Лекция 15 Практикалық сабақ 15 ожсөж -30 СӨЖ 30 Емтихан 2 Барлығы 90 сағат

 
Жан Озанам (1640-3.04.1717) 
1. Жеті достар түскі тамақтануға жиналды, бірақ олар кім-кіммен отыру керек 
екендігін шеше алмады. Сол кезде біреуі оларға қалай болса да отыруды бұйырды, 
бірақ, келесі күні жəне тағы да басқа тамақтану кездерінде əртүрліше отырамыз деп 

келісілді. Осылайша барлық мүмкін жағдайлар аяқталғанша олар қанша рет бірге 
тамақтана алады? 
 
Исаак Ньютон (4.01.1643 – 31.03.1727) 
2. Бірдей қалыңдықтарда шөп өскен үш көгалдардың аудандары 
10
,
3
1
3
 жəне 24 га. 
Бірінші көгалда 12 өгіз 4 күн, ал екіншісінде 24 өгіз 9 күн шамасында жайылады. 
Үшінші көгалдағы барлық шөпті 18 күнде жеп тауысу үшін қанша өгіз жіберуге 
болады? 
3. Ара қашықтықтары 59 миль болатын екі жерден А жəне В пошташылары бір-біріне 
қарама-қарсы шықты. А поштасы 2 сағатта 7 миль, ал В А поштасынан 1 сағатқа кеш 
шығып, 3 сағатта 8 миль жүреді. А пошташысы В мен кездесу үшін қанша миль 
жүрді? 
 
Тогфрид Вильгельм Лейбниц (1.07.1646 – 14.11.1716) 
1. Лейбництің белгілі 
....
7
1
5
1
3
1
1
1
4
+
−
+
−
=
π
 қатарынан 
8
π
 үшін қатар алыңыз. 
2. Дəлелдеңіз: 
.
6
3
1
3
1
=
−
−
+
−
+
 
3. Лейбництің сандардан тұратын гормониялық үшбұрышының Паскаль үшбұрышы 
сияқты бірнеше қасиеттері бар. 
                    
      
1
1
 
      
2
1
     
2
1
 
       
3
1
      
6
1
        
3
1
 
       
4
1
       
12
1
      
12
1
       
4
1
 
        
5
1
       
20
1
      
30
1
     
20
1
    
5
1
 
Джованни Чева (1648 – 13.12.1734) 
1. (X, Y, Z – үш нүкте берілген болсын). 
АВС үшбұрышының қабырғасында жататын  X, Y, Z – үш нүкте берілген болсын. 
(АX), (ВС), (CZ) бір нүктеде қиылысу үшін 
1
=
⋅
⋅
ZB
AZ
YA
CY
XC
BX
 болуы қажетті жəне 
жеткілікті. 
Гвидо Гранди (IX 1671 – 4.VII 1742) 
1. 
( )
S
n
=
−
+
+
−
+
−
+1
1
...
1
1
1
1
 болса, онда 
( )
n
S
1
...
1
1
1
1
−
+
+
−
+
−
=
−
 немесе 
S
S
−
=
−1
 болады. 
Бұдан 
0
.
2
1
=
=
S
S
 шығатындай 
(
) (
)
0
...
1
1
1
1
=
+
−
+
−
 мүше қатарын группалау керек. 
Сондықтан 
0
2
1
=
. Бұдан 
?!
0
1 =
 
Лоран Патенот (1660 -01.08.1782). 

1. 
α
 жəне 
β
 бұрыштары арқылы көрінетін немесе А,В,С үш нүктелері арқылы 
құралған 
[ ]
AB
 жəне 
[ ]
BC
 кесіндісінің нүктесін тап. 
 
Жорж Аум-Леклерк Бюфан (7.IX.1707 -16.IV.1788) 
1. Жазықтықта арақашықтығы шырпының ұзындығына тең, параллель түзулердің 
жүйесі жүргізілген жазықтыққа шырпының бумасын лақтырды. Шырпының бір 
параллель түзумен қиылысу ықтималдығы 
π
2
–ге тең. 
Европа XIX-XXғ 
Жозеф Лун Лагранж (25.01.1736-10.10.1813) 
1. Теңдікті тексер: 
(
)(
)
(
) (
) (
) (
)
(
)
(
)(
)
(
) (
)
(
) (
)
(
)
;
...
...
...
...
...
)
.
)
2
1
1
2
2
3
3
2
2
1
1
2
1
3
3
1
2
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
−
+
+
+
+
−
−
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
y
y
x
x
x
y
x
y
x
y
x
б
C
B
BC
C
A
AC
B
A
AB
CC
BB
AA
C
B
A
C
B
A
a
 
Карл Фридрих Гаусс (30.04.1777-23.02.1855) 
1. Егер төртбұрыштың ешбір қабырғасы параллель болмаса, онда қарсы жатқан 
қабырғалардың қиылысу нүктелерін қосатын кесіндінің ортасы, диагоналдарының 
орталарын қосатын түзуде жатыр. 
 
Симеон Дени Пуассон (21.06.1781-25.04.1840) 
1. Бір адамда 12 пинт вино бар. (I пунт-0,568л). Ол адамда сыйымдылығы 8 жəне 5 
болатын ыдыстар бар. 6 пинт виноны сыйымдылығы 8 пинт болатын ыдысқа қалай 
құюға болады.  
 
Огюстен Лун Коши (21.08.1789-23.05.1857) 
1. Кез келген 
n
a
а
а
а
...,
,
,
3
2
1
 теріс емес сандары үшін  
n
n
n
a
a
a
n
a
a
a
;
...
...
2
1
2
1
≥
+
+
+
 
2. 
( )
∑
∑
∑
=
=
=






⋅
n
k
n
k
n
k
k
k
k
k
y
x
y
x
1
1
2
1
2
2
f
 
3. Ұзындықтары жеткілікті жақты болатын екі бірдей қағазды алып жəне олардан бір 
жақты бетті Мебиус парағы моделін дайындаңыз. Модельдің біріне жолақтың 
ортасынан қарандашпен сызық жүргізіңіз, ал екіншісіне жолақты 3 бірдей бөліктерге 
бөлетіндей 2 сызық жүргіземіз. Бірінші модельдің жолағын ортаңғы сызығынан, ал 
екінші модельдің жолағын 2 жүргізілген сызықтар  бойымен қиықсыз. Нəтижесінде не 
пайда болады ? 
 
Якоб Штейнер (18.03.1796-01.04.1863) 
Бір ғана сызғыштың көмегімен орындалатын салулар. 
1. Түзудің бойында А,В,С үш нүктесі берілген. В нүктесі А жəне  С нүктелерінің 
арасында жатыр. Кез келген К(К(АС)) нүктесі арқылы (АС) –ға параллель түзу 
жүргізу керек. 

2. АС║ КҒ берілген. Осы кесінділерндің біреуін, мысалы
АС
 кесіндісін тең бөлікке 
бөліңіз. 
3. Екі параллель түзулер берілген. Берілген нүкте арқылы берілген түзулерге 
параллель болатын үшінші түзу жүргізу керек. 
4. Көмекші шеңбер жəне осы шеңбердің центрі арқылы  өтетін (АВ) түзуі берілген. 
Берілген М нүктесінен (АВ) түзуіне перпендикуляр  жүргізу керек.  
5. Көмекші шеңбер жəне кез келген АВ түзуі берілген. Берілген нүкте арқылы өтетін 
жəне (АВ) түзуіне параллель түзу жүргізу керек.  
6. Егер екі тік бұрышты үшбұрыштардың əрқайсысының бір катеттері жəне екінші 
катеттерінің қосындысы белгілі болса, онда үшбұрыштар ұқсастығы жағдайында 
гипотенузалар қосындысы ең кіші болады. 
                              
                                 
Нильс Генрих Абель (5.08.1802-6.04.1829) 
1. 
n
n
b
a
b
a
b
a
S
+
+
+
=
...
2
2
1
1
 болсын. Мұндағы 
n
a
a
,...,
1
;
n
b
b
,...,
1
-2 сандар тізбегі. 
;....;
;
;
3
2
1
3
2
1
2
1
1
в
в
в
В
в
в
В
в
B
+
+
=
+
=
=
онда 
(
)
(
)
(
)
n
n
n
B
a
а
В
а
а
В
а
а
S
+
+
+
−
+
−
=
−1
2
3
2
1
2
1
...
 болады. 
1.Қарандаштың бір сызығымен а фигурасын, содан соң в фигурасын сызу керек. Бұл 
екі есептің шешімдерінің нəтижелерін немен түсіндіруге болады? А үшін- жоқ, в 
үшін-ия. Бұл топологиялық тапсырмалардың мысалдары. Тополдогия терминін 
енгізген Листинг. 
Жозеп Лун Бертран (2.03.1822-3.04.1900) 
1. Бірде Непольда преподобный Галиани Базиликидің бір адамын көреді. Ол үшін 
ойын сүйегін шеңберге лақтырып тұрды, жəне үш алтылық түсіремін деп айтты, 
шынымен ол үшін алтылық түсірді. Базиликидің адамына бұл екінші ретте, содан соң 
үшінші ретте, төртінші ретте, жəне бесінші ретте де түсті, «Вапха қаны» деді 
преподобный, «Сүйектер қорғасын жалатылған» 
Чарлз Людвид  Дозжс (Льис Керролл) 
(27.01.1832-14.01.1898) 
1. Он тиын жазықтықта екі картаға орналастырылған екі қатарға орналастырылған. 
Бес əртүрлі түзуде 4 тиыннан болатындай жағдайларға 4 тиынды орналастыру керек. 
2. Патша өзінің қазынасы азайғанын жəне қалған ақшасын үнемдеп жұмсау керектігін 
түсініп өзінің ақылшы кеңесшілерінің көпшілігін қуып жіберуді ұйғарды. Ақылшылар 
патшада өте көп болатын. Оларға қойылатын жалғыз кінə-қандай да бір сұрақтар 
бойынша патшаға берген кеңестерінің қарама-қайшылығы  жəне патша үстелінің 
тамағына жəне ішімдіктеріне шексіз қызығушылық. Бірақ заң  бойынша сарайда, 
араларында  екі көзге  бір көздері көрмейтін екі соқыр, бес екі көздері де көреген, он 
бір көзге көреген болатындай, сонша кеңесшілер болуы тиіс. Заңның талабын бұзбас 
үшін сарайда қанша ақылшы қалады? 

3. Бір адам театрға барғысы келеді. Билет 1 шилинг 6 пенс тұрды, ал ол адамға тек 
қана 1 шилинг болды. Ойлана келіп ол өзінің 1 шилингісін лавочникке залогқа беруді 
ұйғарды. Лавочник тиынды мұқият қарап шығып, жəне оның жалған емес екеніне көзі 
жетіп, ол адамға закладқа 9 пенсо берді. Кошологінде 9 пенсомен жəне бір шилингке 
квитанциясы бар ол адам лавочниктен кетіп, көшеде досын кездестіреді. Досына 
квитанцияны 9 пенсоға сатып алуды ұсынды. Енді бұл адамда лавочниктен  алған 9 
пенсо жəне квитанциясы сатқаннан  түскен 9 пенсо бар. Бұл сомма  билетке жететін 
еді. Барлық операциялар нəтижесінде кім жəне  қанша жойғаны сұралады. 
4. Бір адщам 5 сағат қыдырды. Алдымен ол горизанталь жолмен жүріп өтіп, содан coң 
тауға көтерілді жəне ақырында  бұрын жүріп өткен жолмен  бастапқы пунктке қайта 
оралды. Оның горизонталь жол бойымен жүріп өткен  жылдамдығы 4км/сағ, тауға 
шыққандағы  жылдамдығы -3 км/сағ, таудан түскен уақыттағы жылдамдығы -6 км/сағ 
болса, жүрген жолды тап. 
Геоде Кантор 
1. Серпинский кілемінің варианты: бірлік квадраты 25 тең квадраттарға бөлеміз жəне 
тек ортаңғысын  алып тастаймыз( оның ауданы 1/25 ). Алынып тасталған квадраттың 
қабырғалары болатын кесінділерін үлкен квадратқа дейін созамыз. Əрқайсысынан ( 
алынған квадраттардан олар төртеу ) жəне 4 тіктөртбұрыштан екі 1/25 болатын өзара 
перпендикуляры жолақтар саламыз. 4 квадрат жəне 4 тіктөртбұрыш қиылысатын 
жолақтардан 8 кв алып тастаймыз. Лынған квадраттардың ауданы 8/25 үшінші 
қадамға барлық  ауданнан 64 квадрат алып тастайтындай осындай салу орындаймыз. 
Серпинск кілемі вариантының ауданы қандай? 
Отандық математика. 
2. Бірінші адамға жəне бірнеше адамдардың екеуіне бірдей тиетіндей, бір жарым 
дирхеманы бір адам жəне тағы бірнеше адамдар арасында бөлу керек. 1-ші адамнан 
басқа қанша адам болды. 
Анания Ширакаци (VIIғ ортасы) 
1. Бір көпес 3 қалада болып сауда жасағанда, ол 1-ші қалада мүлкінің жартысын жəне 
үшт ен  бірін, 2-ші қалада ( қалған мүлкінің )жартысын жəне үштен бірін, 3-ші қалада 
тағы да ( қалында барының) жартысын жəне  үштен бірін баж салығ,ы ретінде төлеген, 
сонда үйіне қайтып  келгенде 11 ақшасы (ақша бірліктері) қалған. Сонымен, əуелде 
көпестің барлық ақшасы  қанша еді, соны біл.  
2.  Афина  қаласында  хауыз  (су  қоймасы)  болған  еді  жəне  оған  3  құбыр  жүргізілген 
болатын 1 –ші құбыр хауызды 1 сағат ішінде, 2-ші құбыр 2 сағат ішінде, 3-ші құбыр 3 
сағат ішінде толтыра алатын. Барлық 3 құбырды  қтарынан ашқанда олардың хауызды 
сағаттың қандай бөлігі ішінде толтыратынын біл. 
 
П.Л. Чебышев      
(16.04.1821 – 6.12.1894) 
1. Егер 
n
a
a
a
≤
≤
≤
....
2
1
   жəне 
n
b
b
b
≤
≤
≤
....
2
1
 болса, онда 

 
n
b
a
b
a
b
a
n
b
b
b
n
a
a
a
n
n
n
n
+
+
+
≤
+
+
+
⋅
+
+
+
...
...
.....
2
2
1
1
2
1
2
1
  
Егер де 
n
a
a
a
≤
≤
≤
....
2
1
, бірақ 
n
b
b
b
≥
≥
≥
....
2
1
 болса, онда 
n
b
a
b
a
b
a
n
b
b
b
n
a
a
a
n
n
n
n
+
+
+
≥
+
+
+
⋅
+
+
+
...
...
.....
2
2
1
1
2
1
2
1
 
Бұл теңсіздік тек қана 
n
a
a
a
=
=
=
....
2
1
 жəне 
n
b
b
b
=
=
=
....
2
1
 болғанда ғана орындалады. 
а) 
2
,
3
,
4
,
7
,
2
,
1
3
2
1
3
2
1
=
=
=
=
=
=
b
b
b
a
a
a
 
б) 
4
,
3
,
2
,
7
,
2
,
1
3
2
1
3
2
1
=
=
=
=
=
=
b
b
b
a
a
a
 болғанда Чебышев теңсіздігін тексеріңіз. 
Лев Николаевич Толстой 
1.  Шапқыншылар  артелі  бірі  екіншісінен  екі  есе  үлкен  болатын  екі  көгалды  шаба 
алады.  Күннің  бірінші  жартысында  барлығы  бірінші  көгалды  шапты.  Түстен  кейін 
артель екі бірдей группаға бөлінді. Бірінші группа үлкен көгалда қалып кешке дейін 
шапты. Екінші группа кешке дейін кіші көгалды шапты, бірақ бұл көгалда кішігірім 
бөлік  қалды.  Оны  келесі  күні  бір  шапқыншы  шауып  тастады.  Артельде  қанша 
шапқыншы болды. 
 
2.  Суда  өсіп  тұрған  тал  су  бетінен  бір  аршынға  шығып  тұр.  Талды  өлшемей  жəне 
тереңдікті  не  ескекпен,  не  басқа  заттармен  өлшемей,  тал  өсіп  тұрған  өзеннің 
тереңдігін табу керек. 
 
3.  Ұзындығы  мен  екі  қандай  да  бір  өлшем  болатын  бөлменің  қарама  –  қарсы 
жақтарында  шыбын  мен  өрмекші  отыр.  Шыбын  еденнен  1,5  аршында,  ал    өрмекші 
төбеден  1,5  аршында  отыр.  Шыбын  мен  өрмекші  араларының  ең  қысқа 
арақашықтығын табу керек. 
 
Эйлер есебі. 
1. Бір санның 4-ші дəрежесін сол санның жартысына бөлгенде жəне  
−
4
1
14
ге  
арттырғанда 100-ге тең болу керек. Сол санды тап. 
 
2
7
8
343
4
343
2
4
1
14
100
2
100
4
1
14
2
100
4
1
14
2
:
3
3
3
3
4
=
=
=
−
=
=
+
=
+
х
х
х
х
х
х
х
                                                                                                                                                                         
 

Жауабы: 
2
7
; 
                       
2. Үш адам  24000 ливрға үй сатып алғысы келді. Олар былай келісті: біріншісі жарты 
ақшасын  береді;  екіншісі  үштен  бірін  береді,  ал  үшіншісі  қалған  бөлігін  береді. 
Əрқайсысы қанша бермек?         
 I-ші:  
12000
24000
2
1
=
⋅
  
II-ші:  
8000
24000
3
1
=
⋅
           
III-ші: 
:
4000
)
8000
12000
(
24000
=
−
−
  
Жауабы: 
;
12000
;
8000
;
4000
       
3. Бір топ қаз ұшып барады, оларға бір қаз қарсы ұшып келе жатып: «Жүз қазға бір 
сəлем!»  -  депті.  Топ  қаз  оған  былай  деп  жауап  беріпті:  «Жоқ  біз  жүз  емеспіз!  Егер 
бізге тағы осынша қосылса, тағы соның жартысындай, тағы соның ширегіндей, оның 
үстіне сен қазым, бізге қосылсаң, біз тура жүз қаз боламыз» Олар қанша болған еді?  
Шешуі: қаз саны – х  
 
36
792
22
8
800
2
4
16
100
1
4
1
2
1
2
100
1
4
1
2
1
=
=
−
=
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
+
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
 
Жауабы: 
36
 қаз. 
4. Бехаэддин есебі. 
Өзінің үштен екісіне жəне бірлікке арттырылған сан 10-ға тең. Сол санды табу керек.  
       Шешуі: Ізделінді сан – х 
 
4
,
5
27
5
30
3
2
3
10
1
3
2
=
=
=
+
+
=
+
+
х
х
х
х
х
х
 
Жауабы: 
4
,
5
                                                                                                 
5. «Үш адам ақша ұтып алған. I адамға осы соманың 
−
4
1
і, II адамға осы 
соманың  
−
7
1
і, III адамға 17 флорин тиді. Ұтыстың шамасы қандай болған?» 
    Шешуі:  Ұтыс шамасы – х 
 

 
28
476
17
476
28
11
28
476
4
7
17
7
1
4
1
=
=
=
+
−
=
+
+
=
+
+
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
 
   Жауабы: 
28
флорин. 
6.  «Бір адам жыл аяғына дейін киім жəне 10 флорин алмақшы болып жалданды. Бірақ 
7  ай  өткен  соң  жұмысты  тоқтатты  да,  есеп  айырысқанда  киім  жəне  2  флорин  ақша 
алды. Киім қаншаға бағаланған?»  
Шешуі:   киім – х 
               1 жылда – 
10
+
х
 
               7 айда – 
2
+
х
 
5
:
8
айға = 1,6 
  
       
8
2
10
+
+
−
х
х
                
1,6 · 12 = 19,2 ( 1жылда)   
х + 10 = 19,2 
х = 9,2 
  Жауабы: 9,2. 
7.  «Тоғыз кітаптағы математикадан» есеп. Бірнеше адам бірлесіп тауық сатып алған. 
Егер  əр  адам  9-дан  (ақша  бірлігі)  берсе,  онда  11  қалады,  ал  егер  əрқайсысы  6-дан 
берсе, 16-сы жетпей қалады. Адам саны мен тауықтың құнын табу керек». 
   
  Шешуі:      
     
)
(
9
27
3
16
6
11
9
адам
х
х
х
х
=
=
+
=
−
                   
70
11
9
9
=
−
⋅
 
8. «Егер бір санды 20-ға қоссақ жəне сол санды 100-ден алсақ, сонда шыққан қосынды 
сонда шыққан айыпмадан 4 есе артық болады. Белгісізді табу керек.» 
 
60
300
5
20
4
320
20
)
80
(
4
20
100
=
=
+
=
−
+
=
−
+
−
х
х
х
х
х
х
х
  
Жауабы: 60. 
9.  Акмим  папирусынан  (VI  ғ.  )  есеп:  «Бір  адам  қазынаның 
13
1
  -  ін  алды.  Одан 
қалғанының 
17
1
 - ін екінші біреу алды. Ол қазынада 150 қалдырды. Əуелде қазынада 
қанша болғанын білгіміз келеді?» 
Барлығы – х                       
 

І - 
13
1
х 
ІІ - 
(
)
17
1
13
1
⋅
−
х
х
 
 
Қалды – 150 
 
:
32
21
172
32
5525
192
33150
33150
192
33150
29
221
150
221
29
150
221
13
17
150
221
1
17
1
13
1
150
17
1
13
1
13
1
=
=
=
=
=
−
=
−
=
−
+
−
=






−
+
−
=






⋅





 −
+
−
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
 
 
10.  Диофанттың  қабіріндегі  құлпытаста  былай  деп  жазылған:  «Диофанттың  балалық 
шағы  -  өмірінің  алтыдан  бірі,  жастық  шағы  –  он  екіден  бірі,  ал  баласыз  өткен  ерлі-
зайыпты өмірінің жетіден бірі жəне тағы 5 жыл өткенде 
ұлды болды. Əкесінің жарты жасына келгенде ұлы дүние салды, бұдан кейін Диофант 
тек 4 жыл ғана өмір сүрді. Диофант неше жыл сүрген еді?» 
   Шешуі:   Өмірі – х 
     Балалық шағы - 
6
1
х 
     Баласыз - 
7
1
х 
     Жастық шағы - 
12
1
х 
     Ұлды - 
5
7
1
12
1
6
1
+






+
+
х
х
х
; 
     Ұлы дүние салды - 






+






+
+
−
5
7
1
12
1
6
1
2
х
х
х
х
; 
     Өзі дүние салды - 
4
5
7
1
12
1
6
1
2
=






+






+
+
−
х
х
х
х
; 

    
84
756
9
756
33
42
9
84
33
2
4
5
84
33
2
4
5
84
33
2
4
5
84
12
7
14
2
4
5
7
1
12
1
6
1
2
=
=
=
−
=
−
=
−
−
=






+
−
=






+






+
+
−
=






+






+
+
−
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
 
 
Жауабы: Диофант 84 жыл өмір сүрді.     
11.  «Көпестің  жинақтаған  азды-көпті  ақшасы  бар  еді.  Ол  жыл  сайын  семьясының 
қажетіне  100  фунт  ақша  ұстап,  қалған  ақшасына  оның  үштен  біріндей  ақша  қосып 
отыратын.  Үш  жыл  өткеннен  кейін  ол  қаражатының  екі  есе  көбейгендігін  байқады. 
Əуелде оның қанша ақшасы болған еді?» 
   Бар еді – х 
   Бір жылдан соң қолында қалды – х – 100 
   Үш жылдан соң болды - 
27
14800
64 −
х
; 
   Жинақталған ақшасы əуелгі ақшасынан екі есе артық болды. 
       Шешуі: 
 
                    
1480
14800
10
14800
54
64
54
14800
64
2
27
14800
64
=
=
=
−
=
−
=
−
х
х
х
х
х
х
х
х
 
 
       Жауабы: Əуелдегі ақшасы 1480 фунт. 
 
12. «Бақташы 70 өгіз айдап келеді. Оған мынадай сұрақ берілген: Үлкен табынының 
бұл айдап келе жатқаның қанша? 
 Бақташы жауабы: 
 − Табындағы барлық малдың үштен бірінің үштен екісі.  
 Есептеп көр!» 
(Бүкіл табында қанша өгіз болғандығын білу керек.) 
    
 Шешуі:  

                
315
2
9
70
70
9
2
9
2
3
3
2
=
⋅
=
=
=
х
х
х
х
х
 
  Жауабы: Бүкіл табында 
315
 өгіз болған. 
13.  Ежелгі  римдік  есеп.  ІІ  ғ.  «Бір  адам  өлерінде  былай  деп  өсиет  қалдырған:  егер 
əйелім ұл тапса, онда оған имениемнің 
3
2
 - сі, ал əйеліме қалған бөлігі берілсін. Егер 
қыз  туса,  онда  оған 
3
1
  -  і,  ал  əйеліме 
3
2
  -  сі берілсін.  Егіз бала  – қыз жəне ұл  туды. 
Имение қалай бөлінуі керек?»   
         Жауабы:  Ұлы  əйелінен  екі  есе  көп  үлесін,  əйелі  –  қызынан  екі  есе  көп  үлесін 
алуы тиіс. Имениені ұлы, əйелі жəне қызына 4:2:1 сандарына тура пропорционал етіп 
бөліп берген жөн. 
          
14.    Бір  адам  өзінің  досына:  «Маған  100  рупий  бер,  сонда  мен  сенен  екі  есе  бай 
боламын» - депті. Досы былай деп жауап береді: «Сен маған тек 10 рупий бер, сонда 
мен сенен  6 есе бай боламын». Əрқайсысында қанша болған?  
    Шешуі: 
   I адам – х   
   ІІ адам - у      



=
+
−
=
−
⇒



+
=
−
+
=
−
⇒



+
=
−
+
=
−
70
6
300
2
10
60
6
100
200
2
10
)
10
(
6
100
)
100
(
2
х
у
х
у
у
х
х
у
у
х
х
у
  
   
  
40
440
11
=
=
х
х
      
170
70
40
6
70
6
=
−
⋅
=
−
=
у
у
х
у
 
   Жауабы: 
170
жəне 
40
; 
 
15. «Екі санның айырмасы екіге тең, ал олардың қатынасы екіге кері санға тең. Осы 
сандарды табу керек». 
 



=
=
⇒



+
=
+
=
⇒





=
+
+
=
⇒




=
=
−
2
4
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
у
х
у
у
у
х
у
у
у
х
х
у
у
х
                     Жауабы: 2; 6. 
 
16.    «Репетитор»  деген  əңгімесінде  ұлы  орыс  жазушысы  А.П.Чехов  мынадай  есеп 
келтіреді:  «Көпес  138  кез  қара  жəне  көк  шұғаны  540  сомға  сатып  алды.  Егер  бір 
аршын көк шұға 5 сом, ал қара шұға 3 сом тұрса, əрқайсысынан неше кез мата алған?» 
 




=
+
−
−
=
⇒



=
+
=
+
540
5
)
138
(
3
138
540
5
3
138
у
у
у
х
у
х
у
х
 
                           
63
126
2
540
2
414
540
5
3
414
=
=
=
+
=
+
−
у
у
у
у
у
          
75
63
138
=
−
=
х
х
 
 
17. XVI ғасырдағы иран ғалымы Бехаэддиннің есебі: «10 санын айырмасы 5 болатын 
екі бөлікке бөлу керек». 
 



=
+
=
−
10
5
у
х
у
х
                
  
5
,
7
15
2
=
=
х
х
                    
5
,
2
5
5
,
7
=
−
=
у
у
                 
 
18.  «Екі  санның  қосындысы  10-ға,  ал  қатынасы  4-ке  тең  екенін  біле  отырып,  сол 
сандарды табу керек». 
 



=
−
−
=
⇒





=
=
+
у
у
у
х
у
х
у
х
4
10
10
4
10
 
                       
2
10
5
=
=
у
у
 
                       
8
=
х
 
19. Евклид бастамалық ІІ кітабында берілген теңбе-теңдікті тексеру. 
(
)
;
2
4
2
4
4
4
4
2
4
4
2
)
(
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2





 +
=
+
+
=
+
−
−
+
+
+
=
+
−
−
+
+
+
=
+
+
−
+
+





 +
=






−
+
+
в
а
в
ав
а
в
в
ав
в
ав
а
ав
в
в
ав
в
ав
а
ав
в
в
а
в
в
а
ав
в
а
в
в
а
ав
 
20. 
 
;
)
(
2
2
;
)
(
)
2
(
2
2
2
2
2
2
2
в
а
в
ав
а
а
в
ав
в
а
а
в
в
а
+
=
+
+
=
+
+
+
=
+
+
 
 
21.   
;
)
(
2
2
2
2
;
)
(
2
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
в
в
а
а
в
ав
а
а
в
ав
а
в
а
в
а
а
в
а
+
+
=
+
+
=
+
+
+
+
+
=
+
+
 
 
22.  
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
;
4
4
4
2
2
2
2
;
)
(
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
в
в
а
а
в
ав
а
а
ав
а
в
ав
а
а
в
а
а
в
а
а
в
а
в
а
в
а
+
+
=
+
+
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
=
+
+
 

 
23.  
;
2
2
2
2
2
2
2














−
+
+





 +
=
+
в
в
а
в
а
в
а
                                     
                        
24.  Диофанттың  «Арифметикасында»  баяндалған  бөлшектермен  берілген  мына 
амалдарды тексеру керек:  
 
(
) (
)
;
)
2
(
2
)
2
(
16
8
2
16
8
)
2
(
)
4
4
(
2
16
8
8
)
2
(
)
2
(
2
)
2
(
8
8
2
2
2
8
2
8
3
2
4
3
2
2
4
2
3
2
2
4
2
3
2
2
2
2
2
2
2
3
2
−
=
−
+
−
+
−
=
−
+
−
+
−
+
=
−
−
+
−
+
=
−
+
−
+
−
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
         
   
25.     
;
12
7
24
7
12
3
4
24
7
)
4
)(
3
(
12
4
12
3
4
4
3
3
;
7
12
24
7
4
4
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
+
−
−
=
+
−
−
−
=
−
−
−
+
−
=
−
+
−
−
+
−
=
−
+
−
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
   
 
26.   
(
)
;
60
900
2520
60
)
30
(
1800
60
4320
30
60
30
4320
30
60
60
900
4320
;
60
900
2520
6
30
60
30
60
900
144
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
4
2
2
2
4
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
−
+
+
=
−
−
+
=
−
+
−
=
−
+
−
+
−
+
+
=
−
+
⋅






−
+
 
 
27.  
;
)
6
(
24
12
)
6
(
72
12
96
6
12
)
6
(
96
6
12
)
6
(
96
6
12
12
36
96
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
−
+
=
−
−
+
=
−
+
−
=
−
−
−
=
−
−
−
+
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
 
28.   
    
(
)
;
2
2
;
)
(
)
)(
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
с
в
d
a
d
в
с
а
с
в
adвс
d
a
d
в
асвd
c
a
d
в
c
в
d
a
c
a
c
ad
d
ac
d
с
в
а
+
+
+
=
+
−
+
+
+
=
+
+
+
−
+
+
=
+
+
 
  
Штифельдің  «Арифметикасында»  берілген  бөлшектерге  қолданылған  мына 
амалдарды орындаңдар: 
 
 29.  
;
6
8
9
6
)
8
9
(
6
8
9
3
4
2
3
2
3
2
2
3
2
4
3
2
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
+
=
+
=
+
=
+
 
 
30. 
;
3
2
6
8
6
9
8
9
2
3
6
8
9
3
2
3
4
2
4
3
2
4
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
=
=
−
+
=
−
+
 
 
31.  
;
4
8
9
4
)
8
9
(
4
8
9
2
6
3
)
8
9
(
2
3
6
8
9
2
2
2
2
2
2
4
3
2
4
3
2
4
+
=
+
=
+
=
⋅
⋅
+
=
⋅
+
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
 
 

32.  
(
)
;
6
8
9
6
)
8
9
(
18
)
8
9
(
3
3
12
2
24
27
2
3
:
12
24
27
2
4
2
2
2
3
3
3
5
3
3
5
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
+
=
+
=
+
=
⋅
⋅
+
=
+
 
 
33.  Ньютонның «Жалпыға бірдей арифметикасынан» бөлшектерді қысқарту. 
 
 
;
2
3
2
)
2
(
3
)
3
2
(
3
3
6
9
6
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
с
а
с
а
с
а
а
с
а
а
ас
а
ас
а
+
−
=
+
−
=
+
−
 
 
34.  
(
)
(
)
(
)
;
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
3
а
в
а
в
а
а
в
а
в
а
ав
а
в
а
в
в
а
а
ав
а
в
ав
в
а
а
+
=
−
+
−
=
−
−
+
−
=
−
−
+
−