Лекция 1 Матрицалар және анықтауыштар
жүктеу/скачать 1,93 Mb.
|
Конспект лекции Алгебра және сандар теориясы
- Бұл бет үшін навигация:
- 7-лекция 3.1 Сызықты операторлар және олардың матрицасы 3.1.1 Сызықты түрлендірулер (операторлар)
- 3-анықтама.
- 4-анықтама.
- 6-анықтама.
| 3-мысал. берілген болса, ортогональ базисін құрайтын векторларын табыңыз.
Шешуі. делік, векторын түрінде іздейміз. Демек, . Енді векторын сызықты комбинация түрінде іздейміз. Демек, 4-мысал. Берілген векторлар жиынтығын ортогональдау керек . Шешімі: Шмидтің алгоритмі бойынша бірінші қадамда . болғандықтан, екінші қадамда , Үшінші қадамда , мұндағы , тең болғандықтан 7-лекция 3.1 Сызықты операторлар және олардың матрицасы 3.1.1 Сызықты түрлендірулер (операторлар) R кеңістігін өзіне-өзін бейнелейтін :R→R сызықты түрлендіруді R кеңістігінің сызықты түрлендіруі деп атайды. Сызықты түрлендіру сызықты бейнелеудің дербес жағдайы болғандықтан, бейнелеу үшін анықталған барлық ұғымдар мен олардың қасиеттері түрлендіру үшін де орынды. Сызықтық түрлендірулер теориясын қолдану мүмкіндігі жоғары, өйткені оның қасиеттері шамалардың табиғатына байланысты емес. Әдетте, сызықты түрлендіруді сызықты оператор деп те атайды. Сол себепті, келесі анықтамаларда түрлендіру сөзінің жанына жақша ішінде опреатор сөзі тіркеліп жазылған. 1-анықтама. Сызықты кеңістігінің әрбір элементіне осы кеңістікте анықталған элементі сәйкес келсе, онда кеңістігінде түрлендіру (оператор) берілді дейміз және ол таңбасымен белгіленеді, яғни Демек, кеңістігінің - түрлендіруі осы кеңістіктің элементіне () әсер етіп, осы элементке кеңістігінің элементін сәйкес қояды. Бұл жағдайда, кеңістігінде - түрлендіруі берілді дейміз және таңбасымен белгіленеді. 2-анықтама. Сызықты кеңістігіндегі түрлендіру сызықты (сызықты оператор) деп аталады, егер барлық элементтері үшін 1) (1) 2) (2) шарттары орындалса, мұнда - кез келген сан. Бұл шарттарды төмендегі бір теңсіздікпен алмастыруға болады: (3) - түрлендіруінің элементі элементтің бейнесі, ал элементі элементінің түпбейнесі дейміз. Cызықты кеңістігінің кез келген сызықты түрлендіруі: 1) нөлдік элементті нөлдік элементке түрлендіреді (- түрлендіруі нөлдік элементті өзгертпейді): 2) қарама-қарсы элементті оның қарама-қарсы бейнесіне түрлендіреді, яғни . Шынында да, кез келген элемент болсын, онда және . Cызықты кеңістігінің кез келген элементін нөлдік элементке түрлендіруді нөлдік түрлендіру дейміз және ол деп белгіленеді, яғни . Бұл теңдіктің оң жағындағы - нөл элемент, ал сол жағындағы - нөлдік түрлендіру. Нөлдік түрлендіру сызықты түрлендіру болады. Cызықты кеңістігінің кез келген элементін сол элементтің өзіне-өзін түрлендіру бірлік немесе тепе-теңдік түрлендіру деп аталады және ол деп белгіленеді, яғни . сызықты кеңістігінің кез келген элементін оның элементіне түрлендіретін түрлендіруі сызықты болатынын көрсетейік. Шынында да, қарастырып отырған түрлендіруін мына түрде жазамыз: Сонда Жоғарыда қарастырылған нөлдік және бірлік түрлендірулер – соңғы қарастырылған түрлендірулердің дербес жағдайы. Егер болса, онда - нөлдік түрлендіру, егер болса, онда - бірлік түрлендіру. Сызықты түрлендіруге мысалдар келтірейік: 1-мысал. Дәрежесі - нен үлкен емес көпмүшеліктер жиынын қарастырайық, яғни және мұндағы - көпмүшелігінің бірінші туындысы. Бұл жағдайда сызықты түрлендіру. Өйткені, мұндағы түрлендіруі дифференциалды түрлендіру деп аталады. 2-мысал. сызықты кеңістігіндегі түрлендіруі сызықты бола ма, мұндағы - тұрақты сан, Шешуі. мұндағы түрлендіруі сызықты болмайды, себебі, сызықты болу шарттары орындалмайды. Кез келген сызықты түрлендірулерге қосу, көбейту және санға көбейту амалдары орындалады. Айталық, сызықты кеңістігінде мен сызықтық түрлендірулері берілсін: , . 3-анықтама. мен сызықтық түрлендірулерінің қосындысы деп түрлендіруін айтамыз, егер кеңістігінің әрбір элементіне элементі сәйкес келсе, онда ол таңбасымен белгіленеді немесе 4-анықтама. саны мен сызықты түрлендіруінің көбейтіндісі деп түрлендіруін айтамыз, егер көбейтіндіге мына ереже орындалса 5-анықтама. мен сызықтық түрлендірулердің көбейтіндісі деп түрлендіруін айтамыз, бұл жағдайда кеңістігінің әрбір элементіне элементі сәйкес келеді және түрлендірулердің көбейтіндісі таңбасымен белгіленеді. 6-анықтама. Егер кеңістігінің кез келген элементі үшін теңдігі орындалса, онда мен сызықтық түрлендірулер тең деп аталады, тең түрлендірулерді таңбасымен белгілейміз. Тең түрлендірулердің сәйкес матрицалары тең болады. Сонымен, жоғарыдағы айтылған анықтамалардан мынадай қорытындыға келеміз. Сызықты түрлендіруге қолданылатын амалдар қосу, көбейту, дәрежелеу амалдарының төмендегі шарттарын қанағаттандырады: 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. , . жүктеу/скачать 1,93 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|