8-анықтама. Егер N натурал сандар жиынында қосу, көбейту операциялары және реттік қатынас анықталған болса, онда <N,+,,< > алгебралық жүйесі натурал сандардың реттелген жүйесі деп аталады.
4.1.2 Алгебралық амалдар анықталған жиын. Алгебралар
9-анықтама. А жиынындағы бинарлық амал деп АхА жиынының А жиынына f бейнелеуін айтады. Оны f(<a, b >)=с немесе f(a,b)=с, afb=с немесе < a, b>с деп белгілейді де, с элементін а,b элементтерінің композициясы деп атайды.
Аn= АхАх...хА жиынын А жиынының n-ші дәрежесі деп атайды. Аn жиынының А жиынына бейнеленуі n орынды амал деп аталады. n=1 болғанда амал унарлық, n=2 болғанда бинарлық деп аталады.
Мысалдар:
1º. A = N = {1,2,3,...}- натурал сандар жиынында * = (+) - кəдімгі сандарды қосу амалы бинарлы алгебралық амал, себебі кез келген екі натурал сандардың қосындысы натурал сан болады.
2º. Жоғарғы N жиынында * = (/) - бөлу амалы алгебралық болмайды, себебі 3/2 өрнегі натурал сан емес. Сол сияқты алу амалы да бұл жиында алгебралық болмайды.
Ескерту: Жиында əртүрлі екі бинарлы алгебралық амалдар анықталса, онда оларды өзара ажырату үшін біреуін (+) екіншісін () белгілерімен белгілейді. Бірақ бұл белгілерді кəдімгі сандарды қосу жəне көбейту амалдарымен шатастырмау керек. Олар жай ғана алгебралық амалдар белгілері.
10-анықтама. Егер е * a = a болса, е сол жақ, ал егер a * е= a болса, е оң жақ нейтраль элемент деп аталады.
Бинарлық амал (+) қосу болғанда оны аддитивтік жазылу, ал () көбейту болғанда мультипликативтік жазылу деп атайды.
11-анықтама. А=<А, > реттелген жұпты алгебра деп айтады. А – бос емес жиын, - А жиынында анықталған амалдар жиыны.
А – алгебраның негізгі жиыны, оның элементтері А алгебрасының элементтері, ал - амалдар жиынының элементтері А алгебрасының негізгі амалдары деп аталады. ={f1, f2 , ..., fs} болса, А=<А, {f1, f2 , ..., fs}> орнына А=<А, f1, f2 , ..., fs> деп жазады. А алгебрасының тегі деп r(f1), r(f2),..., r(fs) тізбегін айтады, r – алгебралық амалдың рангі. Екі алгебраның тектері беттессе, онда олар бір текті алгебралар деп аталады.
Мысалы:
Z бүтін сандар жиынында анықталған қосу және көбейту амалдары бойынша алгебрасы (2,2) текті алгебра құрайды.
N натурал сандар жиынында анықталған қосу және көбейту амалдары бойынша < N, +, > алгебрасы (2,2) текті алгебра құрайды.
