Лекция 15 Практикалық сабақ 15 ожсөж -30 СӨЖ 30 Емтихан 2 Барлығы 90 сағат

Осыдан Виет теоремасы бойынша 
0
30
1
1
50
6
2
=
′′
+
′′
−
t
t
 квадрат теңдеуі шығады. Оны 
формула бойынша шешеміз. Олай болса, 
50
3
10
0
,
50
3
′′
=
′′
+
=
′′
−
=
v
x
v
u
( теріс сандар бізге 
белгісіз). Формулалар  мен амалдар белгісі қолданылмағанын ескертеміз. Барлық 
жазулар сөзбен айтылады. 
3. Екі квадраттың ауданының қосындысы 
12
5
25
кв.бір тең. Бірінші квадраттың 
қабырғасының ұзындығы екінші квадраттың қабырғасының  ұзындығының 2/3 
бөлігінен 58-ке артық.. Əрбір квадраттың қабырғасын табыңыз. 
4. Тереңдігі қанша шынтақ болса ұзындығы сонша гар болатын ор қазылған(1гар -12 
шынтақ), ал ені 0’’20гар. Котлованның табанының ауданы мен  көлемінің қосындысы 
1’’10-ға тең. Оның ұзындығын табыңдар. Котлованның ұзындығын, енін жəне 
тереңдігін сəйкесінше x, y, z деп белгілейік. Есепті шешу, мына жүйені шешуге келеді. 





′′
=
′′
=
+
=
20
0
10
1
12
y
xy
xyz
x
z
 
5. 
45
5
1
6
2
′
′′
 күмісті бес ағайындыға əр қайсысы өзінен кейінгі інісінің күмісінен 1/5-ге 
көп күміс алатындай етіп бөлу  керек. 
6. Бірлік квадратты 12  конгруэнтті үшбұрышқа  жəне  4 конгруэнтті  квадратқа 
бөліңдер. Үшбұрыштың ауданын, жəне квадраттың ауданын табыңдар. 
7. Тік бұрышты АВС үшбұрышын DЕ║ВС болатын DЕ түзуімен ВСЕD трапециясына 
(ауданы S
1
 болатын) жəне АDЕ үшбұрышын (ауданы S
2
 болатын) бөлінген. Егер ВС-
30,S
1
-S
2
=42,y
2
-y
1
=20 болса , ЕС=y
1
,AE=y
2
,DE=x,S
1 
жəне S
2 
 есептеу керек. 
 
Самостық Пифагор (571/570-497/996) 
1. Бірден басталатын тақ сандар тізбегінің алғашқы мүшелерінің кез-келген 
қосындысы дəл квадрат. 
2.Бірден өзге кез-келген тақ сан екі санның квадраты айырымы болады. 
3. 
2
2
2
z
y
x
=
+
теңдеуінің шешімі болатындай 
z
y
x
.
,
 сандарына сəйкес нүктелердің 
шексіз жиыны табылады. 
4. Квадраттың қабырғасы мен диогоналы өлшемдес емес. 
 
Атақты ежелгі үш есеп 
1. Шеңбердің квадратурасы. Сызғыш пен циркуль көмегімен берілген дөңгелекке тең 
шамалы квадратты, саны шекті операцияны қолданып тұрғызу. 
2. Делостық есеп ( кубты екі еселеу). Сызғыш пен циркуль көмегімен берілген кубтың 
көлемінен екі есе болатындай кубтың қырын, саны шекті операцияны қолданып 
тұрғызу. 
3. Бұрыштың трисекциясы. Сызғыш пен циркуль көмегімен саны шекті 
операцияларды қолданып, кез- келген бұрышты өзара конгруэнтті үш бұрышқа бөлу 
керек. 
Гиппократ Хиостық 
1. Гиппократ орамжапырақ аудандарының қосындысы- ( Тікбұрышты үшбұрыштың 
гипотенузасы диаметрі болатындай, жарты дөңгелектің доғасы мен жəне осы 
үшбұрыш катеттері диаметрлері болатын жарты дөңгелектердің доғаларымен 

шектелген фигуралардың аудандарының қосындысы) берілген тікбұрышты 
үшбұрыштың ауданына тең шамалы. 
2. 
,
2
:
:
:
a
y
y
x
x
a
=
=
 яғни 
a
 жəне 
a
2
 ұзындықтарының орта пропарционалы 
болатындай етіп, х жəне у кесінділерін тұрғызу керек.Егер  
a
 берілген кубтың 
қабырғасы деп алсақ, онда х- берілген кубтың көлемінен екі есе үлкен куб қабырғасы 
болады. 
3. Дидонье есебі. Миф бойынша Тир патшасының дидонье атты қызы ( б.з.б 890ж) 
өзімен бірге асыл тастар салынған қобдишаны алып қашып кетеді. Африканың 
Шығыс жағалауын Кубий патшасы ярб оған жердің үлесін сатуға келісім береді жəне 
оған мынадай шарт қояды. Жер көлемі өгіз терісінің көлемінен аспау керек екенін 
айтады. Дидонье өгіз терісін алып, оны жұқа сақиналарға бөліп, бір- бірімен 
жалғастырып, осы жіп ұзындығымен жер көлемінің максималын шектейді. Сонда 
Дидонье қандай фигураны шектеді? 
4. 
1
=
АВ
 қашықтықты өту үшін, дене алдымен оның 
2
1
, сосын 
4
1
 т.с.с бөлшектердің 
жүріп өтуі тиіс, яғни ол орнынан қозғалмайды, себебі оның жүріп өтетін соңғы 
кесіндісі табылмайды, сондықтан қозғалыс мүмкін емес. 
5. Тасбақа мен ахилес. Егер тасбақа Ахилестен белгілі бір қашықтықта болса, онда 
оны желаяқ Ахилес қуып жете алмайды. 
Эллидиялық Гиппит. 
6. Квадратисаның негізгі қасиетін пайдалана отырып, кез-келген бұрыштың 
трисекциясын салу. 
7. Гиерон патшасының алтын мен күмістен жасалған тəжі 10кг.Суда оның 
салмағытаза салмағының 99,55%-ін құрайды. 1 кг алтын суда 9/77кг, ал күміс өз 
салмағының 
12
11
9
%-ін жоғалтатынын біле отырып, шеңбердің жəне жасауына қанша 
алтын, қанша күміс кетіргенін есептеу керек. 
 
Ератосфен Киренский 
( б.э.д 276-194 ж ) 
1. егер 2,3,4,... натурал сандар қатарынан алғашқы 2,3,...Р
r
 жай сандарға бөлінетіндерін 
сызсақ, онда сызылмаған 1-ші (ең кіші) сан жай болады. 
2. Егер 
m
-ге дейінгі барлық жай сандарға бөлінетін барлық сандарды сызып 
тастасақ, яғни 
1
+
≤
≤
r
r
P
m
P
 болатындай 
r
 таңдасақ, онда қалған сандар 
m
P
m
≤
<
 
теңсіздігін қанағаттандыратын сандар барлық жай сандар жиынын құрайды. 
3. АВ жəне СД рейкаларының арасында біртекті материалдан жасалған 3 тең 
тікбұрышты үшбұрыш модельдері орналастырылған. Біріншісі- бекітілген, екіншісі 
жəне үшіншісі- жылжымалы, егер К-ВД-ның ортасы, ал екінші, үшінші үшбұрыштар 
қабырғаларының қиылысу нүктелері N жəне L АК түзуінде жататындай орналасқан, 
онда қыры ML болатын кубтың көлемі қыры ДК болатын кубтың көлемінен 2 есе 
үлкен. 
AC
NO
NO
LM
LM
KD
:
:
:
=
=
 жəне AC=2KP қатынастарынан біз КД жəне КД 
кесінділер арасында 2 орта пропорционалды кесінділер механикалық түрде 
тұрғыздық, ал бұл классикалық емес шешулерінің бірі. 
 
Аполлоний Пергский 
( б.э.д 260-270ж өл) 

1. 3 фигура берілген, оның əрқайсысы нүкте, түзу немесе шеңбер болуы мүмкін. 
Берілген əрбір нүктелер арқылы өтетін жəне берілген əрбір түзулерді немесе берілген 
əрбір шеңберлерді жанайтын шеңбер салу керек. 
2. егер a,b,c үшбұрыш қабырғаларының ұзындығы, ал Р оның жарты периметрі болса, 
онда берілген үшбұрыш ауданы мынаған тең: 
(
)(
)(
)
c
p
b
p
a
p
p
S
−
−
−
=
. 
3. Егер С
1
А
1
 АВС үшбұрыш қабырғаларын қиса, немесе оның созындылары түзуді 
В
1
,С
1
,Д
1
 нүктелерінде қиса, онда мына қатынас дұрыс болады: 
1
1
1
1
1
1
1
1
=
∗
=
B
C
AC
A
B
CB
C
A
A
B
  
4.Шеңберге іштей сызылған төртбұрыш диагональдарының көбейтіндісі қарама-қарсы 
қабырғаларының көбейтіндісінің қосындысына тең. 
5. Ежелгі Рим есебі. Бір адам өлерінде былай деп өсет қалдырған: егер əйелім ұл 
тапса, оған мүлкімнің 
3
2
 -сі, ал əйеліме қалған бөлігі берілсін, егер қыз туса, онда оған 
3
1
-і, ал əйеліме 
3
2
-сі берілсін. Егіз бала-қыз жəне ұл туды. Мүлкі қалай бөлінуі керек. 
Диофант 
(ІІІғ) 
1. 16- мысалда берілген квадратты екі квадратқа бөлу. 
2. Екі теріс емес санды табу керек, сонда олардың айырмасы олардың квадраттарының 
айырмасынан 6 есе артық болатын болсын. 
3. Үш санның жəне əрбір екі санның қосындысы кезкелген бір санның квадраты 
болатын үш санды табыңыз. 
4. Диофант «Арифметикасындағы» мына теңбе- теңдікті тексеру керек: 
  
(
)(
)
(
) (
)
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
60
900
2520
60
30
60
30
60
900
144
x
x
x
x
x
x
bc
ad
bd
ac
d
c
b
a
−
+
+
=
−
+






−
+
−
−
+
=
+
+
  
5. Диафанттың қабіріндегі құлптаста былай деп жазылған: «Диафанттың балалық 
шағы- өмірінің 
6
1
-і, жастық шағы 
12
1
-і. Ал баласыз өткен ерлі- зайыпты өмірінің 
7
1
 
жəне тағы 5 жыл өткенде ұлды болды. Əкесінің жарты жасына келгенде ұлы дүние 
салды, бұдан кейін Диафант тек 4 жыл ғана өмір сүрді». Диафант неше жыл өмір 
сүрген? 
6. Молда мен есек боранды күні жол бойында келе жатыр. Бір уақытта: «жүгім ауыр» 
деп есек жалынышты үн қатты. Сонда молда: «Егер сен маған бір мераңды берсең, 
мен сенен екі есе ауыр көтерер едім, егер сен менен бір мера алсаң, онда екеуміздің 
жүгіміздің ауырлығы теңесер еді»,- деді. О, геометр, осы екеуінің əрқайсысы қанша 
көтеріп еле жатқандығын есептеп бер. 
7. Пифагор шəкірттері. 
  Пифагордан « үйіңіздегі шəкірттеріңіздің саны қанша?» деп сұрағанда, ол былай деп 
жауап берді: «Поликрат, мен саған шəкірттерімнің санын жасырмай айтайын. 
Олардың жартысы математикамен айналысып жатыр, 
4
1
-і табиғатты зерттеуде, 
−
7
1
і 
мəңгілік өмірдің құпиясын ашамыз деп ойланып отыр. Соларға 3 əйел қоссаң 
шəкіртімнің санын аларсың». 

 
Индия 
Апастамба   (V-IV б.э.д) 
1. Теңдікті дəлелдеңіз: 
а)  
(
)
324
3
10
3
8
2
1
3
12
3
30
3
24
2
1
3
36
=
+
⋅
⋅
=






+
⋅
 
 
б) 
34
4
3
1
4
3
1
3
1
1
2
⋅
⋅
−
⋅
+
+
≈
 
в) 
52
5
3
1
5
3
1
3
2
1
3
⋅
⋅
−
⋅
+
+
≈
 
 
2.(  Бахшамит  жазбаларынан).  Төрт  садақа  берушінің  екіншісі  біріншісінен  екі  есе, 
үшіншісінен  үш  есе,  ал  төртіншісінен  төрт  есе  артық  садақа  береді.  Барлығы  132 
болса, біріншісі қанша берді? 
 
Ариапхата I 
3.
π
-ді есептеу ережесі.100-ге 4-қосып, оны 8-ге көбейт жəне соңғы нəтижеге 6200- ді 
қос. Алынған сан диаметрі 20000 болатын шеңбердің ұзындығының жуық мəні қандай 
дəлдікпен табылады? 
4.  Екі  жарық  бір  –  бірінен 
α
  қашықтықта  орналасқан  жəне  бір  –  бірінен 
2
1
,
ϑ
ϑ
 
жылдамдықтарымен қозғап келеді. Олар қанша уақыттан соң кездеседі? 
 
Магавира 
1.  Əтештердің  төбелесі  кезінде  көрерменнің  бірі  əтештің  қожайынымен  келісті. 
Біріншісіне  ол:  «Егер  сенің  əтешің  жеңсе,  ұтысты  маған  бересің,  егер  жеңілсе,  онда 
мен  ұтыстың  2/3  бөлігін  саған  беремін»  Екінші  қатысушыға:  «Егер  сенің  əтешің 
жеңсе, ұтыс менікі болады, егер жеңілсе, онда мен ұтыстың ¾ бөлігін саған беремін.» 
Екі жағдайда да көрермен 12 тиын ұтады. Əрбір қожайын жеңісте қанша ақша алады? 
2. Анар, манго жəне орман алмасының сəйкесінше үшеуі  2 тиынға, бесеуі 3 тиынға, 
жетеуі  5  тиынға  сатылды.  Орман  алмасынан  манго  жемісі  3  есе,  анар  жемісі  6  есе 
артық болса, 76 тиынға қанша жеміс алуға болады? 
3. Түйе үйірінің ¼ бөлігін орманда, 15-ін өзен жағасында, ал барлық түйе санының екі 
еселенген квадрат түбірі болатындай қалғандары тау етегінде жайылып жүр. Барлығы 
қанша түйе бар? 
 
Бхаскара П
 (1114-1185) 
1. Ормандағы маймылдар екі топқа бөлініп, олардың санының квадратының сегізден 
бір  бөлігі  қуанып  секірді.  12-сі  күн  жылуынан  қызықтап  қарсы  алды.  Ал,  жас  жігіт, 
сен айтшы, орманда неше маймыл болды? 
 
2. Теңдікті дəлелде:  
       а) 
3
2
24
5
+
=
+
 

       б) 
3
2
3
3
5
7
450
54
9
+
=
+
+
+
+
 
        в) 
5
3
2
60
40
24
10
+
+
=
+
+
+
 
3. Элементар əдістер арқылы теңдеуді шеш: 
    
9999
400
2
2
4
=
−
−
x
x
x
 
 
Нарайана
 (XIVғ) 
1.  Сиыр  əр  жыл  сайын  бұзаулайды.  Əр  бұзау  өзі  дүниеге  келгеннен  кейін  төртінші 
жылдың басында өзі де бұзаулайды. 20 жылдан кейін сиырлар мен бұзаулардың саны 
қанша болды? 
 
Рамануджан Сринизава Айенгар    
(22.12.1887-26.04.1920) 
1. Дəлелде:  
а) 
3
....
1
4
1
3
1
2
1
=
+
+
+
+
 
б) 
3
3
3
3 3
9
4
9
2
9
1
1
2
+
−
=
+
 
Қытай. 
Есептер. «Алты өлшемді» трактатынан. 
1.  Пифагор  теоремасының  дəлелі:  тікбұрышты  үшбұрыштың  а  жəне  в  катеттерінің 
қосындысына  салынған  квадрат,  басқа  кейбір  фигуралардың  аудандарының 
қосындысы ретінде қарастырылып, сызбадағыша дəлелденеді. 
1-сурет 
(
)
,
2
4
)
(
2
2
2
c
ab
b
a
ab
b
a
+
=
−
+
=
+
 онда 
2
2
2
2
2
c
ab
b
ab
a
+
=
+
+
, бұдан шығады 
2
2
2
c
b
a
=
+
 
2. Қонақ күніне 300м жол жүреді. Ол өзінің болған үйінде киімін ұмытым кетеді. Үй 
иесі  1/3  күннен  соң,  қонақтың  киімін  тауып  алып,  қонақты  қуып  жетуге  шығады. 
Иесіне киімін берісімен аттың басын кері бұрады. ¾ күннен кейін ол үйінде болады. 
Ол сағат нешіде үйінде болады? Ол атпен күніне қанша жол жүреді? 
3. Бірнеше адам бір уақытта қой сатып алды. Егер əрбір адам 5 монеттен жинаса, онда 
қойдың бағасына 45 монет жетпейді. Егер 7 монеттен қосса, онда 3 монет жетпейді. 
Неше адам жəне қойдың бағасы қанша? 
4.  Бес  канавалы  су    қоймасы  бар.  Егер  олардың  біріншісін  ашса,  қойма  1/3  күнде 
толады. Егер барлық канаваларды ашса, қойма неше күнде толады? 
5.  Жылқы  мен  бие  Чананы  мен  Цы  патшалығына  жүріп  келеді.  Олардың  ара 
қашықтығы 3000 метр. Бірінші күні жылқы 193 мер шауып өтті, ал келесі əрбір күні 

13-ке артық шауып өтті. Бие алғашқы күні 97 мер шауып өтті де, əр келесі əрбір күні 
½  -ге  кем  жүрді.  Жылқы  Цы  патшалығына  бірінші  болып  жетті.  Кері  қайтып  келе 
жатқанда  белгілі  бір  арақашықтықта  биені  кездестірді.  Қанша  күннен  кейін  олар 
кездесті жəне осы кезге дейін олар қанша жер жүріп өтті? 
6.  Бес  жанұяның  ортақ  құдығы  бар.  Суды  жоғары  көтеру  үшін,  А  жанұясының  2 
арқанын  Б  жанұясының  1  арқанын,  Б  жанұясының  қанша  арқанын  жəне  В 
жанұясының 1 арқанын; В жанұясының 4 арқанын жəне Г жанұясының 1 арқаның; Г 
жанұясының  5  арқанын  жəне  Д  жанұясының  1  арқанын;    Д  жанұясының  6  арқанын 
жəне А жанұясының 1 арқанын қолдану керек. Құдықтың тереңдігі қандай, жəне əрбір 
жанұяның арқанының ұзындығы қанша? 
7.  А  жəне  Б  екі  адамында  қандай  да  бір  мөлшерде  монеталар  бар.  Оларды  А-ның 
монетасына  Б-ның монетасының жарты  мөлшерін  қосқанда,  ал  Б-ның  монетасын  А-
ның монетасын 2/3-ге толықтырғанда олардың жалпы мөлшері 48 монет болатындай 
етіп, бөлу керек. Əрбір адам қанша монеттан алады?  
8. 3-ке бөлгенде 2 қалдық қалатын, 5-ке бөлгенде 3 қалдық қалатын санды табу керек 
9. Қораз 5 монет тұрады. Бір тауық 3 монет, үш балапан 1 монет тұрады. 100 монетке 
жүз  құс  сатып  алынды.  Қанша  қораз,  қанша  тауық  жəне  балапандар  бөлек  сатып 
алынды? 
  
                   
                   
Абу Али – Ибн – Сина (Авиценна)
 (980-18.06.1037) 
1. Егер санды 9-ға бөлгенде қалдығы 1 немесе 8 болса, онда бұл санның квадратын 9-
ға бөлгенде қалдығы 4 болады. 
Егер  санды  9-ға  бөлгенде  қалдығы  2  не  7  болса,  онда  бұл  санның  квадратын  9-ға 
бөлгенде қалдығы 4 болады. 
Егер  санды  9-ға  бөлгенде  қалдықтары  1,  4  не  7  болса,  онда  ол  санның  кубын  9-ға 
бөлгенде қалдығы 1 болады. 
Абу Бахр Мухамед ибн Ал – Хасан Ал – Караджи (X-XIст) 
1. 
3
5
7
cx
x
x
−
=
 теңдеуін шеш. 
2. 







=
=
=
+
10
2
2
2
2
xy
y
xz
z
y
x
 теңдеулер жүйесін шеш. 
3. 
4
1
1
1
2
1
2
=
+
x
x
 теңдеуін шеш. 
Джемшид Ибн-Мамуд-Каши 
( 1430ж өл) 
1. Бақшада бірінші адам – бір анар ( гранат), екінші адам екі анар, ал келесілері 
олардан бір анарға артық жұлып алады. Одан кейін анар жинағандар өзара тең бөлісіп 
алғанда əрбіреуіне алты анардан келген. Қанша адам анар жинайды? 
2. Екі жаяу адам бір уақытта дөңгелек көлдің жағасынан бір нүктеден қарама- қарсы 
бағытта шықты. Біріншісі күніне 10 мильден жүрді, ал екіншісі бір күнде 1 миль, ал 
қалған əрбір келесі күнде 1 мильге артық жүрді. Екеуі кездескенде біріншісі 
шеңбердің 
6
1
 -ін, ал екіншісі 
6
5
-ін жүріп өткені белгілі болды. Көлдің жағасының 
ұзындығы қанша жəне жаяулар жолда қанша уақыт болды? 

3. Онды бірінші бөлігінің квадраты мен екінші бөлігінің қосындысы дəл квадрат 
болатын екі санға бөлу керек. 
4. Егер санға 
2
1
3
-ді қосса немесе азайтса, онда пайда болған қосынды мен азайтынды 
дəл квадраттар болады. Сол санды табу керек. 
5. Суда вертикаль тұрған таяқша судан үш шынтақ шығып тұрды. Жел соққанда таяқ 
төбесі су бетінде, ал табаны өз орнында қалып көлбеді. Егер таяқтың төбесінің 
бастапқы орны мен су бетіндегі оның ара қашықтығы бес шынтақ болса, таяқтың 
ұзындығын табу керек. 
Жауабы: 
3
2
5
 
Ал-Хорезми-Абу-Абдаллах-Мұхамед ибн Мұса 
(783-850ж) 
1. Теңдеулердің алты түрі: 
2
2
2
2
2
.
6
.
5
.
4
.
3
.
2
.
1
ax
c
bb
c
aa
bx
c
aa
c
bx
aa
c
aa
bx
aa
=
+
=
=
+
=
+
=
=
 
2. Кез келген тікбұрышты үшбұрыштың əрбір қысқа қабырғасын өзіне көбейтсе, онда 
көбейтінділердің қосындысы үлкен қабырғасының өз-өзіне көбейтіндісіне тең. 
3. Егер дөңгелектің диаметрін өзіне көбейтіп, одан диаметрінің 
7
1
 бөлігін, жəне осы 
бөліктің жартысын алып тастаса, оның ауданы шығады. 
Орта ғасырдағы Европа. 
Алкуни 
(735-804)
 
1. Ит өзінен 150 фут қашықтықтағы қоянды қуып келеді, жəне ит əрбір секіргенде 9 
фут, ал қоян 7 фут қашықтықты алады. Ит қоянды қуып жету үшін неше рет секіреді? 
2. 100 өлшем астықты 10 адамға əрбір ер адамға 3 өлшем, əйел адамға 2 өлшем, ал 
балаларға ½ өлшемнен берілген. Сонда қанша ер адам, əйел адам жəне балалар бар? 
3. Бір адам базардан 30 монетаға 30 құс сатып алды. 3 торғайға 1 монета, ал 2 тауыққа 
да 1 монета жəне əрбір көгершінге 2 монетадан төлеген. Əрбір түрінен қанша құс 
сатып алынды? 
4. Егер бір қояндар жұбы əрбір ай сайын 1 қояндар жұбын туса жəне əрбір туған жұп 
бір айдан кейін туатын болса, онда 1 жылда ешқандай қоян өлмейді деп есептеп, 
қанша қоян болады? 
5. Егер 0,1,1,2,3,5,8,13,21,...6 Фибоначчи тізбегі берілсе, мұндағы 
1
,
0
1
0
=
= u
u
  жəне 
2
1
−
−
+
=
n
n
n
u
u
u
 борлса, онда 















 −
−







 +
=
n
n
n
u
2
5
1
2
5
1
3
1
. 
6. Квадраты өзіне тең болатын 
20
1
 санның 
20
19
-ға тең болатын санды тап. 
7. Теңдеуді шеш: 
      а) 
20
3
4
3
2
=
−
+
х
х
х
 

      б) 
4
3
4
3
2
2
+
=
−
+
х
х
х
х
 
      с) 
10
5
2
2
=
+
+
+
х
х
х
х
 
8. Үш адамның қандай да бір мөлшерде ақшасы бар. Біріншісінің ақшасы барлық 
ақшаның жартысын, екіншісінің үштен бірін, ал үшіншісінікі алтыдан бірін құрайды. 
Ақшалардың бір бөлігін сақтау үшін əрбіреуі ақшадан мүмкіндігінше алады. Одан 
кейін біріншісі сақтауға алғанының жартысын, екіншісі- үштен бірін, үшіншісі 
алтыдан бірін береді.Кейбір уақыттан кейін олар сол ақшаларды алады, сонда 
əрбіреуінде сақталған барлық ақшаның 1/3-ін құрайды.Əрбіреуінде қанша ақшадан 
болады? 
9. 
2
2
2
2
2
2
6
,
z
y
x
z
y
x
y
x
z
y
x
x
z
y
x
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
 0осындылары дəл квадрат 
болатындай 
z
y
x
,
,
 сандарын тап. 
 
Николь Орем 
(1323-1382 
1. 
4
7
...
32
3
8
1
16
3
4
1
8
3
2
1
=
+
+
+
+
+
+
 теңдігін дəлелдеңіз. 
2. 
...
1
...
4
1
3
1
2
1
1
+
+
+
+
+
+
n
 гармониялық қатарының жинақтылығын дəлелде. 
3. Шексіз үшбұрыштар жиынынан құралған фигураның ауданын табу керек, егер 
тіктөртбұрыштың көлденең орналасқан қабырғаларының ұзындығы 4:1 қатынасында 
азайтса, ал тік қабырғаларының ұзындығы 1:2 қатынасында көбейтсе. 
Лука Пачоли 
( 1445-1514) 
4. Теңдеуді элементар тəсілмен шығар: 
                                  
81601
1
2
2
2
0
81600
2
3
2
2
2
3
4
2
3
2
=
+
+
+
+
+
=
−
+
+
+
х
х
х
х
х
х
х
х
х
 
5. Рационал бөлшек түріне келтір. 
                                      
8
7
6
10
+
+
 
6. Үшбұрышқа іштей сызылған дөңгелектің радиусы 4 сызықтық бірлікке тең. Жанасу 
нүктесі үшбұрыштың бір қабырғасын ұзындықтары 6 жəне 8 бірлік болатын 
бөлшектерге бөледі. Үшбұрыштың басқа екі қабырғасын табыңыз. 
Леонардо да-Винчи 
(1452-1519) 
1. Егер екі конгруэнтті шеңберлер қилысса, онда қиылысу нүктелері арқылы өтетін 
түзу шеңбердің центрінен бірдей қашықтықта жатқан нүктелер жиыны болып 
табылады. 
Меохаэль Штифель 
(1486-1567) 
2. Теңсіздікті тексеріңіз. 
                    
3
3
3
64
4096
18
16
+
=
+
 
3. Теңдеуді шешіңіз. 
                   
0
648
18
41472
216
2
=
−
−
+
х
х
 
Бұл математика тарихындағы бірінші оң жағында нолі бар теңдеудің мысалы. 
НиколоТарталья 
(1500-1557) 
1. 
АВ
 берілген кесіндіде сызғыш пен циркуль көмегімен, тең үшбұрышты 
тұрғызыңыз. 
АВ
 тең емес. 

2. Біреуде 24 фунт қымбат май бар. Ол адамды сонымен қатар сыйымдылығы 13,11 
жəне 5 фунт болатын ыдыс бар. Осы ыдыстарды қолданып майды қалайша тең үш 
бөлікке бөлуге болады? 
 
Джиралома Кардало 
(1501-1576) 
1. Теңдеуді элементар тəсілмен шығар: 
                        
1
2
2
13
3
4
2
+
+
+
=
х
х
х
х
 
Рафаэль Бомбелли
(1526-1573) 
1. Мынаны дəлелдеу керек: 
                
3
3
1
121
2
121
2
=
−
+
+
−
+
 
2. Теңдеуді шешіңіз: 
                
4
15
3
+
=
х
х
 
3. Өрнекті ықшамдаңыз: 
            
n
2
cos
...
8
cos
4
cos
2
cos
α
α
α
α
 
2
π
 үшін Виет формуласын дəлелдеңіз. 
     
2
...
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
:
1
lim
π
=










+
+
+
∞
→
n
 
4. Егер үшмүшелі теңдеу берілсе 
                  
(
)
(
)
abc
x
bc
ac
ab
x
c
b
a
x
=
+
+
+
+
+
−
2
3
, 
Онда 
c
b
a
,
,
 осы теңдеудің түбірлері болады, мына теңдеу үшін тексеріңіз. 
                
0
16
4
4
;
0
6
11
6
2
3
2
3
=
+
−
+
=
−
+
−
x
x
x
x
x
x
 
5. Теңдеуді шешіңіз: 
                  
0
=
−
−
d
ac
ax
b
ax
 
Жаңа дəуірдегі Европа. 
Йоганн Кеплер 
(27.ХІІ.1571-15.ХІ.1630) 
1. Теңдеуді шешіңіз: 
               
0
5
5
5
3
=
+
−
х
х
х
 
Гаспар Клоуд Баше де Медриан 
(9.Х.1587-25.ІІ.1638) 
1. Солдаттар ротасы өзеннің екінші жағына өту керек, бірақ көпір сынған ал брод жоқ. 
Өзен жағасында екі бала челн ойнап жүр екен. Бұл челнға бір үлкен адам немесе екі 
кішкентай бала сыяды. Осы челнның көмегімен рота екінші жағаға қалай өтеді? 
2. Бір цифрдан тұратын төрт сан ойлаңыз. Бірінші санды екіге көбейтіп, бес қоыңыз. 
Қосындыны беске көбейтіп, онды жəне екінші санды қосыңыз.Шыққан қосындыны 
онға көбейтіп, төртінші санды қосыңыз да шыққан нəтижеден 3500-ді алыңыз. Сонда 
айырма ойланған сандармен жазылған төрт орынды сан болады. 
Рене Декарт 
(31.ІІІ.1596-11.ІІ.1650) 
1. Теңдеуді шешіңіз: 
а) 
0
8
8
2
3
=
+
−
−
у
у
у
 
б) 
0
120
106
19
4
2
3
4
=
−
+
−
−
х
х
х
х
 
Пьер Ферма 
(1601-12.І1.1665) 

1. Егер S- шексіз кемімелі 
( )
n
a
 геометриялық прогрессияның қосындысы болса, онда 
(
)
2
1
1
:
:
a
a
a
S
S
=
−
 
2. АВС сүйір бұрышты үшбұрышында оның А,В жəне С төбелеріне дейінгі 
қашықтықтарының қосындысы минималь болатындай Р нүктесін табыңыз. Осы Р 
нүктесі Ферма-Торчелли нүктесі деп аталады. 
3. 
N
n∈
∀
 үшін мына теңдік орындалады: 
           
(
)
(
) (
)
(
)
2
2
2
2
4
4
4
...
2
1
2
1
2
4
...
2
1
5
n
n
n
n
n
+
+
+
−






+
+
=
+
+
+
 
 
Джон Валлис 
(23. ХІ.1616-28.Х.1703). 
1. 
n
n
1
1
1
<
+
 белгілі, сондықтан 
...
2
1
1
1
1
1
2
1
3
1
<
−
<
−
<
<
<
Бұдан 
1
1
0
1
−
<
 немесе 
1
−
<
∞
 
Блез Паскаль 
(19.ҮІ.1623-19.ҮІІІ.1662) 
1.
 
Паскаль үшбұрышының əрбір жолдағы сандар қатарының қосындысын табу 
керек. 
2.
 
Егер жұп орындағы сандарды минус таңбасымен алсақ, бұл қосынды нешеге тең 
болады. 
3. 1,3,6,10,15,21;1,410,20,35,...т.с.с Паскал үшбұрышының сан қатарларын даңғыл 
делік. n даңғылындағы m мүшелерінің қосындысын қалай табады? 
4. Паскаль үшбұрышындағы Фибонначчи сандар қатарын табу керек, яғни 
(
)
2
1
+
n
n
түріндегі (үшбұрышты) қатарды, 
(
)(
)
2
2
1
+
+ n
n
n
түріндегі (пирамидальды) 
қатарды. 
 
5.Кавалер де Мере сүйек ойынымен баюды көздеді. Ол ойын сүйегін 4 рет 
лақтырғанда ең болмағанда 1 рет 6 саны көрінеді деді. Егер олай болмаса  
(6саны 4 рет лақтырғанда көрінбесе),оның қарсыласы жеңеді. Көзі жету үшін ол 
Паскальға жеңу ықтималдығын есептетті. Ықтималдық нешеге тең болды? 
 
6.Екі бірдей ойыншы тең болатын жағдай жоқ ойын ойнайды. Олар тең ставка жасап, 
егер кім де кім 10 партияны бұрын жеңіп алса, сол жеңеді деп келісті, яғни барлық 
ақшаны алады деді. Ойын 9:8 есебімен аяқталады да, ойын жалғаспады. Олар ақшаны 
қалайша бөліп алды? 
 
7.Барлық циркульмен орындалатын сызулар /ч/ =1 болатын шеңбер арқылы 
жүргізіледі. 
(0,/0А/)
шеңберін (мұнд /0А/=ч) жəне оған с нүктесінде жанама жүргіземіз. С нүктесі 
арқылы шеңбер Д нүктесінде қиятын доға саламыз. 

жүктеу/скачать 1,46 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: