Лекция №1 электростатика



жүктеу 1.11 Mb.

бет7/10
Дата15.03.2017
өлшемі1.11 Mb.
түріЛекция
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

3.9. Циркуляция вектора 

B



 для магнитного поля в вакууме 

 

Аналогично циркуляции вектора напряженности электростатического по-



ля  введем  ц и р к у л я ц и ю   в е к т о р а   м а г н и т н о й   и н д у к ц и и .   Цирку-

ляцией вектора 

B



 по заданному замкнутому контуру называется интеграл 



L

L

l



d

B

d



B





где  

  -  вектор  элементарной  длины  контура,  направленной  вдоль  обхода 



контура. 

B

B



cosα  -  составляющая  вектора 

B



  в  направлении  касательной 



к контуру, α - угол между векторами 

B



 и 



. 

Закон  полного  тока  для  магнитного  поля  в  вакууме  (теорема  о  циркуля-

ции  вектора 

B



)  читается  так:  циркуляция  вектора 

B



  по  произвольному 

замкнутому  контуру  равна  произведению  магнитной  постоянной  μ

0

  на  ал-



гебраическую сумму токов, захватываемых этим контуром: 

n

1



i

i

0



L

L

l



I

d

B



d

B





,                                       (3.18) 

 

59 


где n - число проводников с током, охватываемых контуром L произвольной 

формы.  Каждый  ток  учитывается  столько  раз,  сколько  раз  он  охватывается 

контуром.  Положительным  считается  ток,  направление  которого  связано  с 

направлением  обхода  по  контуру  правилом  правого  вита,  ток  противопо-

ложного  на  правления  считается  отри  нательным.  Например,  для  системы 

токов, изображенных на рис. 42, 

n

1

i



4

3

2



1

i

I



I

0

I



2

I

I



.  

Выражение (3.18) справедливо только для поля в вакууме, поскольку для 

поля в веществе необходимо учитывать молекулярные токи. 

Продемонстрируем  справедливость  теоремы  о  циркуляции  вектора 

B



  на 



примере  магнитного  поля  прямого  тока  I,  перпендикулярного  плоскости 

чертежа и направленного к нам (рис.43). 

 

                                    Рис. 42                                                 Рис. 43 



Представим себе замкнутый контур в виде окружности радиуса R. В каж-

дой точке этого контура вектор 

B



 одинаков по модулю и направлен по каса-



тельной к окружности. Следовательно, циркуляция вектора 

B



 равна 

L

L



L

R

2



B

d

B



Bd

Bd





Согласно выражению (3.18), получим 

I

R



2

B

0



, откуда 

R

I



2

B

0



Таким  образом,  исходя  из  теоремы  о  циркуляции  вектора 

B



,  получили 



выражение для магнитной индукции поля прямого тока, выведенное выше 

см.(3.7). 

Сравнивая  выражения  (1.14)  и  (3.18)  для  циркуляции  векторов 

E



  и 

B



видим, что между  ними существует принципиальное различие. Циркуляция 

вектора 

E



  электростатического  поля  всегда  равна  нулю,  т.е.  электростати-

ческое  поле  является  п о т е н ц и а л ь н ы м .   Циркуляция  вектора 

B



  магнит-



ного поля не равна нулю. Такое поле называется в и х р е в ы м .  

 

60 


Теорема о циркуляции вектора 

B



  имеет  в  учении  о  магнитном  поле  та-

кое  же  значение,  как  теорема  Гаусса  в  электростатике,  т.к.  позволяет  нахо-

дить магнитную индукцию поля без применения закона Био-Савара-Лапласа. 

 

3.10. Магнитное поле соленоида и тороида 

 

Можно  рассчитать,  применяя  теорему  о  циркуляции,  индукцию  магнит-



ного  поля  внутри  соленоида.  Рассмотрим  соленоид  длиной 



,  имеющий  N 

витков, по которому течет ток (рис.44). 

 

Рис. 44 



Длину  соленоида  считаем  во  много 

раз  больше,  чем  диаметр  его  витков, 

т.е.  рассматриваемый  соленоид  бес-

конечно длинный. Внутри соленоида 

поле является однородным, вне соле-

ноида  -  неоднородным  и  очень  сла-

бым. 

Из расчетов приходим к выражению для магнитной индукции поля внут-



ри соленоида (в вакууме): 

NI



B

0

.                                                      (3.19) 



Важное значение для практики имеет также магнитное поле  т о р о и д а  -

кольцевой  катушки,  витки  которой  намотаны  на  сердечник,  имеющий 

форму тора (рис.45). 

 

Рис. 45 



Магнитное  поле,  как  показывает  опыт,  со-

средоточено  внутри  тороида,  вне  него  поле 

отсутствует.  Линии  магнитной  индукции  в 

данном  случае,  как  следует  из  соображений 

симметрии,  есть  окружности,  центры  кото-

рых расположены но оси тороида. В качестве 

контура выберем одну такую окружность  ра-

диуса r. Тогда,  по  теореме  и  циркуляции 

(3.18), В

NI

r



2

0

, откуда следует, что магнитная индукция внутри тороида 



(в вакууме) 

r

N



2

B

0



,                                                 (3.20) 

где N - число витков тороида. 

Если контур проходит вне тороида, то токов он не охватывает и

r

2

B



=0. 

Это означает, что поле вне тороида отсутствует (что показывает и опыт). 

 


 

61 


3.11. Поток вектора магнитной индукции 

 

Потоком  вектора  магнитной  индукции  (магнитным  потоком)  через 



площадку dS называется скалярная физическая величина равная 

dS

B



S

d

B



n

B





где 

n

B =  Вcosα  -  проекция  вектора 



B

  на  направление  нормали  к  площадке 



dS (α - угол между векторами  n

 и 



B

), 



n

dS

S



d



 - вектор, модуль которого 

равен dS, а направление совпадает с направлением нормали  n

 к площадке. 



Поток вектора 

B



  может быть  как положительным,  так и отрицательным, 

в  зависимости  от  знака  cosα  (определяется  выбором  положительного  на-

правления нормали  n

), рис. 46. 



 

 

Рис. 46 



       Обычно  поток  вектора 

B



  связывают  с 

определенным  контуром,  по  которому  течет 

ток.  В  таком  случае  положительное  на-

правление нормали к контуру нами уже опре-

делено:  оно  связывается  с  током  пра

 

вилом 



правого винта. 

       Таким образом, магнитный поток, созда-

ваемый  контуром  через  поверхность,  огра-

ниченную им самим, всегда положителен. 

Поток  вектора  магнитной  индукции  Ф

В

  через  произвольную  поверхность 



S равен 

 

S



n

S

B



dS

B

S



d

B

Ф



.                                         (3.21) 



Для однородного поля и плоской поверхности, расположенной перпенди-

кулярно  вектору 

B



,  В



n

=В=const  и  Ф

В

=BS.  Из  этой  формулы  определяется 



единица  магнитного  потока  вебер  (Вб):  1  Вб  -  магнитный  поток,  проходя-

щий  через плоскую поверхность площадью 1 м

2

, расположенную перпенди-



кулярно  однородному  магнитному  полю,  индукция  которого  равна  1  Тл      

(1 Вб=1 Тл∙м

2

). 


Т е о р е м а  Г а у с с а  д л я  п о л я  

B



. Поток вектора магнитной индукции 

через любую замкнутую поверхность равен нулю: 

0

dS

B



S

d

B



S

n

S



.                                    (3.22) 



Эта теорема отражает факт отсутствия магнитных зарядов, вследствие че-

го  линии  магнитной  индукции  не  имеют  ни  начала,  ни  конца  и  являются 

замкнутыми. В качестве примера рассчитаем поток вектора 

B



  через  соле-

ноид. Магнитная индукция однородного поля внутри соленоида с сердечни-

ком  с  магнитной  проницаемостью  μ,  согласно  (3.19),  равна 

NI



B

0

.  Маг-



 

62 


нитный поток через один виток соленоида площадью S равен Ф

1

 = BS, а пол-



ный  магнитный  поток,  сцепленный  со  всеми  витками  соленоида  и  называе-

мый п о т о к о с ц е п л е н и е м ,  

IS

N



NBS

N

Ф



2

0

1



.                                     (3.23) 

 

3.12. Работа по перемещению проводника  



и контура с током в магнитном поле 

 

На проводник с током в магнитном поле действуют силы, определяемые 



законом  Ампера.  Если  проводник  не  закреплен  (рис.  47),  то  под  действием 

силы Ампера он будет в магнитном поле перемещаться, магнитное поле со-

вершает работу по перемещению проводника с током. Для определения этой 

работы  рассмотрим  проводник  длиной 



  с  током  I  (он  может  свободно  пе-

ремещаться),  помещенный  в  однородное  внешнее  магнитное  поле,  перпен-

дикулярное плоскости контура. При указанных на рис 47 направлениях тока 

и  поля  сила,  направление  которой  определяется  но  правилу  левой  руки,  а 

значение - по закону Ампера, равна F=IВ



 

Рис. 47 


Под  действием  силы  проводник  пе-

реместится  параллельно  самому  себе 

на  отрезок  dx  из  положения  1  в  по-

ложение 2. Работа,  совершаемая маг-

нитным полем, равна 

  

dA = F dx = I В dS =I dФ, 



т.к. 

dx  =  dS  -  площадь,  пересекаемая  проводником  при  его  перемещении  в 



магнитном поле, ВdS = dФ – поток вектора магнитной индукции, пронизываю-

щий эту площадь. Таким образом, 

dA = IdФ, 

                   (3.24) 

т.е. работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна про-

изведению силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимся провод-

ником. Полученная формула справедлива и для произвольного направления век-

тора 


B



Вычислим работу по перемещению замкнутого контура с постоянным током 

I  в  магнитном  поле.  Предположим,  что  контур  М  перемещается  в  плоскости 

чертежа и в результате бесконечно малого перемещения займет положение М′, 

изображенное  на  рис.  48  штриховой  линией.  Направление  тока  в  контуре  (по 

часовой  стрелке) и магнитного поля  (перпендикулярно плоскости чертежа  -  за 

чертеж) указано на рисунке. Контур М мысленно разобьем на два соединенных 

своими концами проводника: ABC и CDA. 


 

63 


В

С

А



С

А

М



М

В

Д



d

Ф

d



Ф

1

2



d

Ф

J



 

Рис. 48 


Работа  dA,  совершаемая  силами  Ампера  при  рассматриваемом  перемещении 

контура в магнитном поле, равна алгебраической сумме работ по перемещению 

проводников ABC (dA

1

) и CDA (dA



2

), 


dA = dA

1

+dA



2

где dA



1

= -I(


0

1



) и dA = I(

2

0



). Подставляя, получим 

dA = I (

2

2



), 



где 

'



1



2

- изменение магнитного потока через площадь, ограничен-

ную контуром с током. Таким образом, dA = I dФ′. Проинтегрировав это выра-

жение, получим 

Ф

I

A



,                                      (3.25) 

т.е. работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле рав-

на произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, сцеп-

ленного с контуром  Формула (3.25) остается справедливой для контура лю-

бой формы в произвольном магнитном поле. 

3.13. Явление электромагнитной индукции 

Ранее  было  показано,  что  электрические  токи  создают  вокруг  себя  маг-

нитное поле. Связь магнитного поля с током привела к многочисленным по-

пыткам возбудить ток в контуре с помощью магнитною поля. Эта фундамен-

тальная задача блестяще решена в 1831г. английским физиком M .

 

Фарадеем, 



открывшим  я в л е н и е     э л е к т р о м а г н и т н о й   и н д у к ц и и ,  заклю-

чающееся в том, что в замкнутом проводящем контуре при изменении пото-

ка  магнитной  индукции,  охватываемою  этим  контуром,  возникает  ток,  по-

лучивший название   и н д у к ц и о н н о г о . 

Рассмотрим классические опыты Фарадея, с помощью которых было об-

наружено явление электромагнитной индукции 

Опыт  1.  (рис.49,а)  Если  в  замкнутый  на  гальванометр  соленоид  вдвигать 

или выдвигать постоянный магнит, то в моменты  его вдвигания или выдви-

гания  наблюдается  отклонение  стрелки  гальванометра  (возникает  индукци-

онный  ток):  направления  oтклонений  стрелки  при  вдвигании  и  выдвигании 

магнита  противоположны.  Отклонение  стрелки  гальванометра  тем  больше, 

чем  больше  скорость  движения  магнита  относительно  катушки.  При  изме-



 

64 


нении полюсов магнита направление отклонения стрелки изменится. Для по-

лучения  индукционного  тока  магнит  можно  оставить  неподвижным,  тогда 

нужно относительно магнита передвигать соленоид. 

Опыт  2.  Концы  одной  из  катушек,

 

вставленных  одна  в  другую,  присоеди-



няются к гальванометру, а через другую катушку пропускается ток. Отклонение 

стрелки  гальванометрa  наблюдается  в  моменты  включения  или  выключения 

тока, в моменты его увеличения или уменьшения или при перемещении ка-

тушек  друг  относительно  друга  (рис.49,б).  Направления  отклонений 

стрелки гальванометра также противоположны при включении и выклю-

чении  тока,  его  увеличении  и  уменьшении,  сближении  и  удалении  кату-

шек 

N

S



 

      а 


                  б 

Рис. 49 


Обобщая  результаты  своих  многочисленных  опытов,  Фарадей  пришел 

к выводу, что индукционный ток возникает всегда, когда происходит из-

менение  слепленного  с  контуром  потока  магнитной  индукции.  Напри-

мер, при повороте в однородном магнитном поле замкнутого проводяще-

го контура в нем также возникает индукционный  ток  В  данном  случае 

индукция  магнитного  поля  вблизи  проводника  остается  постоянной,  а 

меняется только поток магнитной индукции через площадь контура. 

Опытным путем было также установлено, что значение индукционного 

тока совершенно  не зависит от  способа изменения потока магнитной ин-

дукции, а определяется лишь скоростью его изменения. 

Открытие явления электромагнитной индукции имело большое  значе-

ние т.к. была доказана возможность получения электрического тока с по-

мощью магнитного поля. Этим была установлена взаимосвязь между элек-

трическими и магнитными явлениями, что 

ПОСЛУЖИЛО В 

дальнейшем толч-

ком для разработки теории электромагнитного поля 

 

3.14. Закон Фарадой и его вывод из закона сохранения энергии 

 

Обобщая  результаты  своих   многочисленных  опытов,  Фарадей  пришел  к 



количественному  закону  электромагнитной  индукции.  Он  показал,  что 

всякий  раз,  когда  происходит  изменение  сцепленного  с  контуром  потока 

магнитной  индукции,  в  контуре  возникает  индукционный  ток,  который 


 

65 


указывает  на  наличие  в  цепи  электродвижущей  силы,  называемой  э л е к -

т р о д в и ж у щ е й   с и л о й   э л е к т р о м а г н и т н о й   и н д у к ц и и .   Зна-

чение  индукционного  тока, а следовательно и  э.д.с.  электромагнитной ин-

дукции  ε

i

,  определяется  только  скоростью  изменения  магнитного  потока,  



dt

~



1

Теперь необходимо выяснить знак ε



i

. Было показано, что знак магнитно-

го потока зависит от выбора положительной нормали к вектору. В свою оче-

редь,  положительное  направление  нормали  связано  с  током  правилом  пра-

вого винта. Следовательно, выбирая определенное направление нормали, мы 

определяем как знак потока, так и направление тока и э.д.с. в контуре. Поль-

зуясь этими представлениями и выводами, можно соответственно

 

прийти к 



формулировке  з а к о н а   э л е к т р о м а г н и т н о й   и н д у к ц и и   Ф а р а -

д е я :   какова  бы  ни была  причина изменения потока  магнитной индукции, 

охватываемого замкнутым проводящим контуром, возникающая и  контуре 

э.д.с. равна 

dt



1



.                                                   (3.26) 

Знак минус

 

показывает, что увеличение потока  вызывает 



dt

 >0 вызыва-



ет  ε

1

<0,  т.е.  поле  индукционного  тока  направлено  навстречу  потоку, 

уменьшение  потока 

dt



<0 вызывает

0

0



, т.е. направление потока и поля 

индукционного тока совпадают. Знак минус в формуле (3.26) является  мате-

матическим  выражением правила  Ленца  - общего  правила  для нахождения 

направления индукционного тока, выведенного в 1833г. 

II р а в и л о Л е н ц а: индукционный ток в контуре имеет всегда такое 

направление, что создаваемое им магнитное поле  препятствует изменению 

магнитного потока, вызвавшего этот индукционный ток. 

Закон Фарадея можем быть непосредственно получен  из закона сохране-

ния энергии, как это впервые сделал Г.Гельмгольц. Рассмотрим проводник 

с током І, который помещен в однородное магнитное поле, перпендикуляр-

ное  плоскости  контура,  и  может  свободно  перемешаться  (см.  рис  47).  Под 

действием силы Ампера  F, направление которой показано на рисунке, про-

водник  перемешается  на  отрезок  dx.  Таким  образом,  сила  Ампера  произ-

водит  работу  dА=IdФ,  где  dФ  -  пересеченный  проводником  магнитный 

поток. 

Если полное сопротивление контура равно  R, то, согласно закону сохра-



нения  энергии,  работа  источника  тока  за  время  dt  (ε  I  dt)  будет  склады-

ваться из работы на джоулеву теплоту (І

2

 R dt) и работы но перемещению 



проводника в магнитном поле (I dФ): 

IdФ


Rdt

I

Idt



2



 

66 


откуда 

R

dt



I

1



,                                               (3.27) 

где 


dt

,   есть не что иное, как з а к о н Ф а р а д е я 



3  а  к  о  н  Ф а р а д е я  можно  сформулировать  еще  таким  образом:  э.д.с.  ε

1

 



электромагнитной  индукции  в  контуре  численно  равна  и  противоположна 

знаку  скорости  изменения  магнитною  потока  сквозь  поверхность,  огра-

ниченную  этим  контуром.  Этот  закон  является  универсальным,  э.д.с  ε

1

,  не 



зависит от способа изменения магнитного потока 

Э.д.с.  электромагнитной индукции выражается в вольтах.  Действительно, 

учитывая, что единицей магнитного потока является в е б е р (Вб), получим 

В

с



А

с

В



А

с

А



Дж

с

м



А

м

Н



с

м

Тл



с

Вб

dt



2

2



Какова природа э.д с. электромагнитной индукции? 

Согласно закону Фарадой, возникновение э.д.с. электромагнитной индук-

ции  возможно  в  случае  неподвижного  контура,  находящегося  в  переменном 

магнитном поле. Однако сила Лоренца на неподвижные заряды не действует, 

поэтому в данном случае ею нельзя объяснить возникновение э.д.с. индукции. 

Максвелл для объяснения  э.д.с. индукции в неподвижных проводниках пред-

положил,  что  всякое  переменное  магнитное  поле  возбуждает  в  окружающем 

пространстве  электрическое  поле,  которое  и  является  причиной  возникнове-

ния индукционного тока в проводнике Циркуляция вектора 

B

E



 этого поля по 

любому неподвижному контуру L проводника представляет собой э.д.с. элек-

тромагнитной индукции: 

L

B



i

dt



d



.                                          (3.28) 

 

3.15. Вращение рамки и магнитном поле 

 

Явление  электромагнитной  индукции  применяется  для  преобразования 



механической энергии в энергию электрического тока. 

Для этой цели используются г е  н е р а т о р ы, принцип действия кото-

рых  можно  рассмотреть  на  примере  плоской  рамки,  вращающейся  в  одно-

родном магнитном поле (рис. 50). 



 

67 


 

Рис. 50 


Предположим,  что  рамка  вращается  в  однородном  магнитном  поле  (В  - 

const)  равномерно  с  угловой  скоростью  ω  =  const.  Магнитный  поток,  сцеп-

ленный с рамкой площадью S, в любой момент времени t, согласно (3.20), 

равен 


Ф = B

n

 dS=В S cos α = В S cos t , 



где  α=ωt  -  угол  поворота  рамки  в  момент  времени  t  (начало  отсчетa  вы-

брано так, чтобы при t = 0 α = 0). 

При вращении рамки в ней будет возникать переменная   э.д . с .    индук-

ции (см. 3.27) 

t

sin


BS

dt



i

                       (3.29) 



BS

max


 

               (3.30) 

определяет  максимальные  значения,  достигаемые  изменяющейся  э.д.с. 

Учитывая (3.30), выражение (3.29) можно записать в виде 

t

sin


max

i



Таким образом, если в однородном магнитном поле равномерно вращается 

рамка,  то  в  ней  возникает  переменная  э.д.с,  изменяющаяся  но  гармониче-

скому закону 

Из  формулы  (3.30)  вытекает,  что 

max

  находится  в  прямой  зависимости  от 



величин ω, В и S. В России принята стандартная частота тока 50 ГЦ. 

Процесс  превращения  механической  энергии  в  электрическую  обратим. 

Если  через  рамку,  помещенную  в  магнитное  поле,  пропускать  электриче-

ский  ток,  то  в  соответствии  с  (3.1)  на  нее  будет  действовать  вращающий 

момент и рамка начнет вращаться. На этом принципе основана работа элек-

тродвигателей,  предназначенных  для  превращения  электрической  энергии  в 

механическую. 

 

 



 

 

68 



1   2   3   4   5   6   7   8   9   10


©emirsaba.org 2017
әкімшілігінің қараңыз

войти | регистрация
    Басты бет


загрузить материал