 

свободные электрические заряды перемешаются: положительные - по полю, 

отрицательные - против поля (рис.26, а), т.е. в нем возникает электрический 

ток,  называемый  т о к о м   п р о в о д и м о с т и .   Если  же  упорядоченное  дви-

жение электрических зарядов осуществляется перемещением в пространстве 

заряженного макроскопического тела (рис.26, б), то возникает гак называе-

мый к о н в е к ц и о и н н ы й  т о к. 

 

                                   а 

                б 

Рис. 26 

Для  возникновения  и  существования  электрического  тока  необходимо,  с 

одной  стороны,  наличие  свободных  н о с и т е л е й   т о к а   -  заряженных  час-

тиц, способных перемещаться упорядоченное с другой  - наличие электриче-

ского поля, энергия которого, каким-то образом восполняясь, расходовалась 

бы на их упорядоченное движение. За направление тока условно принимают 

направление движения положительных зарядов. 

Количественной  мерой  электрического  тока  служит  с и л а   т о к а   I  -

скалярная физическая величина, определяемая электрическим зарядом, про-

ходящим через поперечное сечение проводника в единицу времени: 

dt

dQ

I

. 

Ток, сила и направление которого не изменяются со временем, называ-

ется  п о с т о я н н ы м .   Для  постоянного  тока 

t

Q

I

,  где  Q  -  электрический 

заряд, проходящий за время t через поперечное сечение проводника. 

Единица силы тока - а м п е р ,  А. Физическая величина, определяемая си-

лой тока, проходящего через единицу площади поперечного сечения провод-

ника,  перпендикулярного  направлению  тока,  называется  п л о т н о с т ь ю        

т о к а: 

 

37 

dS

dl

j

. 

Выразим силу и плотность тока через скорость  упорядоченного дви-

жении  зарядов  в  проводнике.  Если  концентрация  носителей  тока  равна  n  и 

каждый носитель имеет элементарный заряд е, то за время dt через попереч-

ное сечение S проводника переносится заряд dQ=neSdt. Сила тока 

ne

dt

dQ

I

 S, 

а плотность 

 

ne

j



 <

v



>.                                              (2.1) 

Плотность тока - вектор, ориентированный по направлению тока, т.е. на-

правление  вектора 

j



  совпадает  с  направлением  упорядоченного  движения 

положительных зарядов. Единица плотности тока  - ампер на метр в квад-

рате, 

2

м

/

A

 

С и л а     тока  сквозь  произвольную  поверхность  S  определяется  как  по-

ток вектора 

j



 ,т.е. 

S

d

j

I





,                                                (2.2)           

где 

dS

n

S

d





  (

n



-единичный  вектор  нормали  к  площадке  dS,  составляющей  с 

вектором 

j



 угол 

).                                                                               

2.2. Сторонние силы. Электродвижущая сила и напряжение 

Если в цепи на носители тока действуют только силы электростатическо-

го поля, то происходит перемещение носителей (они предполагаются поло-

жительными) от точек с большим потенциалом к точкам с меньшим потен-

циалом.  

Это приведет к выравниванию потенциалов во всех точках цепи и исчез-

новению электрического поля. Поэтому для существования постоянного то-

ка необходимо наличие в цепи устройства, способного создавать и поддер-

живать  разность  потенциалов  за  счет  работы  сил  неэлектростатического 

происхождения. Такие устройства называются и с т о ч н и к а м и  т о к а .  Си-

лы  неэлектростатического  происхождения,  действующие  на  заряды  со  сто-

роны источника тока, называются с т о р о н н и м и .  

Природа  сторонних  сил  может  быть  различна.  Например,  в  гальваниче-

ских  элементах  они  возникают  за  счет  энергии  химических  реакций  между 

электродами  и  электролитами,  в  генераторе  -  за  счет  механической  энергии 

вращения  ротора  генератора  и  т.п.  Под  действием  создаваемого  поля  сто-

ронних  сил  электрические  заряды  движутся  внутри  источника  тока  против 

сил  электростатического  поля,  благодаря  чему  на  концах  цепи  поддержива-

 

38 

ется  разность  потенциалов  и  в  цепи  течет  постоянный  электрический  ток. 

Сторонние силы совершают работу по перемещению электрических зарядов. 

Физическая  величина,  определяемая  работой,  совершаемой  сторонними 

силами  при  перемещении  единичного  положительного  заряда,  называется 

э л е к т р о д в и ж у щ е й  с и л о й  (э.д.с.), действующей в цепи: 

0

Q

A

.                                                   (2.3) 

Эта работа производится за счет энергии, затрачиваемой в источнике тока, 

поэтому величину   можно назвать электродвижущей силой источника то-

ка, включенного в сеть. Часто вместо того чтобы сказать "в цепи действуют 

сторонние силы", говорят "в цепи действует э.д.с", т.е. термин "электродви-

жущая  сила"  употребляется  как  характеристика  сторонних  сил  Э.д.с,  как  и 

потенциал, выражается в вольтах. 

Сторонняя сила 

СТ

F



 действующая на заряд Q

o

, может быть выражена как 

0

СТ

СТ

Q

F





, 

где 

СТ



  -  напряженность  поля  сторонних  сил.  Работа  же  сторонних  сил  по 

перемещению заряда Q

o

 на замкнутом участке цепи равна 













d

Q

d

F

A

СТ

0

СТ

.                                     (2.4) 

Разделив (2.4.) на 

0

Q ,получим выражение для  э.д.с , действующей в цепи: 





d

СТ

, 

т.е. э.д.с, действующая в замкнутой цени, может быть определена как цир-

куляция  вектора  напряженности  поля  сторонних  сил  Э.д.с,  действующая 

на участке 1-2, равна 







d

2

1

СТ

12

.                                              (2.5) 

На заряд 

0

Q , помимо сторонних сил, действуют также силы электростати-

ческого поля  





0

Е

Q

F

 . Таким образом, результирующая сила, действующая в 

цепи на заряд Q

o

 , равна 

E

Q

F

F

F

СТ

0

E

СТ











. 

Работа, совершаемая результирующей силой над зарядом 

0

Q  на участке 1-2, 

равна 

2

1

2

1

0

СТ

0

12

d

Q

d

Q

A













. 

Используя выражения (2.5) и (1.20), можем записать 

2

1

0

12

0

12

Q

Q

A

.                                      (2.6) 

Для замкнутой цепи работа электростатических сил равна нулю, поэтому 

в данном случае 

12

0

12

Q

A

. 

 

39 

Н а п р я ж е н и е м U на участке 1 - 2 называется физическая величина, 

определяемая  работой  совершаемой  суммарным  полем  электростатических 

(кулоновских) и сторонних сил при перемещении единичного положитель-

ного заряда на данном участке цепи. Таким образом, согласно (2.6.). 

12

2

1

12

U

. 

Понятие  напряжения  является  обобщением  понятия  разности  потенциа-

лов  напряжения  на  концах  участка  цепи  равно  разности  потенциалов  в  том 

случае, если на этом участке не действует э.д.с., т.е. сторонние силы отсут-

ствуют 

жүктеу/скачать 1,34 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: