Лекция 15 Практикалық сабақ 15 ожсөж -30 СӨЖ 30 Емтихан 2 Барлығы 90 сағат

1.
  Математика  тарихының  методологиялық  негізгі  диомктикалық 
материолизм  болып  табылыды.  А.Н  Кормогоровтың  тарауы  бойынша 
математика тарихын шартты түрде  4 дəірге бөлуге болады. 
І–дəуір.
  Математиканың  туу,  математикалық  білім  дағдылардың 
мағлұматтардың  жиналу  жəне  қорғалу  дəуірі.  Бұл  жазба  тарихқа  дейінгі 
санаудан алғашқы қарқынмен басталып математика өзінің белгілі бір зерттеу 
пəні  мақсаты  əдістері  бар  дербес  теориялық  ғылым  болы  қалыптасқан  грек 
математиктарына  (б.з.д  6-5  ғасыр)  дейін  созылады.  Бұл  дəуірде 
математикалық негізгі ұғымтар сандар, фигуралар т.б-лар қалыптасады.  
ІІ-дəуір. 
Элементарлық  математика  дəуірі  б.з.д  6-5  ғасырлардан 
басталып  б.з  16-ғасырмен  аяқталады.  Бұл  кезенде  математикада  тұрақты 
шамалар  қалыптастырылады.  Математиканың  алгебра,  геометрия  жəне 
тригонометрия деп аталған дербес салалары пайда болады. 
ІІІ-дəуір.
  Айнымалы  шамалар  математиканың  туу  дəуірі  бұл  кезенде 
математиканың  негізгі  нысанасы,  объектісі  –  процестерді,  қозғалыстарды 
зерттеп білу игеру басталады. Бұл дəуір 17–ші ғасырдағы Декарт, Лейбниц, 
Нютонның  алғашқы  математикалық  жазбаларынан  басталып  19-шы 
ғасырдың  1-ші  жартысын  қамтиды.  Бұл  аралықта  математиканың  бұрынғы 
салаларына  аналитикалық  геометрия,  диферинциалдық  жəне  интегралдық 
есептеулер,  диференциялдық  теңдеулер,  ықтималдық  теориясы  сияқты 
физика математика техникалық тағы басқа салалары қосылды.  
ІV–дəуір.
  Қазіргі  математика  дəуірі.  Бұл  19–ғасырдың  1-ші  ұлы 
математиктер  Н.И  Лабочевский,  Эрност  Гауус  ашқан  математикалық 
жетістіктен басталады. Мұнда математика қамтитын кеңістік пішіндері  мен 
сандық қатынастар мейлінше кеңейді сандардан басқа вектор, тензор тəрізді 
жəне  басқа  тектес  шама  қарастырыла  береді  кеңістік  туралы  ұғымның 
шеңдері  кеңеліп  əртүрлі  геометриялар  (Евклидтік  елос)  ашылады. 
Алгебраның  мазмұны  біртіндеп  озгеріске  ұшырайды.  Математиканың 
көптеген  жаңа  шамалары  қалыптасады.  Математиканың  өзінің  тарихы 
логикалық  жəне  философиялық  тұрғыдан  негіздеу  мəселесі  қолға  алынды 
есептегіш машиналар жасалды.  
 
2.
  Карл  Гаусс  (неміс)  математиканың  əртүрлі  салаларын  əртүрлі 
сарапқа  сала  келіп  арифметикалық  математика  патшасы  деп  бағалаған, 
арифметикалық  негізгі  ұғымы  -  сан.  Олай  болса  сол  сан  ұғымының  қалай 
пайда болуын ашу, білу үғымы математиканың үлкен проблема. Арифметика 
өзі айрықша ғылым болып бертінше қалыптасқан мен оның басты ұғымы сан 
ұғымы өте ертеде адамзат жазу сызуды білмеген заманда пайда болды. Адам 
баласы ең бірінші қолдана білген математикасының амалы санау болды. Тіпті 
аз ғана сана білетін жабайы тайпа көп нəрсе турулы жиндарды санауға дейін 
əрекет  жасағанда  адам  санан  бұрын-ақ  санауды  түгелдеуді  білген  деуге 
болады. Осы санау түгелдеу əрекеттер негізінде сан ұғымы туады біртіндеп 
кеңейеді. 
Сан  ұғымы  баяу  дамыды,  сандар  шекарасы  біртіндеп  кеңейді,  тор  ел 
бұғазының жағалауын мекендеген австралиялық жабайы тайпалар адам дене 

мүшелері  арқылы  33-ке  дейін  санды  өрнектей  алады  екен.  Егер  саннан  сан 
асып  кетсе  таяқша  пайдаланған.  Қоғамдық  өндірісті  өркендеуі,  өндірістің 
өнімнің молайуы тайпалар, қауымдар арасындағы саяси шаруашылық қарым- 
қатынастың ұлғаюы санның оған əртүрлі амалдар қолданудың дамуына əсер 
етті. Сандардың жоғарғы шекарасы біртіндеп кеңейіп натурал сандар қатары 
түзілді.  Бертін  келе  жай  сандардың  əрқайсысы  белгілі  бір  жүйемен  атау, 
таңбалау күн тəртібіне қойылды. Міне осылай түрліше санау жүйесі немесе 
номерлеу қалыптасты. Санау жүйелерінің ішінде тарихи жағынан ең алғашқы 
жəне  ең  қарапайымы  екілік  жүйе.  Қазіргі  қолданылып  жүрген  позициялық 
жүйесі,  яғни  10  цифр  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  арқылы  кез-келген  сандық  өрнек 
жүйесі  бізге  көне  үнді  жұртынан  мирас  болып  қалған.  Сан  ұғымы 
қалыптасуымен  қатар  сандарға  4  амал  қолдану  əрекеті  туып  жетілді.  Сан 
ұғымы  негізгі  бөлшектер  бүтін  оң  сандар  сияқты  күнделікті  тұрмыста 
қажеттілітен  шықққан.  Түрліше  ұзындық,  аудан,  көлем,  уақыт  т.б. 
шамаларды  өлшеу  барысында  пайдаланды.  Олар  есептеу  практикасында 
қолдауын  тапты.  Қорыта  келгенде,  арифметиканың  бастапқы  да  негізгі 
ұғымдарымен əдістері тікелей өмір талабынан туындаған. Теріс, иррационал, 
комплекс,  гиперкомплекс  сан  ұғымдарының  шығуы,  сан  ұғымының 
дамуының  заңды  жағдайы  жəне  оларды  математиканың  ішкі  даму  талабы 
туғызды.  
Геометрия  ғылымының  негізгі  ұғымы  болып  саналатын  фигураның 
ұғымдарының  қалыптасуының  арифметика  негіздерінің  шығуы  ұқсас. 
Геометрия  ерекше  «гео»-жер  «метрейн»  -  өлшеу  деген  екі  сөзден  құралған 
осы атаудың өзінен-ақ геометрияның шығу тегі бірден байқалады. Əр түрлі 
өлшеу  қажетіліктердің  ұзындық,аудан,  көлем  сияты  геометриялық  шамалар 
жөніндегі  ұғымдар  қалыптасты.  Адамдар  бірте-бірте  кейбір  қарапайым 
заңдылықтарды  ашатындай  дəрежеге  көтерілді.  Қисық  жолға  түзу  жолдың 
төте  екенін  аңғару  қиын  болмады.  Осылайша  алғашқы  геометрияның 
теориялары  дұниеге  келді.  Бірақ  бұларды  ешкім  дəлелдемеді.  Дəлелдеуді 
керекте  етпеді.  Өйткені  бұл  теориялар  астарында  күн  сайын  тұрмыста 
көбірет сыналатын шүба келтірмейтін шындық жатты.  
Уақытты  өлшеуді,  түнде  бағытты  бағдарлау  тəрізді  əрекеттер  аспан 
шырақтарының қозғалысын жүйелі түрде бақылауды қажет етті. Бұл əрекет 
бұрынғыларды  өлшеудің  аспан  сферасында  орын  алатын  саласын 
қалыптастырды. Фигураларды зертеп білудің бастамалары еді.  
  
3.
 Ғылым мен мəденетті ң барлық саласында өшпес мұра қалдыратын 
ежелгі герек ғалымдары  (б.з 2000-2500 жылдар бұрын өмір сүрген ) өздерін 
ежелгі  шығыс  ғұламаларының шəкіртері  санаған, олар əсіресе Мысыр  жəне  
Вавилон  сияқты  шығыстың  көне  елінде  жасалған  миростардан  үлгі  ,  тəлім 
алып  отырған.  Геректердің  астрономиялық  білімдерінің  де  бастамалары 
ежелгі  Вавилон  астрономиялық    еңбектерінде  жатыр.  Геректердің  ұлы 
астрономиялары  Гиппарх,  Птоломейдің  өздері  ескі  Вавилонда  дүргізген 
астрономияық  бақлаудың  нəтижесін  есте  алы  отырған.  Египет,  Вавилон 
елдері  мəдениеті  өте  ертеде  дамыған  тарихи  жұрттар  қатарына  жатады. 

Мысырдың  бізге  ғылыми,  тарихи  жəне  басқа  жақтарын  жазылған  көптеген 
попирусты хаттар келді (өсімдіктен жасалған төзімді жазу құралы - папирус). 
Ал  Вавилондықтардың  бізге  мыңдаған  сына  жазулар  (гленопистер)  қалды. 
Олар  жазулар  мен  есептерді  арнайы  дайындаған  балшық  тақталарға  сына 
арқылы жазып ұзақ сақталу үшін оларды отқа күйдірген. Мысыр бұдан 4 мың 
жылдай  бұрын біріккен  қуатты  мемлекет болып  түрды. Осы  кезде  құрылыс 
аса  күшті  қарқынмен  жүреді.  Жер  үдей  қажеттігі  күшейді,  теңізден  жүзіп 
тарихи  экономиканың  саяси  байланыс  жасаудың  қажеттігі  туады.  Осы 
айтылғандардың  бəрі  ғылыми  білімдерді  көптеп  қажет  етіп,  ғылымның 
шығуына  дамуына  қалайды  əсер  етеді.  Сондықтан  да  мысырлықтар 
жаратылыстану,  математика  жөніндегі  білімдерді  жинақтап  меңгеруге 
көрнекті  табыстарға  жетеді.  Мысалы  сүмбіле  жұлдызының  орның  батып 
тууын  зерттей  келіп  олар  1  жылда 365  күн  бар  екенің  аңғарады.  Осы  кезде 
Мысыр  күн  парағы  жасалады,  Мысырлықтан  соғатын  кейіннең  су  сағатын 
жасады. Олар математика фактілердің, əдістердің жиналып қалдыруына əсер 
етті.  Осы  кезде  Мысырмен  қатар  шығыстың  екінші  бір  жерінде  Вавилон 
мəдениеті  гүлденіп  тұрды.  Вавилон  –  эфпрат  жəне  тигр  өзендері  арасынан 
қоныс  тепкен  азияның  өте  ескі  мемлекеттерінің  бірі  болатын.  (шамамен 
қазіргі  Ирак  мемлекетінің  териториясы)  Мысыр  мен  Вавилон  елдерінең 
қалған  бай  білім  мен  өнер  дəстүрлері  кейіннең  батыс  пен  шығыс  елдерінде 
ежелгі грециядағы ғылым тууына өркендеуіне игі əсер етті. Бастапқы ірге тас 
болып қаланды. 
 
4.
  Ежелгі  Мысырлықтардың  математика білім дəрежесінің  айқындауы 
білетіндей  екі  папирус  сақталған.  Олардың  біріншісі  Римдік  папирус 
Лондонда  британ  музейінде,  ал  екіншісі  Москва  папирусы  Москвада.  А.С 
Пушкинде  сақталған.  Біріншісінің  өлшемі  55м  х  32см  85  есеп  жазылған. 
Екіншісі 5,5м 8см 25 есеп жазылған.бұлардың жазылу кезі б.з. 2000 жылдай 
бұрын  папирустарда  келтірілетін  есептер  қысқа  догмолық  түрде  берілген 
жоғарыда  айтылған  папарустарды  мұқият  зерттеу  тек  өткен  ғасырлардан 
айтылған.  Бұл тұрғыда математика тарихын зерттеушілер елеулі жұмыстар 
енгізді.  Ежелгі  мысырда  қазіргі  қолданылып  жрген  позициялық  емес  рим 
нөмерлеуіне  ұқсас  ироглифтік  ондық  жүйе  қолданылған.  Мысырлықтан  бір 
таяқша онды П (кісен), жүзді – с (өлшеуіш жіп), мыңды - ÷ (гүл жапырақ) деп 
белгілеген.  Мысалы  2344  саның  былай  жазған  ÷  ÷  с  с  с  П  П  П  П  1  1  1  1. 
Мысырлықтар  төрт  амалды  бүтін  сандарға,  бөлшек  сандарға  да  қолдана 
білген.  Мысырлықтың  кейбір  арифметикалық  есептерін  шешу  жолын 
қарастыра  келіп,  матаматика  тарихшылары  олар  бір  белгіс  бар  теңдеулерді 
шеше білген деген қортындыға келіп отыр.  
Үймек  жəне  оның  төрттен  бірі  он  бес  деген  есеп,  қазіргі  біздің 
жазуымыз бойынша 
15
4
1
=
+ x
x
  түріндегі теңдеулер келеді.  
Мысырлықтар  геометрия  саласында  едəуір  жетістікке  жеткенін 
байқаймыз.  Олар  үшбұрыш,  квадрат,  трапеция  ауданын  дұрыс  формулалар 
арқылы  табады,  дөңгелектердің  ауданын  жуық  түрде  диаметрінің  тоғыздан 

сегізінің  квадратына  тең  деп  алады.  Олай  болса,  шеңбер  ұзындықтарының 
оның  диаматріне  қатынасын  көрсететін  π  саны  үшін  мынадай  жуық  мəн 
табылады. 
1605
.
3
9
8
4
2
≈






⋅
≈
π
 бұл өз уақытымен салыстырғанда үлкен жетістік 
еді.  Мысырлықтар  қабырғалары,  3,  4,5  өлшем  болып  келетін  үшбұрыштың 
тікбұрышты екенін білген. Олар осы үшбұрыш арқылы жер бетінде тікбұрыш 
салатын  болған.  Олар  кубтың,  паралепипедтің,  дөңгелек    цилиндр  көлемін 
таба білген.  
 
5.
  Вававилон  математикасы  жөніндегі  негізгі  деректерді  біз  олардан 
мириас болып қалған сына жазуынан қалғанын білеміз. Өткен ғасырда ежелгі 
ассерия  патшасы  акниезбанипалдық  кітапханасы  табылды.  Математика 
тарихшылары  математика  тарихы  үшін  аса  маңызды  құжаттарды  аудырып, 
жарыққа шығарды.  
Вавилондықтар  санаудың  алпыстық  жүйесін  қолданды.  Бұл  жүйе 
бойынша  барлық  бүтін  сан  жəне  бөлшек  сандар  мына  тəріздес  екі  саннан 
өрнектелген  бір  үшін-        ,  ал  он  үш-          таңбасы  қолданылады.  Мысалы  34 
саны   
 
 
 
.    
Санаудың  алпыстық  жүйесін  грек  оқымыстылары  қабылдады,  олар 
арқылы  бізге  жетті.  Уақыт  жəне  бұрышты  өлшеу  проблемалары  да  атап 
айтқанда,  бір  градус  –  алпыс  минут,  бір  минут  –  алпыс  секунд  деген 
сияқтыларды,  біз  күні  бүгінге  дейін  сол  Вавилондықтардан  пайдаланып 
келеміз.  
Вавилондықтар  Мысырлықтар  сияқты  көбейтуді  қосуға  жəне  екі 
еселеуге  келтірмей-ақ  бірден  жүргізді.  Мұнда  2х2ден  59х59  дейінгі 
сандардың  көбейтіндісін  жатқа  білуге  тиісті  болған.  Дайын  кесте 
пайдаланған.  Бізге  белгілі  300  математикалық  тақташалар  200-ге  жуығы 
осындай кестелерге арналған. Вавилон математиктері санның жуық квадрат 
түбірін  табу  кезінде 
a
b
a
b
a
h
2
2
+
≈
+
=
  формуласына  пара-пар  ереже 
қолданды.  Бұл  айтылғандардан  Вавилондықтардан  есептеу  техникасының 
едəуір  кемелденгенін  көреміз.  Мұндай  жетілген  есептеу  жүйесінің  болуы 
орларда алгебралық бөлім дағдыларының пайда болуына, молайуына əкеліп 
соқты.  Олар  бір  белгісі  бар  теңдеулерді,  квадрат  теңдеулері  жəне  олардың 
жүйелерін  шеше  білген.  Вавилондықтардың 
c
bx
ax
=
+ 2
2
  квадрат  теңдеуін 
шешу  жолы  қазіргі  біз  қолданып  жүрген  формуламен  пара-пар,  сонымен 
қатар 
(
)
2
2
2
2
b
b
a
b
a
+
+
=
+
, 
(
)
2
2
2
2
b
ab
a
b
a
−
−
=
−
, 
(
)(
)
2
2
b
a
b
a
b
a
−
=
−
+
 формуланың 
жəне арифметикалық прогрессияның қосындысын табу ережесін білген.  
1945  жылы  Вавилондықтардан  қалған  тағы  бір  математикалық 
текстінің  мазмұны  анықталды.  Мұнда  қабырғалары  рационал  сандар  болып 
келген  тікбұрышты  үшбұрыш  болып  келген  тізім  келтіріледі 
2
2
2
z
y
x
=
+
 
теңдеуін  қанағаттандыратын  Пифагор.  Сондықтан  табу  жолдарын 
қарастырған.  

Пифагордан көп бұрын Вавилон математиктеріне «пифагор теоремасы» 
белгілі  болды.  Вавилондықтар  үшбұрыштардың  тіктөртбұрыш,  трапеция 
аудандарын, призма мен цилиндр көлемдерінің дəл табу тəсілдерін білген т.б.  
  
Осы  шолудан  біздің  жыл  санауымыздан  3000-6000  жылдар  бұрын-ақ 
Мысыр жəне Вавилон елдерінде  əр-түрлі санау жүйелеріне арифметикалық 
амал  қолдану  римше  1  жəне  2  дəрежелі  теңдеулерді  олардың  жүйе  шешу, 
аудан,  көлем  есептеу  т.б.  есептер  шығарудың  əдістерін  жасау  сияқты 
көптеген  нақты  матаматикалық  мазмұндардың  білім  дағдылардың 
жинақталғанын көреміз. 
 
 
 
§2.Теориялық математиканың тууы 
                                        Гректердің ежелгі математикасы.
  
2 ТАРАУ. Математиканың тууы (б.з.д.ҮІ-Ү ғасырға дейін). 
 
1.1. Математиканың негізгі ұғымдарының қалыптасуы 
 
Бірінші  дəуір-математиканың  туу,  математикалық  білім-дағдылардың, 
мағлұматтардың  жиналу  жəне  қорлану  дəуірі.  Бұл  жазба  тарихқа  дейінгі 
санаудан, алғашқы қауымнан басталып математика өзінің белгілі бір зертеу 
пəні,  мақсаты,  əдістері,  салалары  бар  дербес  теориялық  ғылым  болып 
қалыптасқан (б.з.д.ҮІ-Ү ғасырлар) грек математикасына дейін созылады. Бұл  
дəуірде математикалық негізгі ұғымдар, сандар, фигуралар т.б. қалыптасады. 
Математиканың  күнделікті  адам  өміріндегі  мəні  орасан  зор.  Санай 
білмей,    сандарды  қосуды,  азайтуды,  көбейтуді,  бөлуді  дұрыс  орындай 
білмей  тұрып,  адам  қоғамының  дамуы  мүмкін  деп  ойлауға    болмайды. 
Арифметикалық  төрт  амал,  ауызша  жəне  жазбаша  есептеу  ережелері  
бастауыш кластан бастап оқылады. Бұл ережелерді бір адам ойлап шығарған 
немесе  тапқан  емес.  Арифметика  күнделікті  практика  талаптарынан, 
адамдардың  еңбектеніп  əрекет  жасауындағы  өмірлік  мұхтаждықтарынан 
туған. Арифметика өте баяу жəне ұзақ уақыт дамыды. 
Сонау ерте замандардың өзінде адамдарға өздерінің күнделікті өмірінде 
кездесіп отыратын əр түрлі нəрселерді санауға тура келген. Сонда адамның 
тек  екіге дейін ғана санай білетін шағы болған. Екі саны адамның көру жəне 
есту  мүшелерімен,  жалпы  алғанда  нəрселердің  нақтылы  бір  жұбымен 
байланыстырылған.  Үнділердің  «көз»,  тибеттіктердің  «қанат»  деген  сөздері 
екі санын білдіретін.  
Карл  Гаусс  математиканың  сан  салаларын  сарапқа  сала  келе 
арифметиканы  математика  патшасы  деп  бағалаған.  Ал,  арифметиканың 
негізгі  ұғымы  –сан.  Ендеше,  сол  сан  ұғымының  қалай  пайда  болуын  ашу, 
білу-ғылыми методолоиялық үлкен проблема. 
ХІХ  ғасырға  дейін  математика  тарихы  жөнінде  қалам  таратушы 
авторлардың көбісі сандар мен сандарға амалдар қолдану əрекетін құдайлар 
немесе  кемеңгер  философтар  шығарған  деп  түсіндіріп  келді.  Өткен 

ғасырдағы ең мықты алгебрашылардың бірі Кронекер «бүтін сандарды құдай 
жасады,  қалған  дүниені  адам  жасады»  -  дегені  мəлім.  Ескі  аңыздарда 
сандарды  біресе,  Пифагор,  біресе  Прометей  немесе  басқа  бір  пайғамбар 
шығарыпты-мыс  деген  тұжырымдар  көп  ұшырасады.  Бұлардың  барлығы, 
əрине ғылыми шындыққа келмейтін жалаң қорытындылар. 
Шындығында  арифметиканың  өзі  айрықша  ғылым  болып  бертінде 
қалыптасқанмен,  оның  басты  ұғымы-сан  ұғымы  өте  ертеде,  адамзат  жазу, 
сызуды білмеген заманда пайда болған. 
Адам  баласының  ең  бірінші  қолдана  білген  математикалық  амал  санау 
болды. Тіпті аз ғана санды білетін жабайы тайпалардың өздері көп нəрседен 
тұратын жиындарды санауға əрекет жасаған. 
Сан ұғымы баяу дамыды, сандар шекарасы біртіңдеп кеңіді. Тілінде тек 
бір  мен  екі  сандары  ғана  бар  жабайы  тайпалар  қазірдің  өзінде  ішінара 
кездесіп  қалады.  Адам  бірте-бірте  ғана  үшке  дейін,  онан  кейін  беске,  онға 
дейін т.с.с. санап үйренген. Əлгінде айтылған Торрес бұғазының тайпалары 
1-ді  урапун,  2-ні  оказа,  3-ті  оказа-урапун,  4-оказа-оказа,  5-оказа-оказа-
урапун,  6-оказа-оказа-оказа  деп  санаған.  Егер  нəрселер  саны  екіден  көп 
болса, алғашқы қауым адамы олар туралы тек «көп» дейтін. [9] 
Қоғамдық  өндірістің  өркендеуі,  өндірілген  өнімнің  молаюы,  тайпалар, 
қауымдар  арасындағы  саяси-шаруашылық  қарым-қатынастардың  ұлғаюы 
санның,  оған  əртүрлі  амалдар  қолданудың  дамуына  əсер  етті.  Сандардың 
жоғары  шекарасы  біртіндеп  кеңейе  келіп,  натурал  сандар  қатары  түзілді. 
Бертін  келе  натурал  сандардың  əрқайсысын  белгілі  бір  жүйемен  атау, 
таңбалау күн тəртібіне қойылды. Міне, осылай түрліше санау жүйесі немесе 
нөмірлеу қалыптасты. Натурал сан ұғымының алғашқы қалыптасу дəуіренен 
сақталып  қалған  ешбір  құжат  жоқ.  Математика  тарихында  бұл  ұғымды 
зерттеу 
үшін 
этнографияның 
жəне 
лингвистиканың 
табыстары 
пайдаланылады. 
Қорыта  келгенде,  арифметиканың  бастапқы  да  негізгі  ұғымдары  мен 
əдістері тікелей өмір талабынан туындаған. 
Геометрия  ғылымының  негізгі  ұғымы  болып  саналатын  фигуралар 
ұғымдарының қалыптасуы да арифметика негіздерінің шығу төркініне ұқсас. 
Геометрия  грекше  «гео»-жер,  «метрейн»-өлшеу  деген  екі  сөзден  құралған. 
Осы  атаудың  өзінен-ақ  геометрияның  шығу  тегі  берден  аңғарылады. 
Геометрия  да  арифметика  сияқты  адамдардың  табиғатпен  үздіксіз  қарым-
қатынас  нəтижесінде  пайда  болған.  Бұл  бақылау  саналы  түрде  жүрмеген 
жəне өте ұзаққа созылған. Тарихқа дейінгі алғашқы «геометрлер» біз сияқты 
заттың  басқа  қасиеттерінен  жасанды  түрде  бөліп  алынған  дерексіз 
ұғымдарды  қарастырмаған.  Оларда  геометриялық  ұғым  жəне  сол  ұғымға 
сəйкес келетін табиғат нəрсесі, объектісі ылғи қосарлана алынады. Мысалы, 
ежелгі  адамдар  үшін  нүктелер  өте  алыстағы  жұлдыздар  немесе  өте  кіші 
түйіршіктер;  ал  түзулер-жарық  сəулесі  немесе  тартылған  жіп  немесе  басқа 
бір  түзу  сипаттас  нəрселер,  жазықтықтар-көлдің  айдыны,  тақыр  жер, 
тақтаның  беті  тағы  басқа  болып  есептеледі.  Тіпті  бертінде  қабылданған 
цилиндр (дөңгелектеу ), трапеция (үстел), сфера (доп) сияқты геометриялық 

атаулар тікелей практикадан, ал үшбұрыш, төртбұрыш, дөңгелек, симметрия 
ұғымдарының да табиғаттың өзінен алынғаны даусыз. 
Сан  қилы  өлшеу  қажеттігінен  ұзындық,  аудан,  көлем  сияқты 
геометриялық шамалар жөніндегі ұғымдар қалыптасты. Адамдар бірте-біртей 
кейбір  қарапайым  геометриялық  заңдылықтарды  ашатындай  дəрежеге 
көтерілді.  Жер  жыртушы  диқан  ұрпақтан-ұрпаққа  көшкен  тəжірибе 
жиынтығынан  бөлінген  жердің  азды-көптігі  қандай  шамаларға  байланысты 
екенін  пайымдауға  тиісті  болды.  Қисық  жолға  қарағанда  түзу  жолдың  төте 
екенін  аңғару  қиынға  түспесе  керек.  Осылайша  алғашқы  геометриялық 
«теоремалар»  дүниеге  келді.  Бірақ  бұларды  ешкім  дəлелдемеді,  дəлеледеуді 
де  керек  етпеді,өйткен  бұл  теоремалардың  астарында  күн  сайын  тұрмыста 
сан рет сыналып, шүбə келтірмейтін шындық жатты. 
Уақытты  өлшеу,  түнде  бағытты  бағдарлау  тəрізді  əрекеттер  аспан 
шырақтарының  қозғалысын жүйелі түрде бақылап отыруды қажет етті. Бұл 
əрекет  бұрыштарды  өлшеудің,  аспан  сферасында  орын  алатын  сандық 
қатынастарды, фигураларды зерттеп білудің бастамасы еді. 
 
1.2. Ежелгі шығыс ғылымы 
 
Математиканың  бастапқы  мағлұматтары  азды-көпті  барлық  халықта 
болды деп айтуға болады. 
Мəселен,  көне  түркі  халықтарында  (бұған  қазақтар  да  кіреді)  біздің 
заманымыздың  бас  кезінде  кемел  санау  санау  жүйесі  болғанын  көрсететін 
жазба  ескерткіштер  бар  (мысалы,  Күлтегін  ескерткіштеріндегі  жазбалар). 
Мұнда Ай, Күн жəне басқа аспан шырақтарының аттары аталып, 100 мыңға 
дейін  сан  келтіріледі.  Қазақтың  жұмбақ  есептерінде  көптеген  терең 
математикалық астарлар жатыр. Мəселен, бір саулығын он жылда қанша бас 
қой  болады  деген  есеп  геометриялық  прогрессияға  келеді.  Ал 
«Тоғызқұмалақ»  ойыны  тұнып  тұрған  математикалық  талдаулар  екені 
айқындалып отыр. Оның негізі-комбинаторикалық есептеулерде  жатыр.  
Біз  енді  математикалық  мəдниеттің  келешек  дамуына  айтарлықтай 
ықпал  жасаған  Мысыр  жəне  Вавилон  елдерінің  математикалық 
жетістіктеріне қысқаша тоқталайық. 
Адам баласының əлем сырларын терең түсініп, бірте-бірте білімді жəне 
өнерлі  болуында  ертедегі  шығыс  елдерінің  қосқан  үлестері  ерекше.  Ғылым 
мен мəдениеттеің барша саласында мəңгі өшпес мұра қалдырған ежелгі грек 
ғалымдары (бізден 2000-2500 жыл бұрын өмір сүрген) өздерін ежелгі Шығыс 
ғұламаларының  шəкірттері  санаған.  Олар  əсіресе  Мысыр  жəне  Вавилон 
сияқты  шығыстың  көне  елдерінде  жасалған  бай  ғылыми  мирастардан  үлгі, 
тəлім  алып  отырған.  Бұған  «тарихшылар  атасы»  аталған  грек  оқымыстысы 
Геродоттың  «Мысырда  Ніл  өзенінің  дүркін-дүркін  тасуы  салдарынан  су 
басқан  егістік  жерлерді  үнемі  дəл  өлшеп,  қайта  бөлісу  мұқтаждығы 
геометрияны туғызды» деп айтқандары дəлел болады. 
Айтылып  отырған  Египет,  Вавилон  елдері  мəдениеті  өте  ерте  дамыған 
тарихи  жұрттар  қатарына  жатады.  Мысырлықтардан  бізге  ғылыми,  тарихи 

т.б.  мағлұматтар  жазылған  көптеген  папирустар  келіп  жетті.  Папирус 
дегеніміз ежелгі Мысыр жерінде көп өсетін папирус деп аталатын өсімдіктен 
жасалған аса берік те төзімді жазу материалы. Ежелгі Мысыр оқымыстылары 
өздерінің ғылыми еңбектерін осындай папирустарға жазып қалдырған. 
Ал  вавилондықтандан  бізге  мыңдаған  сына  жазулар  (клинописьтер) 
қалды. Олар жазулар мен есептерді арнайы дайындалған балшық тақталарға 
сына арқылы жазып, ұзақ сақталуы үшін оларды отқа күйдіретін болған.  
Ежелгі  мысырлықтардың  математикалық  білім  дəрежесін  айқындауға 
мүмкіндік  берерліктей  екі  папирус  сақталған.  Олардың  біріншісі-Ринд 
папирусы-Лондонда  Британ  музейінде,  ал  екіншісі  –Москва  папирусы 
Москвада  А.С.  Пушкин  атындағы  музейде  сақтаулы.  Біріншісі  ұзындығы 
5,5м,  ені  32см,  мұнда  85  есеп  бар,  ал  екіншісінің  ұзындығы  сондай,  бірақ 
енсіз  (8см),  онда  бас-аяғы  25  есеп  келтірілген.  Бұл  папирустардың  жазылу 
кезі біздің заманымыздан 2000 жылдай бұрын деп шамалауға болады. 
Папирустарда  келтірілген  есептер,  догматикалық  түрде  берілген,  яғни 
есептің  шарты  мен  талабы  беріледі  де  шешу  жолы  көрсетіледі.  Ешқандай 
дəлелдеу, тексеру жоқ, айрықша символика жоқ, барлығы иероглиф арқылы 
өрнектелген сөздер мен сөйлемдерден тұрады. 
Осыған  қарап,  мысырлықтардың  əсіресе  геометрия  саласында  едəуір 
жеткендігін байқаймыз. 
Мысырлықтар  үшбұрыштың,  тіктөртбұрыштың  жəне  трапецияның 
аудандарын  дұрыс  формулалар  арқылы  табады.  Мəселен,  үшбұрыштың 
ауданын  табу  үшін  табанын  екіге  бөліп,  биіктігіне  көбейтеді,  ал, 
трапецияның ауданын табу үшін параллель қабырғаларының қосындысының 
жартысын  екіге  бөліп,  биіктігіне  көбейтеді.  Олар  кез  келген  төртбұрыштың 
ауданын  табу  үшін  қарама-қарсы  қабырғалар  қосындысының  жартысын 
басқа  екі  қабырғасы  қосындысының  жартысына  көбейтеді.  Алайда  бұл 
формулалар тек тіктөртбұрыш болғанда ғана дұрыс. 
Мысырлықтар  дөңгелектің  ауданын  жуық  түрде  диаметрінің  тоғыздан 
сегізінің квадратына тең деп алады. Олай болса, шеңбер ұзындығының оның 
диаметріне қатынасын көрсететін π саны үшін мынадай жуық мəн табылады: 
1605
,
3
9
8
4
2
≈






≈
π
 
Бұл өз уақытымен салыстырғанда үлкен жетістік еді. 
Мысырлықтар  қабырғалары  3,  4,  5  өлшем  болып  келген  үшбұрыштың 
тік бұрышты екенін білген (Пифагор теормесы) олар осы үшбұрыш арқылы 
жер  бетінде  тікбұрыш  салатын  болған.  Бұл  үшбұрыш  қазір  «Мысыр 
үшбұрышы » деп аталып жүр. 
Мысырлықтар  кубтың,  параллелепипедтің  жəне  дөңгелек  цилиндрдің 
көлемін таба білген. 
Вавилон  математикасы  жөніндегі  негізгі  деректерді  біз  олардан  мирас 
болып қалған сына жазуларды талдау арқылы білеміз.  
Ертедегі Мысыр еліндегі сияқты Вавилон мемлекетінде де «жазғыштар» 
немесе  «көшірмешілер»  дайындайтын  оқу  орындар  көптеп  ашылған. 
Вавилонда «Кесте үйі» деп аталатын осындай мектептерде оқу, жазу, есептеу 

өнерлерін  үйретуге  үлкен  мəн  берілген.  Мұнда  сабақ  өтудің  негізгі  əдісі-
жаттау əдісі болған. Бізге жеткен сына жазулардағы математика сол кездегі 
оқушыларға арналса керек. 
Вавилондықтар  санаудың  негізіне  қазіргідей  10-дық  жүйе  емес,  көп 
жағдайда арифметиканың аса қиын амалы — бөлу амалын жеңілдететін 60-
тық  санау  жүйесін  қолданған.  Мысалы:  1  574  640  санын  алпыстық  жүйеде 
өрнектесек:  1  603  +  57  602  +  46  60  +  40,  яғни  қосындысы  424000  етіп 
жазылады. 
Бұл жүйе бойынша барлық оң бүтін жəне бөлшек сандар сына тəріздес 
екі  таңбаның  жəрдемімен өрнектелетін  болған, бір үшін 
∇
,  ал  он  үшін 
<
 
таңбасы қолданылған. [5]. 
 
Вавилон сандары 
Вавилондықтар  барлық  математикалық  жетістіктері  жинақталып 
жазылған  (шамамен  айтқанда  б.з.б.  200-шы  жыл,  яғни  Вавилон  мəдениеті 
өркендеп өзінің ең жоғарғы сатысына көтерілген кезге жатады) қырық төрт 
кестеден  құралған  бабылдықтардың  математикалық  энциклопедиясы 
табылған.  Бұл  энциклопедиядан  бабылдықтардың  сол  ертедегі  заманда 
күнделікті  мұқтаждықтары  алға  қойған  практикалық  есептерді:  егіншілік, 
жер суаруды реттеу, сауда жасаудағы есептерді шешудің бірсыдырғы тиімді 
тəсілдерін білгендігі көрінеді. 
Вавилондықтар  астрономия  ғылымының  негізін  салған.  Бір  аптаны  жеті 
күнге  бөлу,  шеңберді  360  градусқа,  сағатты  60  минутқа,  минутты  60 
секундқа,  секундты  60  терцияға  бөлу  солардан  бізге  мирас  болып  қалған. 
Жұлдыздарға  қарап  болашақты  болжау,  яғни  астрология  да  солардың 
арасында туған. 
Əрбір  өлшеуіш  алдыңғысынан  60  есе  артық  болып  келіп  отыратын 
өлшеуіштер  мен  таразылар  жүйесін  де  солар  жасаған.  Біздің  қазіргі  уақыт 
өлшемдеріміз — сағатты, минутты жəне секундты 60 бөлікке бөлуміз содан 
басталады. 
Вавилондықтар мысырлықтар сияқты көбейтуді қосуға жəне екі еселеуге 
келтірмей-ақ  бірден  жүргізеді.  Мұнда  олар  2х2  ден  59х59-ға  дейінгі 
сандардың көбейтіндісін жатқа білуге тиісті болғандықтан, дайын кестелерді 
пайдаланған.  Арифметикалық  амалдар  қолдануда  əр  түрлі  алдын  ала 
жасалған осындай кестелерге сүйенген. 

Вавилондықтар екінші дəрежелі теңдеулерді, ал арнаулы кестелер арқылы 
үшінші дəрежелі теңдеулерді шеше білген. 
 Ежелгі Урарту математикасы 
Б.з.б.  екінші  мыңжылдықтың  орта  шенінен  бастап  бір  жағынан  Бабыл 
патшалығына,  кейіннен  оның  орнына  келген  Ассирия  патшалығына,  екінші 
жағынан  Кавказ  сыртына  шектескен  территорияда  Ван  патшалығы  немесе 
Урарту  патшалығы  болды,  бұл  патшалық  ҮІІІ  ғасырда  Кавказ  сыртының 
оңтүстік  облыстарын  жаулап  алды.  Урарту  халықтары  Вавилон 
математикасын меңгеріп, қазіргі позициялық ондық (тұрған орнына қарай бір 
цифрдің өзі əр түрлі разрядтардың белгісі болатын) нумерацияға жақын жəне 
позициялық  принципті  білмейтін,  мысырлық  ондық  нумерацияға  мүлде 
ұқсамайтын,  ондық  нумерацияға  көшкендігі  анықталған.    Урарту 
арифметикасы көбінесе ертедегі Армян арифметикасына ұқсас. Бұлай болса 
ертедегі  бабылдықтардың  математикасы  Урарту  халықтары  арқылы  Кавказ 
сыртындағы  халықтардың,  əсіресе  армяндардың  өте  ерте  замандағы 
математикалық  мəдениетіне  ықпалын  тигізіп  математиканың  ауқымды 
дамуына зор үлесін қосқан. 
 
1.3. Гректердің ежелгі математикасы 
 
Гректердің  теориялық  ғылымының  негізі-Мысыр  жəне  Вавилон 
елдерінде  жинақталған  ғылым-білім  бастамалары  мен  дəстүрлері.  Расында 
гректен  шыққан  көрнекті  математик  ғалымдар  Фалес,  Пифагор,  Демокрит, 
Евдокс  жəне  басқалары  осы  елдерде  болып,  оларда  жинақталған 
математикалық, астрономиялық ғылыми мағлұматтарға ден қойып үйренген. 
Ежелгі математиктер математикалық білімді бір-бірінен алшақ жатқан 
екі  топқа  бөлген.  Олар:  практикалық  математика  жəне  теориялық 
математика.  Практикалық  математикаға  логистика  жəне  практикалық 
геометрия  (геодезия,  сəулет  ғимараттары  т.б.  қолданатын  математика) 
жатады. 
Грек  оқымыстыларының  нағыз  кереметі  –  олардың  осы  заманғы 
теориялық математиканың іргетасын қалауы. 
Грецияда 
теориялық 
ғылымның 
шығып 
дамуына 
əртүрлі 
натурфилософиялық  мектептен  үлкен  роль  атқарады.  Олардың  бастылары: 
иондық мектеп (б.з.д.ҮІІ-ҮІғғ), Пифагор мектебі (б.з.д.ҮІ-Үғ.) жəне афиндік 
мектеп  (б.з.д.Ү-ІҮғ.).  Бұл  мектептерде    математика  мəселелеріне  көп  көңіл 
бөлінген. 
Ионанияның басты шаһары Милетте ұйымдасқан натурфилософиялық 
мектептің көрнекті өкілдері Аноклесо Фалес Анаксимандр, Анаксимен жəне 
Гераклиттердің атқарған жұмыстары ерекше. 
Осы  философиялық  мектептің  негізін  салушы  ежелгі  Греция 
топырағынан  шыққан  тұңғыш  философ,  математик,  астроном  Милеттік 
Фалес (б.э.д. 624-548жылдар шамасында). 
Фалесті  «грек  ғылымының  атасы»,  «ежелгі  Грециядағы  жеті 
кемегеңгердің  бірі»  деп  санайды.  Бізге  жеткен  деректерге  қарағанда  Фалес 

вавилондықтардың астрономиялық бақылау тəжірибелеріне сүйеніп жəне өз 
тарапынан  дəл  есептеулер  жүргізе  отырып,  б.з.д.585  жылғы  23  мамырда 
болған Күннің тұтылуын алдын ала болжап білген. 
Тарихи  мағлұматтарға  қарағанда  геометриялық  шындықтарды 
дəлелдеу  дəстүрін  тұңғыш  енгізуші,  «диаметр  дөңгелекті  қақ  бөледі; 
теңбүйірлі  үшбұрыштың  табанындағы  бұрыштары  өзара  тең;  екі  түзу 
қиылысқанда  теңбұрыштар пайда болады; екі бұрышы жəне бір қабырғасы 
тең  екі  үшбұрыш  тең  болады»  деген  теоремаларды  дəлелдеген  де  Фалес 
болса керек. 
Грецияда  теориялық  математиканың  туып,  өркендеуінде  екінші  бір 
ғылыми-философиялық  мектептің,  -Пифагор  мектебінің  орны  ерекше.  Бұл 
мектептің  негізін  салушы  Пифагор  б.з.д.570-500  жылдар  шамасында  өмір 
сүрген. Пифагор дүние дегенді үйлесімділік (гармония) деп түсіндірген. Бұл 
үйлесімділікті,  дүниедегі  заңдылықтарды  ұғыну  үшін  бүтін  сандарды, 
олардың  қатынастарын  мейлінше  жақсы  білу  керек.  Міне  осы  сандық 
үйлесімділікті  білу  адамды  мəңгілік  етеді  деп  уағыздаған.  Пифагордың 
ілімінде ғылым мен дін астасып жатыр.  
Ғылымға «математика» деген терминді енгізуші Пифагор болды. Грек 
тілінде «математика»- ғылым, білім деген мағынаны білдіреді. 
Пифагор  математиканы  дербес  төрт  салаға  бөлді.  Олары:  сан  туралы 
ғылым  (арифметика),  фигуралар  туралы  ғылым  (астрономия)  жəне  музыка 
теориясы, яғни гармония. 
Пифагор  жəне  пифагоршылар  геометрияны  тек  қана  практикалық 
қажеттіліктен  туған  есептерді  шешу  əдістерін  баяндайтын  практикалық 
геометриядан  бүтіндей  бөліп  қарап,  оны  үшбұрыш,  төртбұрыш,  көпжақтар 
сияқты  абстракциялық  фигуралардың  қасиеттерін  жан-жақты  да  жүйелі 
түрде зерттейтін ғылым дəрежесіне көтерді. 
Пифагор  негізін  салған  теориялық  математиканың  сан  алуан 
мəселелерін  жан-жақты  зерттеп,  дамытуға  көп  үлес  қосқан  Пифагордан 
Евклидке  дейін  (300  жыл  шамасында)  өмір  сүрген  жəне  математика 
тарихында  өшпес  із  қалдырған,  аса  көрнекті  математикатерге  қысқаша 
тоқталып кетейік. 
Хиостық  Гиппократ  б.з.д.Ү  ғасырда  өмір  сүрген.  Кубты  екі  еселеу 
есебін шешу жөніндегі оның еңбегі зор. Оның өмірі туралы көп мағлұматтар 
жоқ. Аңызға қарағанда ол аса талантты математик бола тұра, аңқау, ақкөңіл 
болса керек, оны кішкентай бала да оңай алдап кетеді екен.  Гиппократ  өзіне 
дейінгі  жəне  өзі  өмір  сүрген  замандағы  ғалымдардың  математикалық  ой 
тұжырымдарын,  теоремалары  мен  дəлелдемелерін,  есептерді  шешу 
жолдарын жиыстырып, бір жүйеге келтіреді. Бұл материалдар Гиппократтың 
«Бастамалар»  деп  аталатын  үлкен  еңбектерінде  баяндалған.  Алайда  осы 
еңбегі  бізге  жетпеді.  Зерттеулерге  қарағанда  бұл  еңбек  Евклидің  атақты 
«Бастамаларына» үлгі болса керек. 
Тарендік  Архит-б.з.д.Ү  ғасырда  өмір  сүрген  математик.  Ол  Тарента 
қаласында  туып-өскен.  Архит  өз  заманында  атақ,  даңқы  шыққан  дарынды 
оқымысты.  Ол-мемлекет  қайраткері, үздік  əскери  қолбасшы,  асқан инженер 

əрі  бесаспап  музыкант.  Архит  əйгілі  Платонның  досы  ,  ол  ұлы  математик 
Евдокстың ұстазы болған. 
Ол  көбіне  теориялық  арифметикамен  айналысады.  Математика 
тарихын  зерттеушілердің  сөзіне  қарағанда  Евклидтің  «Бастамалар»  атты 
классикалық  еңбегінің  арифметика  мəселелеріне  арналған  сегізінші  кітабы 
түгелдей осы Архидтің қолжазбасынан алынған деген сөз бар. 
Архиттің  математикадағы  тамаша  жетістігі  кубты  екі  еселеу  есебін 
соны,  тың  əдіспен  шешуі  болып  табылды.  Архит  мұнда  Гиппократтың 
зерттеулеріне сүйенеді.  
Архит  қазір  орта  мектеп  геометриясында  оқытылатын  шеңберге 
жүргізілген 
жанаманың 
жанасу 
нүктесіне 
жүргізілген 
радиусқа 
перпендикуляр болатынын тағайындады. 
Книдтік  Евдокс-Пифагордан  Евклидке  дейінгі  аралықта  өмір  сүрген 
математиктердің  ең  көрнектісі.  Ол  б.з.д.ІҮ  ғасырда  Кіші  Азияның  Книд 
қаласында  туған.  Евдокстің  ғылымдағы  аса  ірі  жетістігі  қазіргі 
«математикалық  анализдің  кіріспесі»  деп  аталатын  саладағы  екі  үлкен 
жаңалықты  ашуы болды.  Бірінші  теория  «Евдосктың  қатынастар  теориясы» 
деп  аталады.  Бұл  теория  Евклид  «Бастамаларының»  бесінші  кітабында 
баяндалады. 
Қатыстар 
теориясы 
грек 
математикасында 
қазіргі 
математикадағы  нақты  сандар  теориясының  орнына  жүрген.    Екіншісі- 
«сарқу  əдісі»  туралы  теория.  Бұл  əдіс  қазіргі  математикадағы  «шектер 
теориясының»  орнынан  жүрген.  «Сарқу  əдісі»  арқылы  гректер  көптеген 
математикалық  теоремаларды  дəлелдеп,  қисық  сызықты  фигуралардың 
ауданы  мен  көлемін  анықтаған.  Евдокстың  өзі  осы  əдісті  пайдаланып, 
пирамиданың көлемі биіктігі мен табаны сондай призманың көлемінің үштен 
біріне тең болатынын, ал конустың көлемі сəйкес цилиндр көлемінің үштен 
біріне тең болатынын дəлелдеді. Евдоск «сарқу əдісі» арқылы дөңгелектердің 
аудандарының қатысы олардың диаметрлерінің квадраттарының қатысындай 
болатынын көрсетті. 
Математика ғылымы тарихына Демокриттің философиялық зерттеулері 
де  үлкен  үлес  қосты.  Ол  «физикалық  атомизм»  принципі  бойынша 
«математикалық  атомизмге»  көшеді.  Əрбір  математикалық  фигура,  дене 
саны өте көп (бірақ шекті), мөлшері өте кіші атомдардан тұрады деп есептеп, 
осы  ұйғару  арқылы  бірсыпыра  фигуралардың  аудандары  мен  көлемдерін 
тапқан.  Демокрит  табаны  цилиндр  немесе  призмада  жатқан,  ал  биіктігі 
сондай конустың немесе пирамиданың көлемі сол цилиндрдің немесе призма 
көлемінің үштен біріне тең екенін тұңғыш дəлелдеген. 
Математика жəне басқа ғылымдар тарихында ұл философ Платонның, 
əсіресе  оның  шəкірті  Аристотельдің  (б.з.д.ІҮғ.)  философиялық  жəне  басқа 
ғылыми еңбектерінің мəні ерекше. 
Платон  –  атақты  ойшыл.  Сократтың  шəкірті.  Платон  өзінің 
Академиясының есігінің алдына «Геометрияны білмейтіндер бұл ғимараттың 
табалдырығынан аттамасын.» деп жаздырып қойған дейді. 
Аристотель Платон Академиясында 20 жыл бойы үзбей оқып, Платон 
оның  алғырлығын  жоғары  бағалап,    оған  «Академияның  ақыл-ойы»  деген 

атақ  берген.  Аристотель  математиканың  логикалық  іргетасын  қалайды. 
Анықтама,  аксиома,  постулаттар,  теорема  жəне  оны  дəлелдеу  əдістері 
(анализ, синтез, индукция, дедукция, т.б.) туралы, математикалық білімдерді 
орналастыру  жөнінде  жүйелі  пікірлер  айтқан.  Мұны  кейінгі  математикатер, 
əсіресе, Евклид «Бастамаларында» басшылыққа алады. 
Аристотельдің  математика  мəселелері  жөнінде  жіберген  қателері  де 
болды.  Ол  арифметика  мен  геометрияны  бір-біріне  қарсы  қояды, 
математикада қозғалысты қолдануды мақұл көрмейді.[9]. 
 

 
 1.
Практикалық математика  
 2.Натурфилософиялық мектептегі математика 
   Пифагор жане математика  
 3Иррационалдың ашылуы.геометриялық алгебра  
 4.ежелгі математиканың уш есебі  
5.Пифагордан Евклидке дейін Эвдокс 
6.Ұлы философтар жане математиктер 
 
1.Б.з.д6-5 ғғ. Грецияның қоғамдық экономикалық саяси өмірдің кемелденген 
кезі болғандығы тарихтан белгілі.Бұл аралықтарда ғылыммен өнер де 
дамыды соның ішінде математикада коптеген жаналықтар өзгерістер 
енді.Гректердің теориялық ғылымының негізі мысыр жане вавилон 
еңбектерінде жинақталган  
ғылым жане білім бастамалары гректердің корнекті математиктрі:Фалес 
Пифагор Эвдокс  т.б.осы елдердегі ғылыми мағұлматтарга сүйенген ежелгі 
гректер математикалық білімдерді бір-бірінен алшақ жатқан екі топқа бөлген 
олар ;практикалық математика жан теориялық математика.Гректер сандарды 
таңбалаудың бірнеше жүйесі орын алган соның бірі əріптік номерлеу 1мен9 
ға дейінгі сан грек алфавитінің басты 9 əрпі арқылы белгіленген   
Санды бейнелейтін аріптерді устіне сызықша қойылады.гректерде +.*.- 
амавлдарын орындау тəсілдері осы күнгі біздің қолданып жүрген əдістерге 
ұқсас.Ал бөлу амалын қалай жүргізгені əлі анықталмаған.Бертін келе /б.з.2ғ/ 
гректер астрономия мұқтаждығы үшін вавилондық алфавиттік əдіспен 
жазылган позициялық алпыстық бөлшегін игереді оны жетілдіреді.Бос разряд 
үшін  О таңбасын енгізді Олар вавилондықтар дəстүрін игере отырып 
сандардың жуық квадрат жане кубтық түбірін табудың бірнеше тəсілдерін 
меңгереді. 
 
2.Грецияда теорилық ғылымның шығып дамуына əртүрлі  үлкен роль 
атқарады. Олардың бастылары иондық мектеп /б.з.д 7-6ғ/ Пифагор мектебі 
/б.з.д.6-5ғ/ афиндік мектеп /б.з.д.5-4ғ\ Бул мектептерде математика 
маселелеріне коп көңіл бөлген,иоедық мектеп кіші азияның батыс 
жагалауынын орта тұсы ,ионияда қалыптасқан Индонезияның басты қаласы 
мемлекетте ұйымдасқан мектептің көрнекті өкілдері фалис героклид.Мысыр 
математиктері «неге» «неліктен» сакуалдарын мүлдем жауа бермей тек қана 
«қалай» «қалай істелген» деген сұрақтармен шектелсе,енді кун тартібіне 
«неге» деген мəселе қойылды,яғни əрбір қағиданың дұрыс-бұрыстығын 
логикалық қатал ақыл таразсына салу талап етілді.Осы философияның 
негізін салған философ математик астроном б.з.д624-548жж Фалес 
болды.Оның түсінігі бойынша «барша дүние  судан жаралган , ал  жер ұшы 
қиыры жок мұхитта жүзіп жүрген үлкен дөңгелек диска филисті грек 
ғылымының атасы ежелгі грециядагы 7 кемеңгердің бірі деп санайды тарихи 
мағұлматтарга қарағанда геометрия шындық далелдеу дəстүрін тұңғыш 
енгізген «диаметр дөңгелекті қақ бөледі «,тең бүйірлі ұшбұрыш та бұрышы 

тең, екі түзу қиылсқанда тең бұрыштар пайда болады деген теоремаларды 
далелдеген фалес болса керек деген болжам бар. 
Грецияда  теориялық математиканың туып оркендеуіне Пифагор мектебінің 
орны ерекше оның негізін салушы Пифагор б.з.д 570-470жж.Ол саммос 
аралығында туып жас шағында мысыр мен вавилон елін коп аралайды Өзінің 
ғылыми мектебінің ірге тасын оңтүстік Италияда қалайды.Пифагор туралы 
коптеген аңыздар бар.Ол əулие Пайғамбар «ол бір мезгілде екі жерде журе 
алады ,ол кемеңер ұстаз»,т.бБұл айтылғандар Пифагордың білім 
парасаттылығымен , замандастарынан əлде қайда озық болғанын дəледейді. 
Пифагор жане оның жолын қууышылардан қалған ғылыми мұраларды діни 
қабыршақтан аршып алсаң қазіргі жаратылыстану математика ғылымын 
жасауда  жеткен жасағынан кореміз.Пифагоршылар стереометрия жонінде 
табысқа жеткен олар дурыс торт жактарды куб,тетраэдр ,октаэдр ,гексаэдрді 
білген математиканың бул саласы казырғы сандар теориясы немесе 
теориялық арифметика деп аталады.Олар арифметикалық геометриялық жане 
гормониялық пропоциялармен орталарды көп қарастырады: 
  с=a+b/2 -ариметикалық орта  
 
c= ab
геомтриялық орта с=2ab/a+b -гормоникалық орта Пифагор 
астрономия  
жонінде де коп еңбектенген ғалым. 
 
3.Пифагоршыладың барлығы да сан яғни ғылымның негізі бүтін сандар 
болады деген философиялық басты қағидасының қайшылығы мен қатесін 
коп ұзамай математика өзі  ақ əшкерледі.  Ол өлшемдес емес кесініділердің 
немесе иррацоналдардыңиррациялық ұғымыныңашылды  деді. Пифагордың 
тікелей өз шəкірттері тапқан тақ сандардың бедліне нұсқан клтірмей 
қоймады, бұл тұрғыда иррациоалдық ұғым ашылуына тікелей себепші болуы 
мумкін деген математикалық 3 мəселе бар. Олар:  
1.  Квадрат  қабырғасы  мен  диоганалінің  ортақ  өлшемін  табу,  музыканың 
математикалық  теорияда  кездестін  1-2-нің  геометриялық  ортасын  актава 
интегралмен  қақ  бөлу  жəне  квадратты  екіге  тең  болатын  рационалды  табу. 
Бұл  мəселелердің  қай-қайсысы  болмасын  екінің  квадрат  түбірін  табуға 
келтіреді.  Б.з.д      ғасыр  соңында  өмір  сурген  Федор  мен  Тетет   
3
, 
3
,  .  . 
.
17
,(
n
,n- квадрат емес) сияқты иррационгалдардың болатынын дəлелдеді. 
Сонымен  бүтін  сандар  немесе  олдардың  қатынастары  арқылы  бір  нүктеге  
келмейтін геометриялық шамалар өте көп екен. Олай болса “барлығыда бүтін 
сан”  деген  Пифагоршылдардың  тұжырымдамалары  қате  болды.  Мұндай 
деген шамаларға лайықты жаңа сан барма деген сұрақ туады. Өлшемдес емес 
кесінділер математикада үлкен бетбұрыс болды. Осыдан бастап арифметика 
мен  геометрия  арасындабұрынғыдай  қатынас  өзгеріп  геометрия  үстем  бола 
бастады.  Бұл  теңсіздік  математикада  2000  жылдан  астам  t  яғни  N  нақты 
сандар  ұғымы  қалыптасқанға  дейін  созылды.  Рационал  сандар  жиынына 
қарағанда  геометриялық  кесінділер  жиыны  кеңірек  болып  шықты.  Гректер 
сандар кеңейтудің орнына оларды тастап математика негізіне геометриялық 
кесінділер  алды.  Қазіргі  біздің  рационал  сандардың  орнына  өлшемдес 

кесінділердің  қатынасы  ,  ал  иррационал  сандардың  орнына  қатынастар 
теориясын  жасады.  Бұл  теория    б.з.б  4  ғасырда  өмір  сурген  Эвдокс  деген 
математиканың    Тетет  еңбектерінде  кездеседі.  Грек  математиктерінің 
еңбектерінде 1,2-ші  дəрежелі  бір беглісі бар  теңдеуге  келтірілетін есептерді 
шешу əдістері келтіріледі жəне олардың шешімдері сан арқылы көрінеді. Ал 
иррационалдардың  ашылуыбұл  əдістерді  жарамсыз  етті.  Сондықтан  грек 
математиктері енді алгебралық мазмұнды формулалармен есептерді тек қана 
біріңғай  геометрияны  пайдалана  отырып  өрнектеуге  тырысады.  Ежелгі 
гректердің мұндай алгебра математика тарихында геометриялық алгебра деп 
аталады.  
 
                                    a(b+c+d) = ac + bc + ad   
 
Гректердің  геометриялық  алгебрада  кемшіліктері  болды.  Бұл  алгебраның 
əдістері арқылы квадрат теңдеудің теріс шешімін табу мүмкін емес. Себебі 
оларда теріс шешу деген ұғым жоқ еді. Циркуль мен сызғышты пайдаланып 
салуға  болатын  есептерге  геометриялық  алгебра    жарамсыз  болды.  Ондай 
есептің ішінде математика дамуында үлкен ықпал жасаған үш есеп бар. 
4.1-есеп.Кубты екі еселеу есебі Колемі берілген,кбтың колемінен екі есе 
улкен болатын куб салу. 
2-есеп.Бұрышты проекциялау есебі  
\бұрышты тең үшбөлікке бөлу/ 
3-есеп.Дөңгелекті квадрат туралау есебі Бер:доңгелекте тең шамалас квадрат 
салу 
5.Пифагордан Евклидке дейін 300жматематика тарихында өшпес із 
қалдырған көрнекті математиктер Гиппократ,архип,эвдокс болды.Грек 
ғылымында гиппократ б.з.д. 5 ғ туралы коп мағұлматтар жоқ Дегенмен ол 
өзіне дейінгі жане озі омір сурген замандагы ғалымдардың математикалық ой 
тұжырымдарын теореманың даелдеулерін есептердің шешу жинастырып бір 
жүйеге келтірлгені белгілі Бұл математиктер Гипоркраттың «бастамалары» 
деген еңбегенде баяндалган.Бұл еңбек бізге жетпеген.Бірақ зерттеулерге 
қарағанда оның бастамалары  Евклидтің атақты еңбегі үлгілі болганы 
байкалады.  
Пифагор шакірттерінің ішінде математиканың мазмұның керемет теоретигі 
архид болған.Архид мектеп математика курсындагы жанаманың жанасу 
нүктесіне жургізілген радиусқа перпендекуляр болатынын 
тағайындайды.Эвдокс пифагордан евклидке дейінгі аралықта омір сурген ол 
бзд 4ғ кіші азияның Хиад каласында туганол тек ұлы математик емес аспан 
денелерін зерттеген ұлы астрономол тұңғыш жұлдыздар катологын жасайды. 
6.Математиканы дамытуда Зинон  Демокрит Платон Аристотель 
сиякты гректердің ұлы ойшыл философтардың еңбектерінің маңызы 
зор болды    
 
 

жүктеу/скачать 1,46 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: