Лекция 1 Матрицалар және анықтауыштар
жүктеу/скачать 1,93 Mb.
|
Конспект лекции Алгебра және сандар теориясы
| 8-теорема. Егер евклид кеңістігіндегі сызықты тәуелсіз векторлар жүйесі болса, онда оған сызықты тәуелді ортогоналды векторлар жүйесі мына төмендегі
(7) формулалармен өрнектеледі, мұндағы (8) Дәлелдеуі. Теореманы индукция әдісімен дәлелдейміз. Іздеп отырған векторын берілген векторға тең деп аламыз: , ал векторды (9) теңдеуінен анықтаймыз, мұндағы белгісіз тұрақты коэффициент. Егер болса, онда векторлары сызықты тәуелді, ал бұл теореманың шартына қарама-қайшы, себебі векторлары сызықты тәуелсіз. Сондықтан . Белгісіз коэффициентті табу үшін (9) теңдікті векторына скаляр көбейтеміз: . Іздеп отырған вектор белгілі векторына ортогонал болу керек: . Онда . Сонымен, (7), (8) формулалардың тең жағдайлары дәлелденді. ортогонал векторларын (7)-ден, оның коэффициенттерін (8) формуламен өрнектелетіндей етіп векторын ізделік. Ол векторды (10) теңдігінен анықтаймыз, мұндағы белгісіз тұрақты коэффициенттер. Егер болса, онда векторлары сызықты тәуелді, ал ол теореманың шартына қарама-қайшы. Ендеше, . Белгісіз тұрақты коэффициенттерді табу үшін, (10) теңдеуді векторларына скаляр көбейтіп және ортогонал векторлар екенін ескеріп, белгісіз коэффициенттері (8), формулалардан анықталатынын дәлелдейміз. Теорема дәлелденді. 9-теорема. Егер евклид кеңістігіндегі ортогоналды векторлар жүйесі болса, онда оған сызықты тәуелді ортонормалданған векторлар жүйесін мына төмендегі (11) формулалармен өрнектеуге болады. Дәлелдеуі. Теореманы дәлелдеу үшін (11) формулаларымен өрнектелген ортонормалданған векторлар жүйесі екенін дәлелдесек жеткілікті. Шынында да, егер болса, онда: Ал, егер болса, онда: Теорема дәлелденді. жүктеу/скачать 1,93 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|