Лекция №1 электростатика
жүктеу/скачать 1,34 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 3.10. Магнитное поле соленоида и тороида
- 3.11. Поток вектора магнитной индукции
- 3.12. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле
- 3.13. Явление электромагнитной индукции
- 3.14. Закон Фарадой и его вывод из закона сохранения энергии
- 3.15. Вращение рамки и магнитном поле
3.9. Циркуляция вектора B для магнитного поля в вакууме
Аналогично циркуляции вектора напряженности электростатического по- ля введем ц и р к у л я ц и ю в е к т о р а м а г н и т н о й и н д у к ц и и . Цирку- ляцией вектора B
L L l d B d B , где d - вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода контура. B B cosα - составляющая вектора B
к контуру, α - угол между векторами B и d . Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуля- ции вектора B ) читается так: циркуляция вектора B по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной μ 0 на ал- гебраическую сумму токов, захватываемых этим контуром: n 1 i i 0 L L l I d B d B , (3.18) 59
где n - число проводников с током, охватываемых контуром L произвольной формы. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого вита, ток противопо- ложного на правления считается отри нательным. Например, для системы токов, изображенных на рис. 42, n 1
4 3 2 1 i I I 0 I 2 I I . Выражение (3.18) справедливо только для поля в вакууме, поскольку для поля в веществе необходимо учитывать молекулярные токи. Продемонстрируем справедливость теоремы о циркуляции вектора B
примере магнитного поля прямого тока I, перпендикулярного плоскости чертежа и направленного к нам (рис.43).
Рис. 42 Рис. 43 Представим себе замкнутый контур в виде окружности радиуса R. В каж- дой точке этого контура вектор B
тельной к окружности. Следовательно, циркуляция вектора B равна L L L R 2 B d B Bd Bd . Согласно выражению (3.18), получим I R 2 B 0 , откуда R I 2 B 0 . Таким образом, исходя из теоремы о циркуляции вектора B
выражение для магнитной индукции поля прямого тока, выведенное выше см.(3.7). Сравнивая выражения (1.14) и (3.18) для циркуляции векторов E и B , видим, что между ними существует принципиальное различие. Циркуляция вектора E электростатического поля всегда равна нулю, т.е. электростати- ческое поле является п о т е н ц и а л ь н ы м . Циркуляция вектора B
ного поля не равна нулю. Такое поле называется в и х р е в ы м . 60
Теорема о циркуляции вектора B имеет в учении о магнитном поле та- кое же значение, как теорема Гаусса в электростатике, т.к. позволяет нахо- дить магнитную индукцию поля без применения закона Био-Савара-Лапласа.
Можно рассчитать, применяя теорему о циркуляции, индукцию магнит- ного поля внутри соленоида. Рассмотрим соленоид длиной
витков, по которому течет ток (рис.44).
Рис. 44 Длину соленоида считаем во много раз больше, чем диаметр его витков, т.е. рассматриваемый соленоид бес- конечно длинный. Внутри соленоида поле является однородным, вне соле- ноида - неоднородным и очень сла- бым. Из расчетов приходим к выражению для магнитной индукции поля внут- ри соленоида (в вакууме): NI B 0 . (3.19) Важное значение для практики имеет также магнитное поле т о р о и д а - кольцевой катушки, витки которой намотаны на сердечник, имеющий форму тора (рис.45).
Рис. 45 Магнитное поле, как показывает опыт, со- средоточено внутри тороида, вне него поле отсутствует. Линии магнитной индукции в данном случае, как следует из соображений симметрии, есть окружности, центры кото- рых расположены но оси тороида. В качестве контура выберем одну такую окружность ра- диуса r. Тогда, по теореме и циркуляции (3.18), В NI r 2 0 , откуда следует, что магнитная индукция внутри тороида (в вакууме) r N 2 B 0 , (3.20) где N - число витков тороида. Если контур проходит вне тороида, то токов он не охватывает и r 2
=0. Это означает, что поле вне тороида отсутствует (что показывает и опыт).
61
3.11. Поток вектора магнитной индукции
Потоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) через площадку dS называется скалярная физическая величина равная dS B S d B dФ n B , где n B = Вcosα - проекция вектора B на направление нормали к площадке dS (α - угол между векторами n и B ), n dS S d - вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с направлением нормали n к площадке. Поток вектора B может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от знака cosα (определяется выбором положительного на- правления нормали n ), рис. 46.
Рис. 46 Обычно поток вектора B связывают с определенным контуром, по которому течет ток. В таком случае положительное на- правление нормали к контуру нами уже опре- делено: оно связывается с током пра
вилом правого винта. Таким образом, магнитный поток, созда- ваемый контуром через поверхность, огра- ниченную им самим, всегда положителен. Поток вектора магнитной индукции Ф В через произвольную поверхность S равен
S n S B dS B S d B Ф . (3.21) Для однородного поля и плоской поверхности, расположенной перпенди- кулярно вектору B
n =В=const и Ф В =BS. Из этой формулы определяется единица магнитного потока вебер (Вб): 1 Вб - магнитный поток, проходя- щий через плоскую поверхность площадью 1 м 2 , расположенную перпенди- кулярно однородному магнитному полю, индукция которого равна 1 Тл (1 Вб=1 Тл∙м 2 ).
Т е о р е м а Г а у с с а д л я п о л я B . Поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю: 0 dS
S d B S n S . (3.22) Эта теорема отражает факт отсутствия магнитных зарядов, вследствие че- го линии магнитной индукции не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми. В качестве примера рассчитаем поток вектора B через соле- ноид. Магнитная индукция однородного поля внутри соленоида с сердечни- ком с магнитной проницаемостью μ, согласно (3.19), равна NI B 0 . Маг- 62
нитный поток через один виток соленоида площадью S равен Ф 1 = BS, а пол- ный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида и называе- мый п о т о к о с ц е п л е н и е м , IS
NBS N Ф 2 0 1 . (3.23)
и контура с током в магнитном поле
На проводник с током в магнитном поле действуют силы, определяемые законом Ампера. Если проводник не закреплен (рис. 47), то под действием силы Ампера он будет в магнитном поле перемещаться, магнитное поле со- вершает работу по перемещению проводника с током. Для определения этой работы рассмотрим проводник длиной
ремещаться), помещенный в однородное внешнее магнитное поле, перпен- дикулярное плоскости контура. При указанных на рис 47 направлениях тока и поля сила, направление которой определяется но правилу левой руки, а значение - по закону Ампера, равна F=IВ . Рис. 47
Под действием силы проводник пе- реместится параллельно самому себе на отрезок dx из положения 1 в по- ложение 2. Работа, совершаемая маг- нитным полем, равна
dA = F dx = I В dS =I dФ, т.к. dx = dS - площадь, пересекаемая проводником при его перемещении в магнитном поле, ВdS = dФ – поток вектора магнитной индукции, пронизываю- щий эту площадь. Таким образом, dA = IdФ, (3.24) т.е. работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна про- изведению силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимся провод- ником. Полученная формула справедлива и для произвольного направления век- тора
B . Вычислим работу по перемещению замкнутого контура с постоянным током I в магнитном поле. Предположим, что контур М перемещается в плоскости чертежа и в результате бесконечно малого перемещения займет положение М′, изображенное на рис. 48 штриховой линией. Направление тока в контуре (по часовой стрелке) и магнитного поля (перпендикулярно плоскости чертежа - за чертеж) указано на рисунке. Контур М мысленно разобьем на два соединенных своими концами проводника: ABC и CDA.
63
В С А С А М М В Д d Ф d Ф 1 2 d Ф J Рис. 48
Работа dA, совершаемая силами Ампера при рассматриваемом перемещении контура в магнитном поле, равна алгебраической сумме работ по перемещению проводников ABC (dA 1 ) и CDA (dA 2 ),
dA = dA 1 +dA 2 , где dA 1 = -I(
0 1 dФ dФ ) и dA = I( 2 0
dФ ). Подставляя, получим dA = I ( 2 2 dФ dФ ), где ' dФ dФ dФ 1 2 - изменение магнитного потока через площадь, ограничен- ную контуром с током. Таким образом, dA = I dФ′. Проинтегрировав это выра- жение, получим Ф I
, (3.25) т.е. работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле рав- на произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, сцеп- ленного с контуром Формула (3.25) остается справедливой для контура лю- бой формы в произвольном магнитном поле.
Ранее было показано, что электрические токи создают вокруг себя маг- нитное поле. Связь магнитного поля с током привела к многочисленным по- пыткам возбудить ток в контуре с помощью магнитною поля. Эта фундамен- тальная задача блестяще решена в 1831г. английским физиком M .
Фарадеем, открывшим я в л е н и е э л е к т р о м а г н и т н о й и н д у к ц и и , заклю- чающееся в том, что в замкнутом проводящем контуре при изменении пото- ка магнитной индукции, охватываемою этим контуром, возникает ток, по- лучивший название и н д у к ц и о н н о г о . Рассмотрим классические опыты Фарадея, с помощью которых было об- наружено явление электромагнитной индукции Опыт 1. (рис.49,а) Если в замкнутый на гальванометр соленоид вдвигать или выдвигать постоянный магнит, то в моменты его вдвигания или выдви- гания наблюдается отклонение стрелки гальванометра (возникает индукци- онный ток): направления oтклонений стрелки при вдвигании и выдвигании магнита противоположны. Отклонение стрелки гальванометра тем больше, чем больше скорость движения магнита относительно катушки. При изме- 64
нении полюсов магнита направление отклонения стрелки изменится. Для по- лучения индукционного тока магнит можно оставить неподвижным, тогда нужно относительно магнита передвигать соленоид. Опыт 2. Концы одной из катушек,
вставленных одна в другую, присоеди- няются к гальванометру, а через другую катушку пропускается ток. Отклонение стрелки гальванометрa наблюдается в моменты включения или выключения тока, в моменты его увеличения или уменьшения или при перемещении ка- тушек друг относительно друга (рис.49,б). Направления отклонений стрелки гальванометра также противоположны при включении и выклю- чении тока, его увеличении и уменьшении, сближении и удалении кату- шек N
а
б Рис. 49
Обобщая результаты своих многочисленных опытов, Фарадей пришел к выводу, что индукционный ток возникает всегда, когда происходит из- менение слепленного с контуром потока магнитной индукции. Напри- мер, при повороте в однородном магнитном поле замкнутого проводяще- го контура в нем также возникает индукционный ток В данном случае индукция магнитного поля вблизи проводника остается постоянной, а меняется только поток магнитной индукции через площадь контура. Опытным путем было также установлено, что значение индукционного тока совершенно не зависит от способа изменения потока магнитной ин- дукции, а определяется лишь скоростью его изменения. Открытие явления электромагнитной индукции имело большое значе- ние т.к. была доказана возможность получения электрического тока с по- мощью магнитного поля. Этим была установлена взаимосвязь между элек- трическими и магнитными явлениями, что ПОСЛУЖИЛО В дальнейшем толч- ком для разработки теории электромагнитного поля
Обобщая результаты своих многочисленных опытов, Фарадей пришел к количественному закону электромагнитной индукции. Он показал, что всякий раз, когда происходит изменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции, в контуре возникает индукционный ток, который
65
указывает на наличие в цепи электродвижущей силы, называемой э л е к - т р о д в и ж у щ е й с и л о й э л е к т р о м а г н и т н о й и н д у к ц и и . Зна- чение индукционного тока, а следовательно и э.д.с. электромагнитной ин- дукции ε i , определяется только скоростью изменения магнитного потока, dt dФ ~ 1 . Теперь необходимо выяснить знак ε i . Было показано, что знак магнитно- го потока зависит от выбора положительной нормали к вектору. В свою оче- редь, положительное направление нормали связано с током правилом пра- вого винта. Следовательно, выбирая определенное направление нормали, мы определяем как знак потока, так и направление тока и э.д.с. в контуре. Поль- зуясь этими представлениями и выводами, можно соответственно
прийти к формулировке з а к о н а э л е к т р о м а г н и т н о й и н д у к ц и и Ф а р а - д е я : какова бы ни была причина изменения потока магнитной индукции, охватываемого замкнутым проводящим контуром, возникающая и контуре э.д.с. равна dt dФ
. (3.26) Знак минус
показывает, что увеличение потока вызывает dt dФ >0 вызыва- ет ε 1
уменьшение потока dt dФ <0 вызывает 0 0 , т.е. направление потока и поля индукционного тока совпадают. Знак минус в формуле (3.26) является мате- матическим выражением правила Ленца - общего правила для нахождения направления индукционного тока, выведенного в 1833г. II р а в и л о Л е н ц а: индукционный ток в контуре имеет всегда такое направление, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызвавшего этот индукционный ток. Закон Фарадея можем быть непосредственно получен из закона сохране- ния энергии, как это впервые сделал Г.Гельмгольц. Рассмотрим проводник с током І, который помещен в однородное магнитное поле, перпендикуляр- ное плоскости контура, и может свободно перемешаться (см. рис 47). Под действием силы Ампера F, направление которой показано на рисунке, про- водник перемешается на отрезок dx. Таким образом, сила Ампера произ- водит работу dА=IdФ, где dФ - пересеченный проводником магнитный поток. Если полное сопротивление контура равно R, то, согласно закону сохра- нения энергии, работа источника тока за время dt (ε I dt) будет склады- ваться из работы на джоулеву теплоту (І 2 R dt) и работы но перемещению проводника в магнитном поле (I dФ): IdФ
Rdt I Idt 2 ,
66
откуда R dt dФ I 1 , (3.27) где
dt dФ , есть не что иное, как з а к о н Ф а р а д е я 3 а к о н Ф а р а д е я можно сформулировать еще таким образом: э.д.с. ε 1
электромагнитной индукции в контуре численно равна и противоположна знаку скорости изменения магнитною потока сквозь поверхность, огра- ниченную этим контуром. Этот закон является универсальным, э.д.с ε 1 , не зависит от способа изменения магнитного потока Э.д.с. электромагнитной индукции выражается в вольтах. Действительно, учитывая, что единицей магнитного потока является в е б е р (Вб), получим В с А с В А с А Дж с м А м Н с м Тл с Вб dt dФ 2 2 . Какова природа э.д с. электромагнитной индукции? Согласно закону Фарадой, возникновение э.д.с. электромагнитной индук- ции возможно в случае неподвижного контура, находящегося в переменном магнитном поле. Однако сила Лоренца на неподвижные заряды не действует, поэтому в данном случае ею нельзя объяснить возникновение э.д.с. индукции. Максвелл для объяснения э.д.с. индукции в неподвижных проводниках пред- положил, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникнове- ния индукционного тока в проводнике Циркуляция вектора B E
этого поля по любому неподвижному контуру L проводника представляет собой э.д.с. элек- тромагнитной индукции: L B i dt dФ d . (3.28)
Явление электромагнитной индукции применяется для преобразования механической энергии в энергию электрического тока. Для этой цели используются г е н е р а т о р ы, принцип действия кото- рых можно рассмотреть на примере плоской рамки, вращающейся в одно- родном магнитном поле (рис. 50). 67
Рис. 50
Предположим, что рамка вращается в однородном магнитном поле (В - const) равномерно с угловой скоростью ω = const. Магнитный поток, сцеп- ленный с рамкой площадью S, в любой момент времени t, согласно (3.20), равен
Ф = B n dS=В S cos α = В S cos t , где α=ωt - угол поворота рамки в момент времени t (начало отсчетa вы- брано так, чтобы при t = 0 α = 0). При вращении рамки в ней будет возникать переменная э.д . с . индук- ции (см. 3.27) t sin
BS dt dФ i , (3.29) BS max
(3.30) определяет максимальные значения, достигаемые изменяющейся э.д.с. Учитывая (3.30), выражение (3.29) можно записать в виде t sin
max i . Таким образом, если в однородном магнитном поле равномерно вращается рамка, то в ней возникает переменная э.д.с, изменяющаяся но гармониче- скому закону Из формулы (3.30) вытекает, что max находится в прямой зависимости от величин ω, В и S. В России принята стандартная частота тока 50 ГЦ. Процесс превращения механической энергии в электрическую обратим. Если через рамку, помещенную в магнитное поле, пропускать электриче- ский ток, то в соответствии с (3.1) на нее будет действовать вращающий момент и рамка начнет вращаться. На этом принципе основана работа элек- тродвигателей, предназначенных для превращения электрической энергии в механическую.
|