2.2.2 Евклид кеңістігінің нормасы және оның қасиеттері Евклид кеңістігінің анықтамасындағы 4-аксиома бойынша кез келген элементтің (вектордың) скаляр көбейтіндісі нақты оң сан. Сондықтан, бұл скаляр көбейтіндіден квадрат түбір былай табылады:
(2)
2-анықтама. Евклид кеңістігінің элементіне сәйкес келетін скаляр көбейтіндінің квадрат түбірін оның нормасы (немесе ұзындығы, модулі) деп атаймыз және оны символымен белгілеп, мына
(3)
формуламен өрнектейміз.
Ұзындығы бірге тең вектор нормаланған вектор деп аталады.
1-теорема. Евклид R кеңістігінің кез келген x, y R элементіне Коши-Буняковский немесе теңсіздігі орындалады.
3-анықтама. Егер евклид кеңістігіндегі
(4)
векторлар жүйесіне
(5)
теңдіктері орындалса, онда (4) векторларды ортонормалданған векторлар, егер (5) теңдіктердің тек бірінші теңдіктері ғана орындалса, онда олар ортогоналды векторлар деп аталады.
2-теорема. Нөлдік вектор кез келген векторға ортогонал:
Дәлелдеуі. Кез келген векторға теңдеуі орындалсын делік. Дәлелдеу керек болғанда . Бұдан . Теорема дәлелденді.
3-теорема.Ортонормалданған векторлар жүйесі сызықты тәуелсіз.
4-теорема. Кез келген өлшемді евклид кеңістігінде вектордан құрылған ортонормалданған базис бар.
2.2.3. Ортонормалданған векторлар жүйесінің қасиеттері
5-теорема. Нөлдік вектор кез келген векторға ортогонал:
Дәлелдеуі. Кез келген векторға теңдеуі орындалсын делік. Дәлелдеу керек болғанда . Бұдан . Теорема дәлелденді.
6-теорема(Пифагор). Егер және векторлары ортогонал болса: , онда
7-теорема. Ортонормалданған векторлар жүйесі сызықты тәуелсіз.
Ортогоналды векторлар жүйесі мен ортонормалданған векторлар жүйесін өрнектейтін формулаларды төмендегі теоремаларда дәлелдеулерімен келтірейік.
