Лекция 15 Практикалық сабақ 15 ожсөж -30 СӨЖ 30 Емтихан 2 Барлығы 90 сағат

1.  Александрит ғылыми мектебі: Евклид, Аристарх 
2. 
Евклид бастамалары 
3. 
Архтмед жəне математика 
4. 
Апаллони 
5. 
Эротосфен жəне Эпигондар 
 
1. Грек тілі ғылыми ортақ тіл болып қалыптасады. Ғалымдар шыққан жеріне, 
нəсіліне  
қарамай ғылыми трактаттарын осы грек тілінде жазатын болды. Бұл біртұтас 
ғылым тарихта эллинизм немесе эллиндік ғылым деп аталады.(Эллиндер 
гректердің көне аты)  Сол кезде мəдени ең ірі орталық  Мысыр жеріндегі 
Ескендір патша іргесін қалаған оның атымен аталатын Александрия шахары 
болды. Египет патшалығындағы Александрия аса үлкен оқу орны музитонды 
ұйымдастырады. Онда аса бай кітапхана жəне үлкен абсерватория болды. 
Александрия кітапханасыдағы жинақталған қолжазбалар қоры 70000 томға 
дейін жетеді. Олардың көпшілігін Аристотель жинастырған болатын. 
Александрияда ғылыми мектеп ашылады. Математика дамытылып жаңа 
сапаға көшеді. Александриялық ұлы математиктердің ұлы көшбастаушысы 
Евклид еді. Евклид математика, физика, астрономия, музыка ғылымдары 
бойынша көптеген еңбектер жазған. Солардың ішінде атақты «Бастамалар», 
«Оптика», т.б еңбектері бізге келіп жетті. Евклидті бір жағынан Александрия 
математиктерінің мектебінің бастаушысы десек, 2-ші жағынан оны Ежелгі 
Грек математиктерінің соңғы өкілі деп атайды. Өйткені оның  
математикадағы жетістіктері өзіне дейінгі грек математиктерінің 300 жылға 
жуық даму нəтижесі, қорытындысы болып табылады. 
2.      Евклидтің «Бастамалары» 2 мың жылдан аса уақыт математиктер қолынан 
түспес шығарма болды. Осы еңбекте жасаған геометрия жүйесі барлық 
мектептерде əлі күнге дейін сол қалпында тек аздап өзгертіліп, оқытылып 
келеді. «Бастамалар» мазмұны тек элементар геометрияны баяндаумен 
шектелмейді, бұл еңбекте Евклидке дейінгі Фалес, Пифагор, Демокрит, 
Гиппократ, Архит, Тетет, Эвдокс, Аристотель сияқты ежелгі грек 
математиктері ойлап тапқан бастапқы математикалық жетістіктер 
жинақталған. Ол өзі ашқан жай сандар туралы Евклид алгоритмі, Евклид 
теоремасы, т.б. Жаңалықтары аз емес. Евклид «бастамалары» 13 кітаптан 
тұрады. «Бастамаларда» қамтылатын мəселелер түзу сызықты фигуралар 
планиметриясы, дөңгелектер жəне олардың хордалары мен жанамалары 
туралы ілім, дұрыс көпжақтарды салу, қатынастар теориясы, Астрономия 
мəселелері. Евклид «бастамалары» 1-ші кітабын анықтамалар мен 
аксиомалардан бастаған.Анықтамасы: «Нүкте бөлігі жоқ нəрсе», «Сызық – 
енсіз ұзындық» сияқты қысқа келеді. Оның 5 постулатын келтірейік: 
1. Кез келген нүтеден кез келген нүктеге дейін түзу сызық жүргізуге болады. 
2. Шектелген түзуді өздіксіз соза беруге болады. 
3. Центрден кез келген радиуспен шеңбер сызуға болады. 
4. Барлық тікбұрыштар өзара тең болды. 

5. Егер екі түзумен қиылысатын үшінші түзу олармен тікбұрыштан кем болатын 
іштегі тұстас бұрыштар жасайтын болса онда ол екі түзуді шексіз соза 
берсек, бұрыштар екі тікбұрыштан кем болатын жақтан кем болады. Соңғы 
плстулаттың төңірегінде үлкен дау дамайлар туады, 2000 жыл бойы 
математиктер оны басқа постулаттар мен аксиомаларға сүйеніп 
дəлелдемекші болып көп əрекеттенеді. Осы əрекеттер барысында 1970 
жылдардың басында орыстың ұлы математигі Лобачевский Евклидтік 
геометриядан басқа Евклидтік емес геометрия бар екенін ашты. Евклид 
«бастамаларының» бұдан басқа да күмəнді əлсіз əсерлері талқыға түсіп 
келеді. Соған қарамастан бастамалар күні бүгінге дейін математика жəне 
басқа ғылымдарды аксиомалық дедуктивтік тəсілмен баяндаудың тамаша 
үлгісі болып отыр. 
 
 
3.        Архимед (б.з.д 287-212) Сицилия аралының оңтүстік жағасында 
орналасқан Саракуз қаласында туған. Жастық шағы Александрияда өтеді. 
Мұнда ол көрнекті математиктерден дəріс алады. Архимедтің бізге жеткен 
еңбектері «Параболаны квадраттау», «Шар жəне цилиндр» туралы, 
спиральдар, каноидтар мен сфероидтар туралы, жазықтағы фигураның теңбе 
– теңдігі туралы, дөңгелектерді өлшеу, т.б. Архимед математик ретінде 
Евдокс пен Евклидке қосқан басты жаңалығы «Қисық сызықты фигуралар 
мен денелердің ауданы мен көлемін табу əдісі»  Бұл қазіргі математикадағы 
кейбір анықталмаған интегралдарға пара – пар келеді. Архимед қазіргі өзінің 
атымен аталатын «Архимед спираліне» арналған спиральдар туралы атты 
шығармасында жанаманы дифференциалдық əдіске сай келетін əдіспен 
тапқан. Архимед «Дөңгелекті өлшеу трактатында» шеңбер ұзындығының 
диаметрге қатынасын көрсететін санның жуық мəнін табу үшін шеңберге 
іштей жəне сырттай 96 бұрышты көпбұрыштар сызу арқылы 
3(10/71)<П<3(1/7) теңсіздігін тағайындайды. Осы айтылғандардан 
Архимедтің өз заманының озық ойлы математигі болғанын көреміз. 
Архимедтің математикалық мұралары 2000 жыл бойы ұмытылмайтын 
жаратылыстану ғылымдары мен техникаға сай дамытылып келеді. 
4.       Евклид пен Архимедтен кейінгі эллиндік математиканың данышпаны 
Апаллони болды. Ол Кіші Азияның Ферга қаласында б.з.д 200 жыл 
шамасында дүниеге келген. Ол жаз кезінде Александриядағы Евклидтің 
шəкірттерінен дəріс алған. Ол көрнекті астроном болған. Апаллонидің 
«Конустық қималар» деп аталатын негізгі еңбегі математика тарихында баға 
жетпес мұра. Мұнда «конустық қималар» деп аталатын сызықтық 
фигуралардың қасиеттері қарастырылады. Конустық қималарды зерттеу 
кубты екі еселеуге арналған есебін шешуге байланысты туған. Евдокстің 
шəкірті Минекм конусты жазықтықпен қию арқылы бірнеше қисық сызықты 
фигура шығарып олардың элементтері арасындағы математикалық 
қатынастарды қорытып шығарады. Апаллонидің конустық қималары 
шыққаннан кейін бұл еңбектің бəрі ұмыт болды. Оның бұл еңбегі 8 кітаптан 
тұрады. Апаллони ең əуелі конустық қималарды өзінше анықтады. Теңдеудің 

түрңне байланысты оларды эллипс, гипербола, парабола деп атады. 
Апаллонидің бұл еңбектерінде осы кездегі аналитакалық геометрияға 
қатысты негізгі мəселенің барлығы қамтылған деуге болады.  
5.       Александрия мектебінің тағы бір көрнекті өкілі Эротосфен (Б.З.Д 276 
ж)болды. Эротосфеннің бізге екі үлкен математикалық жетісітігі белгілі. 
Оның бірі кубты екі еселеу есебінің механикалық шешуін табуы. Екіншісі 
«Эротосфен елегі» деп аталатын əдісті ашуы. Сонымен қатар Эротосфен 
храналогия бойынша да зертеулер жүргізіп Мысырлықтардың күн парағын 
жетілдіреді. Атап айтқанда бір жылдағы 365 күнге 4 жыл сайын бір күн 
қосуды яғни 366 күннен тұратын кібісе жылды тұңғыш ұсынды. Бұл күн 
парағы Б.З.Д 238 жылдың 7 наурызынан бастап қабылданды.  Евклид, 
Архимед, Апаллонидің математикадағы еңбектері эллиндік математиканың 
биік шыңдары болып табылады. Бұлардан кейін 2 ғасырда азды көпті 
еңбектермен математикаға үлес қосқан талантты оқымыстылар аз болған 
жоқ. Бірақ бұлардың зерттеулері эллиндік сипатта болды. Яғни бұрынғыны 
толықтыру, түзету бағытында жүрді. Сондықтанда оларды «элигондар» деп 
атады.Олардың ең көрнектілері Диокл, Зенодор, Гипсикл; Теодоси болды. 
 
 
§4. Грек математикасының Римдік дəуірі. 
1.  Математикадағы жаңа бет бұрыс 
2.  Геронның практикалық геометриясы 
3.  Гректердің тригонометриясы, Минелай жəне Птоломей 
4.  Геофанттың алгебрасы 
5.  Грек математикасының ақыры. 
 
1)
 Мың жылға созылған грек математикасы тарихындағы ақырғы 3 кезең Рим 
империясының құру, орнығу, қирау дəуіріне байланысты. Біздің жыл 
санауымызға дейінгі екінші ғасырда басталған Элимдік ғылымның біртіндеп 
кері кетуі тоқырауға ұласады. Мұның негізгі себебі Римдіктерді ұзаққа 
созылған жауынгершілік соғыстардың салдары еді. осының тікелей əсерінен 
Римдіктерге бағанған Элимдік елдердің экономикалық жəне мəдени елдердің 
өмірі күрт төмендеп, дағдарысқа ұшырады. Гректердің шығармашылық 
ақыл-ойы бұрынғы дəреже беделінен айырылады. Математика тəрізді 
абстрактылы ғылымдар жұртты қызықтырудан қалады. 
 
Тек б.з. бас кезіндеРим империясы бір жола орнығып, саяси 
экономикалық жағдайы қайта түзеле бастағаннан кейін грек ғалымы 
біртіндеп жандана бастайды. Сөйтіп, грек ғылымы сүрініп барып құламай 
қайта тұрып кетеді. Бірақ заман ағымы бой көрсетіп келе жатқан жаңа өндіріс 
қатынастары практика талабының жəне басқа объективтік факторлар 
бұрынғы элимдік, классикалық бағыттар болып, мақсатқа қарай бет алады. 
Бұл өзгеріс математикада да орын алады. Б.з. І-ІІ ғ.ғ математика даму 
тарихында біраз жандану, өрлеу, жаңа бет бұрыс кезеңі орын алады. Бұл 
уақытқа дейін грек математиктерінің зерттеулері негізінен тек теориялық 
геометрияға бағындарылып кетсе. Енді математиканың қоғамдық өндіріске 

жақын, практикада қолданыс табатын салаларын өркендету қолға алына 
бастады. Дамудың жаңа бағытын бұл математиканы зерттеуде ең əуелі 
есептеу, өлшеу əдістерін жетілдіруге барынша назар аударылады. Жазық 
жəне сфералық тригонометрияның негіздері қаланады. Географияға емес, 
арифметикаға арқа сүйеген қазіргі мағынадағы алгебралық əдістері 
дамытылады. Пифагор, Евклид, Архимед, Аполоний тəріздес математика 
кемеңгерлерінің еңбектерін өңдеу, түсіндіру, жақсарту мəселесіне көп көңіл 
бөлінеді. Математиканың өткен тарихына шолу жасау əрекеті жасалады. 
2)
 «Герон атақты» грек философы авторы. Ол б.з І ғасырда өмір сүрген 
көрнекті математик. Ол Александрияда ұстаздық қызмет атқарған. Ол 
математикамен қатар физика, астрономиямен механикамен көп шұғылданған. 
Геронның математикалық шығармалары негізінен ежелгі практикалық 
математиканың энциклопедиясы болып табылады. Бізде Геронның «метрика, 
геометрия» деп аталатын трактаттары келіп жетті. «Метрика! – өлшеулер 
туралы ілім. 3 кітаптан тұрады. Геронның екінші шығармасында 
«геометрияңда» мағынасына да, мазмұны да ұқсайды. Бұнда квадрат 
теңдеулер, анықталмаған теңдеулер қарастырылады. 
3)
 Тригонометрия деген сөз үшбұрыштарды өлшеу дегенді білдіреді. 
Тригонометрия – астрономия мен геометрия ғылымдарымен тікелей 
байланысты туып қалыптасқан. Тригонометрияның кейбір бастамалары 
элементтері ежелгі Вавилонда кездеседі. гректер тригонометрияны 
астрономияның бір бөлігі ретінде қараған. Мұнда ең əуелі шар бетінде 
орналасқан үшбұрыштарды шешуге негізделген сфералық тригонометрияда 
дамытылған. Ежелгі грек оқымыстылары ең алдымен тік бұрышты 
үшбұрыштардың өлшеу мəселесін, яғни берілген үш элементі бойынша 
үшбұрыштың басқа элементтерін анықтау мəселесін қояды. 
Тригонометриялық мазмұндағы жүйелі мағынада Минелай жəне Птоломей 
еңбектерінен табамыз. Минелай б.з І ғасырында өмір сүрген астроном жəне 
математик. Ол «Сферика» деп аталатын үшбұрыш жөніндегі 3 томдық 
көлемдік еңбектің авторы. Минелайдың сонымен қатар геометрия 
элементтері, «үшбұрыш туралы» сияқты элементтерінің авторы екені араб 
жазбаларының дерегі бойынша белгілі. Минелай теориясы – үшбұрыш АВС, 
. 
 
Птоломей ежелгі геометрияның ең ұлы астрономы. Оның б.з. 120 жылынан 
бастап Александрияда өмір сүргені белгілі. Ол астрономия жөнінде жазылған 
«Алмагест» деген үлкен еңбектің авторы. Птоломей геоцентрлік жүені 
жасаушы. Бұл жүйе бойынша күн, ай жəне басқа аспан шырақтары əлем 
центрі жерді шеңбер бойымен қозғалыста болады. Птоломейдің «Алмагест» 
– і 13 кітаптан тұрады. Тригонометрия мəселелері І-ші кітапта келтірілген. 
Птоломей шеңберге іштей сызылған төртбұрыш туралы теореманы 
дəлелдейді. 

Теорема:
 дөңгелекке іштей сызылған төртбұрыштың диагональдарының 
көбейтіндісі оның Қарама – қарсы қабырғаларының көбейтіндісінің 
қосындысына тең болады. АС*ВD = AD*CD+BC*AD  
Птоломей матаматика тарихында ең Іші болып Евклидтің Параллель түзулері 
бойынша 5 постулатын дəлелдеуге тырысады. Бірақ оның дəлелінде 
логикалық қате бар. 
 
  Ол  өлшемдес  емес  кесініділердің  немесе  иррацоналдардыңиррациялық 
ұғымыныңашылды    деді.  Пифагордың  тікелей  өз  шəкірттері  тапқан  тақ 
сандардың  бедліне  нұсқан  клтірмей  қоймады,  бұл  тұрғыда  иррациоалдық 
ұғым  ашылуына  тікелей  себепші  болуы  мумкін  деген  математикалық  3 
мəселе бар. Олар:  
6.  Квадрат  қабырғасы  мен  диоганалінің  ортақ  өлшемін  табу,  музыканың 
математикалық  теорияда  кездестін  1-2-нің  геометриялық  ортасын  актава 
интегралмен  қақ  бөлу  жəне  квадратты  екіге  тең  болатын  рационалды  табу. 
Бұл  мəселелердің  қай-қайсысы  болмасын  екінің  квадрат  түбірін  табуға 
келтіреді.  Б.з.д      ғасыр  соңында  өмір  сурген  Федор  мен  Тетет   
3
, 
3
,  .  . 
.
17
,(
n
,n- квадрат емес) сияқты иррационгалдардың болатынын дəлелдеді. 
Сонымен  бүтін  сандар  немесе  олдардың  қатынастары  арқылы  бір  нүктеге  
келмейтін геометриялық шамалар өте көп екен. Олай болса “барлығыда бүтін 
сан”  деген  Пифагоршылдардың  тұжырымдамалары  қате  болды.  Мұндай 
деген шамаларға лайықты жаңа сан барма деген сұрақ туады. Өлшемдес емес 
кесінділер математикада үлкен бетбұрыс болды. Осыдан бастап арифметика 
мен  геометрия  арасындабұрынғыдай  қатынас  өзгеріп  геометрия  үстем  бола 
бастады.  Бұл  теңсіздік  математикада  2000  жылдан  астам  t  яғни  N  нақты 
сандар  ұғымы  қалыптасқанға  дейін  созылды.  Рационал  сандар  жиынына 
қарағанда  геометриялық  кесінділер  жиыны  кеңірек  болып  шықты.  Гректер 
сандар кеңейтудің орнына оларды тастап математика негізіне геометриялық 
кесінділер  алды.  Қазіргі  біздің  рационал  сандардың  орнына  өлшемдес 
кесінділердің  қатынасы  ,  ал  иррационал  сандардың  орнына  қатынастар 
теориясын  жасады.  Бұл  теория    б.з.б  4  ғасырда  өмір  сурген  Эвдокс  деген 
математиканың    Тетет  еңбектерінде  кездеседі.  Грек  математиктерінің 
еңбектерінде 1,2-ші дəрежелі бір беглісі бар теңдеуге келтірілетін есептерді 
шешу əдістері келтіріледі жəне олардың шешімдері сан арқылы көрінеді. Ал 
иррационалдардың  ашылуыбұл  əдістерді  жарамсыз  етті.  Сондықтан  грек 
математиктері енді алгебралық мазмұнды формулалармен есептерді тек қана 
біріңғай  геометрияны  пайдалана  отырып  өрнектеуге  тырысады.  Ежелгі 
гректердің мұндай алгебра математика тарихында геометриялық алгебра деп 
аталады.  
 
                                    a(b+c+d) = ac + bc + ad   
 
Гректердің  геометриялық  алгебрада  кемшіліктері  болды.  Бұл  алгебраның 
əдістері  арқылы  квадрат  теңдеудің  теріс  шешімін  табу  мүмкін  емес.  Себебі 

оларда теріс шешу деген ұғым жоқ еді. Циркуль мен сызғышты пайдаланып 
салуға  болатын  есептерге  геометриялық  алгебра    жарамсыз  болды.  Ондай 
есептің ішінде математика дамуында үлкен ықпал жасаған үш есеп бар. 
 
§5. Қытай жəне Үнді Математикасы 
1.  Ежелгі Қытай ғылым 
2.  Қытай математикасы 
3.  Ежелгі Үнді ғылымы 
4.  Үнділердің арифметикасы мен алгебрасы 
5.  Үнділердің геометриясы мен тригонометриясы 
Қытайлықтардың ғылыми мағлұматтарының бастысы олардың күнпарақ 
жасалу жөніндегі іс – əрекеттері. Қытай астрономдары аспан шырақтарының 
қозғалысын бақылап отырған. Бзд қытайлықтар Сатурнның периодын белгілі 
бір дəлдікпен есептеген. Эротосфен сияқты жердің шар тəрізді екенін 
анықтаған жəне əлемнің шексіз екенін білген. Қытайдың Ши – Шэнь деген 
астрономы ғылым тарихында 1-ші рет жұлдыздар каталогын жасаған. Онда 
800-ге тарта жұлдыздың орны көрсетілген. Ежелгі қытайлықтар аса ірі 
құрылыс жұмыстарын жүзеге асырады. Атақты Қытай қорғанын салу жəне 
Қытайдың бір шетінен 2-ші шетін қосатын ұзындығы 1700 км канал қазу 
сияқты істер жасады. Олар б.з 127 аққағаз жасауды кітап басуды меңгерген. 
Осы сияқты мəдени текгникалық жетістіктері математикалық білім дағдыны 
қажет етті. Қытай математикасы мен астрономиясы VIII – XIV ғ дейін 
біршама үздіксіз дамып келіп, сосын тоқырауға түседі. Ежелгі Қытайдан 
мирас болып қалған математикалық еңбек (9 кітаптағы математика деп 
аталады) Бұл еңбекте негізінен екі түрлі санау жүйесі болған. Иероглифтік 
жəне таяқша цифрлар. Иероглифтік жүйе сандарға амалдар қолдану үшін 
емес көбіне сандарды жазу үшін қолданды. Есептеулер таяқша цифрлар 
арқылы жіргізілді. Қытайлықтар арифметикалық есептерді есептеуіш 
тақтаның (абак немесе есепшот тəріздес)  бетінде жүргізген. Қытай 
математиктері бір белгісізі бар  теңдеулерді жəне оларды шешудің əдістерін 
білген. Қытай алгебрасындағы елеулі жетістік Фанген деп аталатын əдісті 
енгізді. Оларды бұл əдісі бойынша n белгісізі бар өзара үйлесімді n сызықтық 
теңдеулер жүйесін шешкен (n=1,2,3,4,5,...) жəне бұл əдіс қазіргі 
анықтауыштар əдісінің бастамасы. Қытай математиктерінің теңдеулер 
жүйесін шешудегі бұл əдісін дамыта келіп, жапон математигі Шэнэдке Кова 
1683 ж өз бетімен анықтауыштар жайлы ілімді құрады. Еуропада 
анықтауыштар теориясының негізін салғандар Кардано – Партелио болды. 
Бұл əдісті қытайлықтар «Тянь – Юань асқан элементі» деп атаған. Ол қазіргі 
жоғары алгебрадағы Горнер, Руффени əдісіне пара-пар. XIX ғ. Еуропа 
математиктері Горнер жəне Руффени Қытайлықтарға тəуелсіз ашқан. 
Арифметикалық есептеулер жүргізу, теңдеулер шешу алгоритмдерін жасау 
барысында Қытай математиктері математика тарихында тұңғыш рет теріс 
сандар ұғымын енгізген. Ұытайлықтардың геометрия жөніндегі ғылымдары 
өте ертеден басталады. 
7. Үнді ғылымы. Үнді елінің ең ұлы астрономдары мен математиктері 

Ариабхатта  
(б.з 5 ғ), Бхаскара Анария (б.з 1114 ж) сияқты ежелгі үнді математиктері 
математикалық ережелерді, тұжырымдарды, есептерді өлең арқылы 
поэтикалық түрде баяндаған. Мұндағы олардың көздеген мақсаты жаттап 
алуды, түсіндіруді көздеген. 
8. Үнді матемаикасының негізі арифметикадан басталады. Біздің орта 
мектепте оқып үйренетін геометрияның негізі грек математиктерінен, 
Евклидтің «бастамаларынан» басталса, арифметиканың түп төркіні үнді 
математикасының еңбектерінде жатыр. Санаудың түрлі ондық позициялық 
жүйесі үнді математиктерінің тамаша тартуы. Бұл жүйе бойынша бар боғаны 
10 таңба (0,1,2,....9) жəне олардың позициялық принципі бойынша алынған 
комбинациялары арқылы кез келген саныд оңай кескіндеуге болады. 
Француздардың ұлы математигі Лаплас үнді математиктерінің еңбектерін 
былай бағалады: «Үнділікте бізге барлық сандарды не бары 10 таңба арқылы 
өрнектеудің тамаша тауып берді. Онда əрбір таңбаның шамасымен қатар 
орналасқанда мағынасы бар. Олардың қарапайым болып көрінетіндігі сонша 
біз олардың нағыз қадір қасиетін аңғара бермейміз.» Үнділіктердің осы 
ондық позициялық санау жүйесіне негізделген арифметикасын орта 
ғасырларда араб математиктері қабылдады. Олардың еңбектері арқылы үнді 
санау жүйесі Таяу жəне Орта Шығыс елдерінде жəне Еуропаға тарайды. 
Кейде үнді цифрларі араб цифрлары деп қате атайды. Үнді математиктері +,-
,*,:, дəрежелеу, түбір табу амалдарын қарастырады. Амалдарды орындау 
тəртібі, ережесі қазіргіден аз ғана ерекше нөл ұғымын арифметикаға тұұғыш 
енгізген де үнділіктерде болжам бар. Санскрит деген ескіден бар.  Осы тілде 
«0» деген суния бос дегенді білдіреді. Бұл араб тілінде ассфр деп 
аударылады.Осыдан цифра термині қалыптасады. 
9. Үнді оқымыстыларының геомтрия жөніндегі мағлұматтары олардың 
арифметика алгебра жөніндегі білімінен көп төмен. Бұлар бұл салада көбіне 
практикалық мазмұнды есептерді шешумен қанағаттаналы. Кей жағдайда 
грек математикасына еліктеген. Мысалы, Брахма Гуктаның геометриялық 
еңбегіне Геронның ықпалы болғаны көрінеді. Ариабхатта П санының жуық 
мəні үшін Апаллони келтірген мəнді алады. Үнді математиктері 
геометриялық қорытындыларды сирек дəлелдеді. Олар пифагор 
теоремасының əртүрлі дəлелдер келтірген. Мысалы, Каскара «Білімдер тəжі» 
деп аталатын еңбегінде Пифагор теоремасын дəлелдеді. Үнді математиктері 
төртбұрыш S- ны үшін Герон формуласына ұқсатып  
S=
p p− a
p− b
p− c
p− d
ережсін береді. Бұл формула дөңгелекке іштей 
сызылған тқртбұрыш үшін ғана дұрыс. Олар призма V-не дөңгелек қиық 
конус жəне шар V-не сəйкес V=
nS /
3
,  
V=
ПН R
2
R r
r
2
/
3
,    V=
4ПR
3
/
3
  формулалармен  деген  ережелер  арқылы 
табылады. 
Математиканың 
даму 
тарихында 
үнді 
оқымыстыларытригонометриялық  мағұлматтарды  едəуір  жетілдіріп  бұл 
тұрғыда  грек  математиктерінен  ілгері  кетеді.  Ариапхатта  шығармаларында  
sin,  cos    ұғымдары  енгізіледі.  Бұл  ұғымның  төркіні  үнді  математикасы  . 
Үндінің  математикасында  көрнекті  табыстың  бірі  олардың  шеңбер 

доғаысның  tg-ң  дəрежесі  бойынша  қатарға  жіктеу  əдісін  ұсыну  болып 
табылады.  Мұның  авторы  үнді  математигі  Милонката  болды.  Ол  «Ғылыми 
жинақ » деп аталатын еңбегінде қазіргі матиматикалық таібалалану бойынша  
arctgx= x− x
3
/
3 x
5
/
5− x
7
/
7 ...
түріндегі  нəтижені  табады.  Жəне  х=1  деп  алып 
П /
4= 1− 1
3
/
3 1/5− 1 /7 ...
−
1
2
/
2n− 1
  қатары  арқылы  П-ң  жуық  мəні  үшін 
3,1415926539 
санын 
есептеп 
шығарады. 
Бұл 
аталғаннан 
үнді 
математикасында  элементтер    математигінің  мəселелерімен  қатар  жоғарғы 
математиканың    да  элеметттері  болғанын  көреміз  .  Үнді  математикасы 
тарихында  тоқырау  орын  алады.  Оның  негізгі  себебі  қоғамның    саяси 
экономикалық  құрлысының  төмендеуініен  еді.  Европалықтардығ,  атап 
айтқанда  ағылшынның  отаршылдық  жаулап  алу  саясаты  Үдістанда  ғылым 
мен  техниканың  дамуын  тежеді.  Үнді  елінің  ұлы  перзенттерінің  бірі 
«Джабахарлал  Неру»  өзінің  ағылшын  түрмесінде  отырып  жазған  кітабында 
конашизмнің  кері  тартпалығының  бет  пердесін  əшкерклеп,  оның  үнді 
мəдениеті мен экономикасының 170 жыл бойы жасаған қиянатын баяндайды. 
 
 
§6. ІХ-ХV ғасырларда таяу шығыс жəне орта Азия елдеріндегі 
математика. 
1.  Бағдат ғылыми мектебі, Əл – Хорезми. 
2.  Эл – Фараби жəне математиканың философиясын негіздеу мəселесі. 
3.  Алгебраның дербес ғылым болуы, сан ұғымын кеңейту. 
4.  Жоғардағы дəрежелі теңдеулер. Омар Хаямдағы Куб теңдеулердің 
геометриялық теориясы. 
5.  Геометрия мəселелері. Конструктивті геометрия. 
6.  Евклидті жəне Архимедті түзету. Параллель түзулер теориясы. 
7.  Тригонометрияның дербес бөлініп шығуы. Насреддин Аттусин. 
 
1)  Араб ғылымының алғашқыларының бірі Бағдат математикалық 
астрономиялық мектебінің негізін салушы Мұхаммед Əл Хорезми 
(Мұхаммед ибн Муса Əл Хорезми) орта азиядағы Хорезм қаласында туып 
өскен қазіргі Өзбекстен Хорезм. Ол VIII ғасырда 80 жылдары туған. Əл 
Хорезми математика жəне астрономия салалары бойынша құнды еңбектер 
қалдырған. Олардың ішінде ең бастысы «Кітап Əл Мұхтасар фи Хисап Əл 
Джебір валь Мукавалар». Əл Джебір мен Мукавалар тəсілмен есептеудің 
қысқаша кітабы. Əл Хорезми ғылымның көп саласында еңбек еткен 
оқымысты. Бағдат абсерваториясында ұзақ уақыт жүргізген бақылаулары 
мен есептеулері негізінде астрономиялық кесте тұрғызады. Мұнда 
синустардың, тангенстердің кестесі бар. Бағдаттан кейін таяу шығыс пен орта 
азия елдерінде ғылыми орталықтар болған: Каир, Марага, Бұхара, Самарканд 
т.б. қалаларында. Мысалы, Х ғасырдың аяғында Каирда ашылған ғалымдар 
үйі 200 жылдай өмір сүрген. Арабтар басып алған Испания жеріндегі 
Хордова мемлекетінде де Х ғасырдан бастап, ғылыми ошақтар 
ұйымдастырылып, оларда математика саласында тиісті зерттеулер жүргізген. 

Испания оқымыстылары арабша жазылған көптеген ғылыми еңбектерді 
латын тіліне аударып, Еуропада ғылымның қайта өрлеуіне үлкен үлес қосқан. 
2) 
Орта ғасыр заманындағы аса ірі білімнің ғұламаларының бірі – Абунаср 
Мұхаммед ибн Узлах, ибн Тархан, Əл Фараби ат Турки. 870 жылдар 
шамасында оңтүстік Қазақстанның Отырар қаласында (қазіргі О.Қ.О., 
Отырар ауданы) туған. Оның тегі Сыр, Қаратау өңірін мекендеген түркі 
тайпаларының бірі. Ол тайпалар кейіннен қазақ халқының құрамына енді. 
Отырар сол ккездегі орта Азиядағы ең үлкен ғылыми орталық болған. 
Тарихшылар онда Александрия кітапханасынан кейінгі ең бай кітапхана 
болғанын айтады. Отырар сол кезде орта азиядағы ең үлкен мəдени орталық 
болған. Тарихшылар Отырар қаласының мəдениетін VІІІ ғасырда  монғол 
шапқыншылығы құртып жіберген. Осы Отырар қаласында алып, кейін 
Бағдатқа ауысып онда ұзақ ауқыт ғылыми философиялық зерттеулер 
жүргізді. 950 жылы Дамаскіде қайтыс болды. Əл Фараби философия жəне 
жаратылыстану ғылымдары бойынша бағалы еңбек жазған ғалым. Əл 
Фарабидің математикалық мазмұндағы сақталған еңбектері жан жақты 
талдана келіп, оның нəтижелері автордың «Əл Фараби», «Əл Фарабидің 
математикалық мұрасы» атты монографиялық кітаптарында баяндалған. 
Оның математик ретінде бір-біріне өзара тығыз байланыс ірі үш салада 
жүргізгені анықталды. а) Математика ғылымдарының шығу тегін анықтау. 
жаратылыстану ғылымдарын математикаландыру жөніндегі ой пікірлер 
туралы қағидалар. б) Сол кездегі теориялық математиканың кейбір 
тарауларын жасауға қатысу. в) Математиканы табандылықты зерттеп білуге 
практика мұқтаждығын өтеуге пайдалану. Əл Фараби өзінің «Ғылымдардың 
тізбек немесе ғылымдар классификациясы» деген еңбегінде математиканы 7 
тарауға бөледі. 1) Арифметика 2) Геометрия 3) Оптика 4) Асторномия 5) 
Музыка 6) Салмақ туралы ғылым (статика) 7) Айла əрекет туралы ғылым. 
Бұл тараулардың барлығы бойынша дербес шығармалар жазған. Яғни 
философиялық трактаттарда тоқталып өткен. Əл Фараби шығармасы 
математикатер арасында «Евклидтің бастамалары» сынап түзетушілер 
арасынан алдыңғы орын алады. Бұл тақырпқа арнап «Евклидтің 1 жəне 5 
кітаптарының қиын жерлеріне түсініктеме» д.а. арнай шығарма жазған. 
Мұнда ол бастамалардың 1 жəне 5 кітаптардың кіріспесінде келтірілген 
геометрияның бастапқы ұғымдарының анықтамаларын ғылыми түрде қайта 
қарауды ұсынады. Əл Фараби Евклидтен көп үйреніп оның бастамаларын өз 
заманына лайықтап пайдалана білген. Алайда математиканың басқа 
жаратылыстану ғылымдарының кəдесіне жаратуда; ол Евклид жəне басқа 
ежелгі грек математиктерінен əлде қайда озық келеді. оның бұл 
жаңашылдығының негізгі философиялық, методологиялық дұрыс 
қағидаларды принциптерді дұрыс қағидаларды принциптерді басшылыққа 
алып, ғылыми жаңа əдістерді қолдана білуінде жатыр. Əл Фарабиден кейін 
оның шыкірттері ізбасарлары болып саналатын орта азия математиктері Абу 
Наср ибн Сана, Омар Хаям, Насриддин ат Туси т.б. Евклид бастамаларына 
арнайы түсініктемелері жазып, математикада елеулі жаңалықтар ашады. 

3)  Алгебраның өз алдына дербес ғылым болып, Əл Хорезмидің «Əл Джебір» 
еңбегі шыққаннан кейін бөлініп шыққаны белгілі. Бұл еңбек шығыс 
елдерінде ХІІ ғасырда латын тіліне аударылып, Еуропа Елдерінде алгебра 
жөнінде негізгі құрал болды. Кітап негізінен бір жəне екі дəрежелі 
теңдеулерді шешуге арналған. Əл Хорезми алгебраға жаңа мағына береді. 
Оны арифметикадан бөліп, оны теңдеулер шешу жөніндегі өнерге 
айналдырады. Ол теңдеудің белгісізін түбір деп айтады. Əл Хорезмидің 
алгебралық трактаттарына геометриялық мəселелеріне арналған бөлім бар. 
Мұнда көптеген есептер, теңдеулер құру арқылы алгебралық əдіспен 
шешіледі. Əл Хорезмиден кейін зерттеулер жүргізген мысырлық математик 
Абу Камил болады. Əл Фараби алгебра ғылымының тұңғыш анықтамасын 
берді жəне алгебралық зерттеулердің  табиғаты міндетті түрде нақты сандар 
ұғымын енгізуді қажет ететіндігін тұжырымдады. 
4) 
Абу Камилдің алгебралық трактаттарында квадрат теңдеуге келетін 
биквадрат жəне жоғары дəрежелі теңдеулерде кездеседі. араб 
математиктерінің жоғары дəрежелі теңдеулерді шешу жөніндегі табысы куб 
теңдеулерді шешудің геометриялық теориясын жасауы болады. бұл теория 
ежелгі гректерден қалған кубты екі еселеу, шарды көлемдері берілген 
қатынаста болмайтындай етіп, екі сегментке бөлу туралы Архимед есебін 
зерттеуден басталады. Гректер куб теңдеулерді шешудің геометриялық əдісін 
білгенмен оны жүйелеп бір ізге келтірмеген. Осы теорияны жетілдірген араб 
оқымыстылары: Ибн Əл Хайсам, Əл Хухи, Əл Махани (ІХ-ХІ ғ.ғ). Бұл ілімді 
кемеліне келтіруші орта азиядан шыққан тəжіктің ұлы ғалымы ақан жəне 
философ омар Хаям болды. Оның алгебраның негізгі мазмұны теңдеулерді 
классификациялау, түбірлерді геометриялық əдіспен салу, жолдарын көрсету, 
оң шешулерінің санмен шекараларын анықтау. Егер  Əл Хорезми І жəне ІІ 
дəрежелі теңдеулерді 6 канондық түрге келтірген болса, Омар Хаям 
оларғабасқа да түрлер жəне куб түрлер барлығы 25 түрлі теңдеулерді 
қарастырды. Омар Хаям ІІІ дəрежелі теңдеулерді саралап, олардың 
геометриялық шешу жолын бір геометриялық жолға салуға талпынған 
тұңғыш математик. 
5)  Арабтардың геометриялық білімдері ежелгі үнді жəне грек математиктерінің 
əсіресе Евклидпен Геронның еңбектерін игеруден басталады да, кейіннен өз 
беттерінше жаңа зерттеулермен толықтырылады. Мұнда олар əсіресе 
практикалық мəні бар геометрия мəселелеріне басқа назар аударғаны 
байқалады. Əл Хорезмидің алгебралық трактаттарының геометриялық 
бөліменде фигураларды өлшеу ережелері жинақталып, үшбұрыштарға 
берілген есептерді шешуге алгебралық əдістің қолдану жолдары көрсетіледі. 
Оның қарастырған есептері Геронның есептерімен дəл келеді жəне жаңа 
қосылған мəселелерде бар (мысалы, дөңгелектің сегментінің ауданын табу 
ережесі). Шеңбер ұзындығының диаметрге қатынасы үшін Əл Хорезми 3 
мəнді көрсетеді: 
. Мұның біріншісі Героннан, ал қалаған екеуі 
үнділерден қалаған сияқты. Араб математиктерінен геометрияға арнайы 
тұңғыш еңбек жазғандар мусабаларына немесе Бану Муса. Бұлардың əкесі 

ибн Шəкім жасында бұзақы болған. Кейіннен өзгеріп, сарай маңында істеп, 3 
баласын оқытқан. Бұлардың жазған трактаты: «Ағайынды үшеудің 
геометриясы» деп аталады. Олар геометрияға бірсыпыра жаңалықтар қосқан. 
Герон формуласының жаңа дəлелі, элипс сызу əдісі (жіп арқылы) беріледі. 
Геметрия тарихында өзіндік тарихы бар бір үлкен шығарманы Əл Фараби 
жазған. Бұл еңбектің мазмұны 1960 жылға дейін оның оқушысы Бағдат 
математигі Əбу Əл Бафа кітабы бойынша мəлім болды. Əл Фарабидің 
табиғат сырын геометриялық фигуралар арқалы танытарлық « Рухани айла 
əрекеттері» деп аталатын шығармасы орыс тіліне аударылып, қолданбалы 
геометрия мəселелеріне арналған. Мұнда 150-ге тарта геометрия салу 
есептерінің шешуі көрсетілген. 
6)  Араб математиктері геометрияны тек практикалық жағына ғана емес, оның 
теориялық мəселелеріне де көп көңіл бөлген. Бұл тұрғыдан Евклидтің 
бастамаларының маңызы ерекше болды. Бұл классикалық еңбектен 2000 
жылдан астам уақыт бойы ірілі, ұсақты барлық математиктер тəлім алды. 
Алайда кейінірек бұл бастамаларының мазмұнында, құрылысында, басындау 
тəсілінде бірсыпыра кемшіліктердің бары байқалады. Сондықтан араб 
математиктері тарапынан VІІІ ғасырдың аяғынан бастап ХV ғасырдың 
ортасына дейін 50-ге жуық автор Евклид бастамаларын қайта аударып, 
түсініктеме жазып, түзету шараларын жүргізген. Олардың ішінде азия мен 
қазақстаннан шыққан Ғаббас Əл ЖауҺари, Əбу Наср Əл Фараби, Ибн Сина, 
Омар Хаям, Насриддин Əл Туси, Қази Зади Руми т.б. 
Евклид геометриясын кемелдендіріге бұл аталған оқымыстылар елеулі еңбек 
сіңіріп, математиканың бір сыпыра буынды жерлерінен ірі-ірі табыстарға 
жеткен. Олар: Геометрияны негіздеу мəселелері, қатынастар теориясы. 
7)  Тригонометрияның дербес бөлініп шығуы. Араб математиктеріні 
тригонометрия жөніндегі алғаш қадамдарын грек Үнді математиктерінің 
еңбектерін меңгеруден бастаған. Математикада синус ұғымын енгізгендер 
үнді оқымыстылары. Əл Хорезми олардың зерттеулерін жалғастырып, өзінің 
астрономиялық трактатында математика тарихында тұңғыш рет тангенс жəне 
котангенс ұғымдарын енгізген. Бұл ұғымдар жөніндегі алғашқы түсініктер 
дөңгелекке баланыссыз күн сағаттарына қатысты айтылады. Мысалы, 
вертикаль таяқшаның тұрақты биіктігін Һ, оның өзгермелі көлеңкесінің 
ұзындығын а десек, онда а- ның һ- қа қатынасы, күннің биіктігі  -ге тəуелді 
өзгеріп отырады. осы қатынас котангенс деп аталады. Оның кестесі 
жасалады. Арабтың көрнекті астрономы Мұхаммед Əл Ботани «Алмагесті 
кемелдендіру» деп аталатын еңбегінде тригонометриялық сызықтар 
арасындағы мынадай қатынастарды тағайындайды: 
, … 
Тригонометрияның шығу тарихында Əл Фараби еңбектері елеілі орын алады. 
Əл Фараби жазық үшбұрыштар үшін синустар теориясын дəлелдейді. Өзінің 
«Кемел  кітап»  деп  аталатын  астрономиялық  кітабында  Əбу  Əл  Вафа 
тригонометрияға  жан  –  жақты  түсініктеме  береді.  тригонометрияны  əсіресе 
астрономиямен геометрияға қолдануда хорезмдік ұлы энциклопедист ғұлама 
Əбу Райхан Əл Берунидің еңбегі Зор. 

 
 
 
 
6 ТАРАУ. Элементарлық математика дəуірі (б.з.д. ҮІ-Ү ғасырдан 
басталып б.заманымыздың ХҮІ ғасырымен аяқталады). 
 
1. Ұлы математиктер заманы 
 
Бұл  кезеңде  математикада  бүтіндей  дерлік  тұрақты  шамалар 
қарастырылады.  Математиканың  арифметика,  алгебра,  геометрия  жəне 
тригонометрия деп аталытн дербес салалары пайда болады. 
Б.з.д.ҮІ-Ү  ғасырлар  Грецияның  қоғамдық,  экономикалық,  саяси 
өмірінің  кемелденген  тұсы  болғаны  тарихтан  мəлім.  Бұл  аралықта  мұнда 
ғылым мен білім, өнердің етек алып, өркен жайған кезеңі  болды. Бұлардың 
ішінде,  əсіресе  математика  тек  сан  жағынан  ғана  емес,  сапа  жағынан  да 
дамыды.  Математикалық  теория,  ережелер  мен  қағидалар  шындығының 
дəстүрі  қалыптасады.  Математика  салаларға  бөлініп,  онан  кейін  тараулары 
(мысалы,  геометрия)  бүтін  біртұтас  дедуктивтік,  логикалық  жүйе  ретінде 
қарастырыла бастады. 
Б.з.д.  ІҮ  ғасырдың  аяғында  аты  шулы  грек  қолбасшысы 
Македонскийдің  жаугершілік  жорықтарының  нəтижесінде  Грецияны, 
Мысырды, Вавилонды, Персияны жəне басқа да бірсыпыра Таяу жəне Орта 
Шығыс елдерін қамтыған үлкен империя пайда болды. Осы тұста мəдени ең 
ірі  орталық  Мысыр  жерінде  Ескендір  патша  іргесін  қалаған,  соның  атымен 
аталатын Александрия шаһара болады. Египет патшалары Александрияда аса 
үлкен  ғылыми-оқу  орны  –Музейонды  ұйымдастырады.    Онда  аса  бай 
кітапхана  жəне  үлкен  обсерватория  болады.  Александрияға  сол  тұстағы 
білімпаз  жəне  өнерлі,  зиялы  адамдар-математиктер,  тіл  мамандары, 
тарихшылар  астрономдар  келіп-кетіп  жатады.  Осылай  жеті  ғасыр  уақытқа 
созылған Александрия мектебі қалыптасады.  
Александриялық  ұлы  математиктердің  көш  бастаушысы,  алғашқы 
қарлығашы  Евклид  еді.  Евклид    математика,  физика,  астрономия,  музыка 
ғылымдары  бойынша  көптеген  еңбектер  жазған.  Солардың  ішінде  атақты 
«Бастамалар», «Берілгендер», «Оптика», «Катоптрика», т.б. бізге келіп жетті. 
Алайда  ғылым  тарихында  Евклид  ең  əуелі  «Негіздер»  немесе  «Бастамалар» 
деп аталатын классикалық шығарманың авторы ретінде бағаланады. 
Евклид  «Бастамалары»  екі  мың    жылдан  аса  уақыт  дүние  жүзі 
математиктерінің  қолынан  түспес  шығарма  болды.  Осы  еңбекте  жасалған 
геометрия жүйесі барлық мектептерде əлі күнге дейін сол қалпында, сəл-пəл 
өзгертіліп  оқытылып  келеді  жəне  адам  баласының  бүкіл  практикалық  іс-
əрекетінің негізі болып отыр. 
«Бастамалар»  мазмұны  тек  элементар  геометрияны  баяндаумен 
шектелмейді.  Бұл  еңбекте  Евклидке  дейінгі  Фалес,  Пифагор,  Демокрит, 
Гиппократ,  Архит,  Теэтет  ойлап  тапқан  баст-басты  математикалық 

жетістіктер  жинақталған.  Оның  өзі  ашқын  Евклид  теоремасы,  Евклид 
алгоритмі т.б. жаңалықтары да аз емес. 
Евклид «Бастамалары» 15 кітаптан тұрады. Оның 13 кітабын Евклидтің 
өзі  жазған,  қалған  екеуі  кейінгі  грек  математиктерінен  қосылған. 
«Бастамаларда»  қамтылған  мəселелер  мыналар:  түзу  сызықты  фигуралар 
(үшбұрыш,  төртбұрыш,  көпбұрыш,  т.б.)  планиметриясы;  дөңгелектер  жəне 
олардың  хордалары  мен  жанамалары  туралы  ілім,  дұрыс  көпбұрыштарды 
салу;  бүтін  сандар  жəне  олардың  қатынастары  туралы  ілім,  стереометрия 
жəне дұрыс көпжақтарды салу əдістері. 
Евклидтің соңынан іле-шала б.з.д.ІІІ ғасырда шоқ жұлдыздай бірнеше 
ұлы математиктер шықты. Олар:Архимед пен Аполлоний, Эратосфендер еді. 
Архимед Сицилия аралының оңтүстік жағалауына орналасқан Сиракуз 
қаласында туған. Архимед ел аузында, тарихи жазбаларда аңыз болып қалды. 
Архимедтің  бізге  жеткен  еңбектері:  «Параболаны  квадраттау»,  «Шар  жəне 
цилиндр  туралы»,  «Спиральдар  туралы»,  «Жазық  фигуралардың  тепе-
теңдігі», «Əдіс», «Дөңгелекті өлшеу» т.б. 
Архимедтің  математик  ретінде  Евдокс  пен  Евклидке  қосқан  басты 
жаңалығы – қисық сызықты фигуралар мен денелердің ауданы мен көлемін 
табу  əдістері.  Бұл  қазіргі  математикадағы  кейбір  анықталған  интегралдарға 
пара-пар  келеді.  Архимед  «Спиралдар  туралы»  атты  шығармасында 
жанаманы дифференциалдық əдіске сай келетін əдіспен тапқан. 
Архимедтің  бірсыпыра  еңбектері  арифметика,    сандар  теориясы 
мəселелеріне  арналған.  «Дөңгелекті  өлшеу»  атты  трактатында  шеңбер 
ұзындығының  диаметрге  қатынасын  көрсететін  санның  жуық  мəнін  табу 
үшін  шеңберге  іштей  жəне  сырттай  96  бұрышты  дұрыс  көпбұрыштар  сызу 
арқылы теңсіздік есептеп шығарды. 
Евклид  пен  Архимедтен  кейінгі  эллиндік  математиканың  данышпан 
өкілі пергалық Аполлоний болды. Ол б.з.д. 200 жылдар шамасында дүниеге 
келген.  Жас  кезінде  Александриядағы  Евклид  шəкірттерінен  дəріс  алады. 
Аполлонийдің  «Конустық  қималар»  деп  аталатын  негізгі  еңбегі-математика 
тарихында баға жетпес мұра. Мұнда конустық қималар деп аталатын қисық 
сызықты фигуралардың қасиеттері қарастырылады. 
Конустық  қималарды  зерттеу  кубты  екі  еселеу  есебін  шешуге 
байланысты  туған.  Апполоний  конустық  қималарды  өзінше  анықтайды.  Ол 
үш  түрлі  конустың  орнына  кез  келген  конусты  алып,  оны  кез  келген 
жазықтықпен  қияды.  Теңдеулерінің  түріне  қарап  оларды  эллипс,  парабола, 
гипербола деп атап,  теңдеулерін қайта қорытып шығарған да осы Аполлоний 
қазіргі  алгебра  символикасымен  өрнектесе,  айтылған  үш  қисықтың 
теңдеулерін  Аполлоний  біріктіріп, 
2
2
2
x
p
a
px
y
±
=
  түрінде  береді.  Мұндағы 
у,х  –  қисық  нүктелерінің  ағымдағы  координаттары.    Оның  «Конустық 
қималарында»  математика  тарихында  тұңғыш  рет  координаттар  жүйесі 
туралы  идея  туады.  Кеплердің  планеталар  қозғалысы  жөніндегі  əйгілі 
заңдарын,  Галилей  мен  Ньютонның  механикадағы  ірі  жаңалықтарын  ашуда 
Аполлоний  жасаған  конустық  қималар  теориясы  шешуші  роль  атқарады. 

Аполлонийдің геометриялық емес математикалық екі еңбегі болған. Осының 
ішіндегі  математика  тарихы  үшін  ең  қажеттісі-  «Окитокион»  (сөзбе-сөз 
аударғанда  –  «жедел  толғау»  деген).  Мұнда  Аполлоний  π  санының  жуық 
мəнін Архимедтен гөрі дəлірек анықтаған. 
Аполлонийдің  басқа  математикалық  еңбектерінен  «Жанасу  туралы» 
деп  аталатын  трактаты  назар  аударарлық.  Мұнда  ол  жанамалар  туралы 
атақты есебі қарастырылады.  
Александрия  мектебінің  тағы  бір  көрнекті  өкілі,  есімі  бізге  жақсы 
таныс атақты кирендік Эратосфен болды. Архимед Эратосфеннің көп қырлы 
білімдарлығын жоғары бағалаған. 
Эратосфеннің  бізге  екі  үлкен  математикалық  жетістігі  белгілі.  Оның 
бірі  кубты  екі  еселеу  есебінің  механикалық  шешуін  табуы,  екіншісі,  қазіргі 
математикада кеңінен мəлім «Эратосфен елегі» деп аталатын əдісті ашуы.  
Эллиндік  математиканың  жалпы  сипатына  тоқталсақ,  мұнда  тек 
теориялық математикаға ерекше назар аударылып, практикалық қолданбалы 
математика елеусіз қалып отырған.  
Мың жылға созылған грек математиккасы тарихындағы ақырғы, үшінші 
кезең  Рим  империясының  құрылу,  орнығу,  қирау  дəуірімен  байланысты. 
Б.з.д.  І-ІІ  ғасырларында  математика  даму  тарихында  біраз  жандану,  өрлеу, 
жаңа бетбұрыс кезең орын алады. Бұл уақытқа дейін грек математиктерінің 
зерттеулері негізінен тек теориялық геометрияға бағындырылып келсе, енді 
математиканың  өндіріске  жақын,  практикада  қолданыс  табатын  салаларын 
өркендету қолға алына бастады.[6]. 
Дамудың  жаңа  бағытындағы  бұл  математикалық  зерттеулерде  ең  əуелі 
есептеу,  өлшеу  əдістерін  жетілдіруге  барынша  назар  аударылады;  жазық 
жəне  сфералық  тригонометрияның  негіздері  қаланады;  геометрияға  емес, 
арифметикаға  арқа  сүйеген  қазіргі  мағынадағы  алгебралық  əдістері 
дамытылады; 
Пифагор, 
Евклид, 
Архимед, 
Аполлоний 
тəрізді 
математиктердің  еңбектерін  өңдеу,  түсіндіру,  жақсарту  мəселелеріне  көп 
көңіл  бөлінеді;  математиканың  өткен  тарихына  шолу  жасау  əрекеті 
басталады.  Бұл  беталыстың  ғылым  тарихында  маңызы  үлкен  болды.  Ол 
кейіннен  бүкіл  математиканы  өзгертуге,  əріппен  өрнектеуге  негізделген 
қазіргі символикалық математикалық есептеулердің тууына бастама жасады.  
Александриялық Герон- мектеп математикасынан белгілі, атақты «Герон 
формуласының»  авторы.  Бізге  Геронның  «Метрика»  жəне  «Геометрия»  деп 
аталатын  трактаттары  келіп  жетті.  Геронның  «Стереометрия»  деп  аталатын 
шығармасында геометриялық денелердің көлемдерінен басқа үйдің, театрдың 
т.б. көлемдерін табу қарастырылады. 
«Геодезия» атты трактатында Герон үшбұрыштарды өлшеуді өз алдына 
бөліп баяндайды. 
 
2.2. Араб математикасы 
 
Орта  ғасырдағы  Орта  Шығыс,  Солтүстік  Африка  жəне  Испания  сынды 
мұсылман  мемлекеттеріндегі  араб  жазуы  арқылы  жазылған  математикалық 

шығармаларды айтады. Араб математикасының дамуына арабтар ғана емес, 
парсылар,  сүриянилер,  т.б.  үлес  қосты.  Бұл  шығармалар  қолжазба  түрінде 
осы күнге жеткен, олар əлемнің əр түкпіріндегі кітапханаларда сақтаулы тұр. 
Араб  математикасының  дамуы  орта  ғасырдағы  араб  мəдениетінің 
дамуымен  бірге  дамыды.  Оның  дамуын  үлкен  жақтан  үш  кезеңге  бөліп 
қарауға болады: 
ҮІІІ  ғасырдан  бастап  ІХ  ғасырдың  ортасына  дейін
  əл-Мансұр  халиф 
Бағдатта ішінде телескоп пен кітапханасы бар «
Даналық үйі
н» (арабша: ت يب 
ة مكحلا  Баіт  ал-Һікма)  ашып,  оған  сол  кездегі  Сүрия,  Үндістан  т.  б 
мемлекеттерден  ғалымдарды  жинайды,  бұл  кезең  негізінен  басқа  тілдегі 
математикалық  шығармаларды  аударып,  оны  үйрету  кезеңі  деп  айтуға 
болады.  Ең  алдымен  Евклидтің  «Геометрияның  бастамалары»,  одан  кейін 
үнді  математигі  Брахмагупта  еңбегі  араб  тіліне  аударылады.  Содан  бастап 
Архимед,  Аполлониус,  Диофант,  Птолемей  сынды  ертедегі  гректің  ұлы 
математиктерінің шығармалары іркес-тіркес араб тіліне аударылды.  
Араб  ғылымының      алғашқы  қарылғашы,  Бағдат  математикалық, 
астрономиялық  мектебінің  негізін  салушы  Мұхаммед  əл-Хорезми  бұл 
дəуірдегі  атақты  математик.  Ол  тек  аудармамен  айналысып  қана  қоймай, 
сонымен  бірге  «Хорезми  арифметикасы»  (көптеген  кітаптарда  «Лібер 
Алгорітмі»  деп  аталынып  жұр),  «Əл-жəбр  уə-л-Мұқабала»  т.  б  атты  атақты 
кітаптары  бар.  «Əл-жəбр  уə-л-Мұқабала»  бұл  -  математика  тарихында 
алгебра  мəселесіне  арналған  ең  тұңғыш  шығарма,  бұған  дейін  алгебралық 
мағлұматтар  арифиетикалық  еңбектерінде  баяндалады.    Қазіргі  кездегі 
математиканың маңызды бір саласы болып табылатын алгебраны осы  
əл-Хорезми  енгізген.  Сондықтан  да  əл  –  Хорезмиді  кейде  «алгебра  атасы» 
деп те атайды. Кітап атауындағы «əл-жəбр» сөзі кейін европада бұрмаланып 
«алгебра» терминіне айналып кеткен. 
ІХ-ғасырдың  ортасынан  ХІІІ  ғасырға  дейін
  араб  математикасының 
гүлдену  дəуірі  деп  қарауға  болады.  Осы  кезеңде  Бағдадта,  Бұхара,  Қаһира 
жəне  Испанияның  Кордова  жəне  Толедо  қалаларында  көптеген  ғылыми 
зерттеу  орталықтары  пайда  болды,  бұл  дəуірдегі  атақты  математиктерден 
Батани,  Əбу-Уафа,  Карачи,  əл-Бируни,  Омар  Хайям,  Насыреддин  Туси, 
Банналарды атауға болады.  
ХІҮ  ғасырдан  соң  ХҮ  ғасырдағы
  Əмір  Темірдің  Самарқандтағы 
телескопы
  мен  сонда  зерттеумен  айналысқан 
əл-Каши
ды  айтпағанда,  бүкіл 
араб математикасының құлдыраған кезеңі болып табылады.  
Араб  математикасының  негізгі  жетістіктерінен,  арифметика  жағында: 
ондық  санау  жүйесі,  жазбаша  есеп  (бұл  екеуіне  Үндістанның  тигізген  əсері 
бар), дəрежеге көтеру, біріз қатарлардың қосындысын табу формуласы, т. б. 
Ал  алгебра  жағында:  бірінші  жəне  екінші  дəрежелі  теңдеулерді  шешу, 
үшінші  дəрежелі  теңдеудің  геометриялық  шешу  əдісі,  екімүшеліктің 
жіктелуіндегі  коэфициенттері  т.  б;  геометрия  жағынан:  Евклидтің 
«геометрияның  алғашқы  кітабының»  аудармасы,  парралелдік  туралы 
аксиоманың тереңдей зеріттелуі, π санының мəні (əл-Каши 16-орынға дейін 

дұрыс  есептеген)  т.б.  тригонометрия  саласы  да  ертедегі  грек  пен  үндіге 
қарағанда анағұрлым толық зерттелген. 
ХІІ ғасырдан бастап, араб математикасы Солтүстік Африкадағы Жерорта 
теңізі жағалау арқылы өтетін мəдени жолдары арқылы Испания мен Еуропаға 
тараған.  Əсіресе  ондық  санау  жүйесі  мен  жазбаша  есеп,  Евклидтің 
«Геометрия  бастамалары»  кітабының  аударма  нұсқасы  т.  б.  бұлар  бүкіл 
Еуропаның, тіпті дүние жүзінің математикасының дамуына орасан зор ықпал 
еткен. 
Бірак,  араб  математикасының  керемет  туындылары  латын  тіліне 
аударылып Еуропаға тарамаған, тек ХІХ-ғасырдан кейін араб математикасы 
реттеліп бір жүйеге келтіріле бастаған. Араб математикасы ертедегі гректің, 
Индияның,  Қытайдың,  Шығыс  пен  Батыстың  математикалық  жетістіктерін 
пайдаланып  жəне  оларды  бір  қалыпқа  түсіріп  Еуропаға  таратқандықтан 
мəдениеттің  қайта  гүлденуі  кезеңінде  математика  керемет  дамыды, 
сондықтан да араб математикасы əлемдік математика тарихында ойып тұрып 
орын алады. 
 
2.3. Орта ғасырлар математикасы 
 
Математика  ғылымының  кіндігі  де,  тұсауыда  кесілген  жері  ертедегі 
шығыс(Қытай, Үнді, Вавилон, Мысыр). Онан кейін, ол Вавилон мен Египет, 
Грецияға  ауысады.  Греция  математиктері  математиканы  өзінің  нəтижелері 
мен  түпкі  қағидаларын  логикалық  қорытынды  арқылы  келтіріп  шығаратын 
дедукциялық  ғылымға  айналдырды.  Гректер  əсіресе  бастапқы  геометрияға 
жататын мəселелерді түгел зерттеді деуге болады. 
Жаңа  заманнан  ілгері  47  жылы  Рим  əскерлері  Грекияны  басып  алып 
Александрия  портындағы  Мысыр  кемелерін  өртегенде,  өрт  кітапхананы  да 
шарпып,  натижеде екі  жарым  ғасыр  бойы  жинап сақтаған кітаптар  мен 500 
мың  парша  қолжазба  күйіп  түгейді.  ІҮ  ғасырда  Христандар  Грекия 
пұтханаларын  өртеген  кезде  Серапис  пұтханасындағы  300  қолжазба  күйіп 
түгейді. 
Міне  осындай  тарихи  себептерден,  əрі  Грек  математикасының  өзіндегі 
олқылықтар  себебінен,  ежелгі  Грекия  математикасы  тоқырайды.  Осыған 
байланысты  бүкіл  Еуропада  ғылым  дамымақ  түгіл,  уақытысында  болған 
ғылымдардың  өздері  жоғалып,  Еуропаны  қара  түнек  басады.  Ақыл  берген 
ғасырлардың  орынына  мың  жарым  жыл  бойы  үздіксіз  созылған  оянбайтын 
ұйқыға батқан «Ақыл-ой» ғасырлары келді. Адамзат тарихында мұнан үлкен, 
бұдан ғаламат ауыртпалық болған жоқ. 
Шығыс математикасы Ү ғасырдан ХҮ ғасырға дейінгі мың жылдан астам 
уақыт  аралығында  есептеудің  əсіресе  астрономияның  қажетінен  шұғыл 
дамыды, бұрынғы Грекия математиктерінің көпшілігі философ болса, кейінгі 
шығыс мəдениетінің көбінің астроном болуы міне осы себептен болса керек. 
Матемактика  тарихында,  Гректердің  мұрагерлері  Индиялықтар  делінеді. 
200-жылдан  1200  жылға  дейін  Индия  математикасы  жоғары  толқынға 
көтерілген  дəуір  есептеледі.  Бұл  дəуірдің  бастапқы  мезгілінде,  олар 

Гректерден геометрияны Вавилоннан алгебраны үйренді. Əрі Қытайдан үлгі 
алып арифметика мен алгебраны одан ары дамытты. 
Индия  астрономиясы  мен  астрономиясын  дəуір  биігіне  көтерген 
ғалымдар:  «Ариабхатия»  атты  астрономиялық  шығарманы  авторы 
Ариабхатия (476-550) оның тригонометрияға қосқан үлесі төтенше зор. 
Брахмагупта (598-?), ол отыз жасында «Арифметикадан лекциялар» жəне 
«Анықталмаған  теңдеулерден  лекциялар»  қатарлы  арнаулы  тарауларды  өзі 
ішіне алған, «Брахма-сыбхута-ситханда» (брахманың түзетілген жүйесі) атты 
əйгілі шығарма жазған. Ең алғаш теріс сандарға төрт амалды қолданған міне 
осы Брахма гупта. 
Махавира (850-жылдар) «Есептеу жауһары» атты шығарма жазған, кейбір 
тарихи  деректерден  қарағанда  Қытайдың  математикаылық  кітаптаырынан 
пайдаланғандығы мəлім. 
Үндіс  математика  тарихындағы  ең  биік  тұлға  Быхаскара  Акария  (1114-
1185)  Быхаскара  астрономия,  арифметика,  өлшеу  алгебраға  қатысты 
көптееген  шығармалардың  авторы,  солардың  ішінде  қызының  атын  қойған 
арифметика мен есептеуге жататын əйгілі шығармасы «Лайлауати» (көрікті). 
Алгебралық  шығармасы  «Вижаганита»  (түбірлерді  есептеу)  де  теріс 
сандарды  біршама  кеңірек  қарнастырған.  Гректер  өлшемдес  емес 
кесінділерді ең бұрын тапсада бірақ оның бір сан емес екенін мойындамады. 
Быхаскара  басқа  барлық  индия  математиктерінен  асқан  кереметтігі 
иротционал  сандарды  сан  деп  қарап,  иротционал  сандар  мен  ратционал 
сандар арасындағы қатаң шекараны бұзып тастағандығы. 
Сандардың ондық системасын Индиялықтар алтыншы  ғасырда игерді. ІХ 
ғасырға  келгенде  математик  Махавира  нөлді  бір  сан  деп  қарайды.  Содан 
бастап ондық  система  одан  арі  кемелдене  түседі.  Қазіргі күнде бүкіл  дүние 
жүзі қолданатын арғы түп төркіні Индыстан екендігі математика тарихынан 
азда болса хабары бар адамға белгілі болса керек. 
773  жылы  Индыстаннан  Бағдатқа  көрнекті  бір  астроном  келеді.  Ол 
арабтарға  одан  150  жыл  бұрын  жазылған  Брахмабуттаның  «Брахма-сутта-
сиддыханта»  атты  кітабының  санскирт  тіліндегі  нұсқасын  береді.  Бұл 
кітапты  Мұхаммет  Ибын  Ибраһим  əл-Фараби  араб  тіліне  аударады.  Араб 
астрономиясы міне осы кезден басталады. Хорезмидің редакциясымен ол екі 
рет  шыққан.  «Сиддыхантха»  Хорезми  көлемді  теориялық  кіріспе  жазған. 
Хорезми өзінің «Китап əл-джам уат тафрих би хисап əл-үнді» атты кітабын 
үнділердің  үлгісімен  жазады.  Онда  санау  тіртібі,  сандардың  он  цифры 
арқылы жазылуы, аталуы, төрт амал, түбір шығару, жəй бөлшектерді есептеу 
айтылған. Бұл кітап 1150-жылы латын тіліне аударылған. Еуропалықтар Үнді 
цифрларын  араб  тіліндегі  кітаптардың  аудармаларынан  көргендіктен  араб 
цифры деп атағаны мəлім. 
Тарих жылжып өтіп жатты, хандықтар ара бақталасы, хандық ішіндегі тақ 
таласынан талай хандық ауысып, ғылым ордалары ойрандалып, адамзат ақыл 
ойының алыптары құғын-сүргін көрседағы ғылыми мұраларды халық көзінің 
қарашығындай сақтап өзигіліктеріне айналдырып отырды. 

ХІІІ  ғасырға  келгенде  шығыс  Қытай,  Батыс  орта  Азия  ,  таяу  жəне  орта 
шығыс  елдері  манғол  билеушілернің  қлдарына  өтті.  Осы  елдер  ара  барыс-
келіс, сауда мəдениет ауысу онан ары күшеюдің сыртында Юан патшалығы 
дəуірінде  мұсылмандар  ерекше  мұрсатты  жағдайларды  болады,  ордада  əр 
қайсы  өлке  аймақтарда  саяси,  əскери,  экономика  жəне  ғылым-техника 
орындарында негізгі басқару, манғолдардан қалса мұсылмандардың қолында 
болады. Мұсылман елдерінің көптеген астроном-математиктері хан ордасына 
келіп жылнама (каленьдар) жасау қызметімен шұғылданды. 
 

ІІІ ТАРАУ. Айнымалы шамалар математикасының туу дəуірі  
(ХҮІ ғасырдан ХІХ ғасырдың І жартысын қамтиды). 
 
3.1. ХҮІІ ғасырдағы математикадағы бетбұрыс  
 
Бұл  кезеңде  математиканың  негізгі  нысанасы,  объектісі  -  процестерді, 
қозғалыстарды  зерттеп  білу.  Бұл  дəуір  ХҮІІ  ғасырдағы  Декарт,  Лейбниц, 
Ньютонның  ашқан  жаңалықтарынан  басталып,  ХІХ  ғасырдың  бірінші 
жартысын  қамтиды.  Бұл  аралықта    математиканың  бұрыңғы  салаларына 
аналитикалық  геометрия,  дифференциалдық  жəне  интегралдық  есептеулер, 
дифференциалдық  теңдеулер,  ықтималдық  теориясы  сияқты  физика-
математикалық, техникалық жəне басқа жоғары оқу орындарында оқытылып 
жүрген қазіргі математиканың классикалық негізі болып саналатын көптеген 
салалар қосылады. 
Ғылым  тарихында  жаңа  кезең  шартты  түрде  ХҮІІ  ғасырдан  басталады. 
Бұл  кезде  Европаның  экономикалық  жағынан  дамыған  алдыңғы 
мемлекеттерінде  қоғамдық  құрылыс-капитализм  орнығады.  Жаңа  кезең- 
ғылыми  революция  дəуірі  болды.  Бұл  төңкеріс  бірнеше  кезеңге  созылды. 
Бірінші  кезең  Коперниктен  Ньютон  заманына  дейін  200  жылдай  уақыт 
аталады.  Ол  астрономиядан  басталып,  содан  кейін  бір  мезгілде  дерлік 
механика мен математиканы, жарым-жартылай оптиканы қамтиды. 
Механтканың  басқа  салаларында  да  үлкен  жетістіктерге  қол  жетті. 
Қатты  жəне  сұйық  денелер  статистикасының  (Стевин,Галилей,Паскаль), 
гидродинамиканың  (Торичелли),  серпімділік  теориясының  (гук)  т.б.  əсіресе 
көру трубасы мен микроскоптың,сонан кейін шағылыстырушы телескоптың 
пайда    болуына  байланысты  физиканың  басқа  бөлімдері  ішінен  оптиканың 
маңызы артты. Дəлдігі жоғары ғылыми аспаптар мен құралдар пайда болды. 
Бұл тұрғыдан оптикалық аспаптарға қоса маятникті сағатты, барометрді жəне 
термометрді айтуға болады.[2]. 
Осымен  қатар,  ХҮІІ  ғасырда  əлемнің  жаңа  бейнесі-механикалық  бейне 
үстемдік алады. Бүкіл əлемді сағатпен салыстырушы философтар да болды. 
Ал механика бұл кезде математикалық ғылым ретінде қарастырылғандықтан, 
ол  физикалық  дүниені  білудің,  танудың  əмбебап  əдісіне  айналады. 
Механиканы    математикаландыру  процесі  екі  жақты  жүрді:  біріншіден, 
механикалық құбылыстарды терең талдап білуге жағдай туғызды; екіншіден, 
математикалық  əдістерді  жетілдіруді,  түрлендіруді  жалпылай  айтқандай, 
математика ғылымын жедел дамытуды талап етті. 
Геометрия  жəне  оның  бейнелері  көрнекті  болғандықтан,  ол 
математикаландырудың  табиғи  құралына  айналды.  Алайда  механика  мен 
физиканы  зерттеп  білудегі  шешуі  түйін-шамаларды  өлшеу  əрекетінде, 
сандық, мөлшерлік ұғымдарды жасау жəне алгебра мен анализ формулалары 
арқылы өрнектелетін заңдарды іздеп табуда жатыр еді. 
Математикалық  əдістердің  əмбебаптығы  жөніндегі  идея  аса  ұлы 
ғалымдар  мен  философтардың  ақыл-ойына  үстемдік  етті  (Рене,  Декарт, 
Ньютон,  т.б.).  Əлемнің    механикалық-математикалық  бейнесінде  өзара 

қарбалас  өзгеретін  шамалар  арасындағы  функционалдық  тəуелділіктер, 
аналитикалық түрде бейнеленген заңдар алдыңғы қатарға шығады. 
Кейінірек  дифференциалдық  теңдеулер  арқылы  бейнеленетін  табиғат 
заңдары  көптеп  қарастырылып,  барған  сайын  маңызы  арта  берді.  Мұндай 
типтегі  заңдар  механика,  оптика,  геометрия  есептерінен  туындады. 
Сондықтан  математикада  дифференциалдық  теңдеулер  шешу,  олардан 
бастапқы теңдеулерге көшу-интегралдар табу, зерттеу əрекеттері өріс алды. 
ХҮІІ  ғасырда  ежелгі  тарих  немесе  орта  ғасырлар  дəуіріндегі  тек  қана 
«таза  математикамен»  шұғылданушы  оқымыстылар  өте  сирек  кездеседі. 
Мұның  негізгі  себебі  ғалымдар  практикалық,  техникалық  мазмұндағы 
есептерге  баса  назар  аудара  бастайды.  Жаңа  заман  математиктері  шетінен 
əмбебап,  шетінен  механик,  физик,  астроном,  тіпті  философ  болған.  Бірақ 
негігі бағыты ретінде бір немесе екі ғылымның басын ұстаған. 
ХҮІ  ғасырдың  аяғында  математика  арифметика  мен  алгебрадан, 
геометрия мен тригонометриядан тұрды. 
ХҮІІ  ғасырда  математикалық  зерттеулер  кеңінен  қанат  жайып  бірнеше 
математикалық ғылымдар пайда болы: аналитикалық геометрия, проективтік 
геометрия,  ықтималдық  теориясы,  ең  негізгісі,  шексіз  аздар  анализі  еді.  Ал 
кейінгі шексіз аздар есептеу ғылымының бір өзінен дербес пəндер дəрежесіне 
дейін  көтерілген  шексіз  қатарлар,  жай  дифференциалдық  теңдеулер 
теорияларының  бастамалары  өсіп,  өркен  жайды.  Осымен  қатар  алгебра, 
тригонометрия  бойныша  да  зерттеу  жұмыстары  толастамады,  логарифмдер 
пайда  болды,  жуық  есептеулердің  сан  түрлі  əдістері  дүниеге  келді.  Сандар 
теориясының кейбір қиын есептері шешілді. [1]. 
Қазіргі  машиналық  математиканың  түп  төркіні  болып  саналатын 
арифмометр жəне осыған қатысы бар логарифмдік сызғыш осы ХҮІІ ғасырда 
пайда болды.   
Сандар теориясында Ферма бастаған біраз ғана оқымыстылар еңбек етті, 
мұнда  кейбір  дербес  проблемалар  ғана  шешімін  тапты.  Ол  тек  кейін  ХҮІІІ 
ғасырда  ғана  Эйлер  мен  Лагранж  зерттеулерінің  арқасында  нағыз  ғылымға 
айналды, ал ықтималдық теориясы тек Я.Бернулли еңбектерінде жеміс бере 
бастаған  еді.Осы  ғылымдар  шоғының  ішінен  математиканың  болашақ 
дамуына өзгеріс енгізген екі саланы айтпасқа болмайды. Олар: аналитикалық 
геометрия мен шексіз аздарды есептеу. Декрат пен Ферма еңбектерінде негізі 
қаланған  аналитикалық  геометрия  мен  Ньютон  мен  Лейбниц  кемеліне 
келтірген  математикалық  анализ  математика  ғылымында  шын  төңкеріс 
жасады. 
 
3.2. Декарттың аналитикалық геометриясы 
 
Декарт  –заманындағы  асқан  ойшыл  –философ.  Ол  философиялық 
көзқарасы  бойынша  дуалист,  яғни  дүниенің  негізі  бір  –біріне  бағынбайтын 
тəуелсіз тең құқылы екі негізден, нəрседен –ручтан жəне материядан тұрады 
деген принципі басшылыққа алады. 

 Декарттың  философиялық  жүйесі  бойынша  дүниені  тануда  қойылатын 
бірінші  шарт  –еш  нəрсеге  сенбеу,барлығына  күмəндану,  алдын  ала  асығыс 
болжам  жасамау,  барлығын  ақыл  –ой  таразысына  салу,ой  елегінен  өткізу, 
осылай  ақиқатқа  ақыл  –ой  шексіз  сенгенше  күмəндана  беру.  Декарт  былай 
дейді: 
«Мен 
барлығына 
да 
күмəнданамын, 
бірақ 
өзімнің 
күмəнданатыныма,ойлайтыныма,пайымдайтыныма  күмəнданбаймын...  Мен 
ойлап тұрмын, ендеше мен бармын». 
Декарт  матирияның  мынадай  қасиеттері  бар  деп  есептейді:  оның 
ұзындығы бар, шексіз бөліне алады, ұдайы қозғалыста болады. Осы айтылған 
принциптерге  сүйене  отырып,Декеарт  барлығын  қамтитын  тұтас  бір  ғылым 
қалыптастыруға тырысады.  
Декарт  физика,  астрономия,  физиология,  математика  тəріздес 
жаратылыстану ғылымдары бойынша ауқымды жаңалықтар ашып,бұлардың 
болашақ дамуына үлкен үлес қосты.  
Декарттың ғылыми –философиялық еңбектерінің ең биік шоқтығы- 1637 
ж.  жарық    көрген  еңбегі  «Əдіс  туралы  ой-пікірлер»  жеп  аталады.  Бұл 
еңбектің «Геометрия» деп аталатын 4-ші бөлімі математика тарихына  өшпес 
із  қалдырды.  Декарттың  бұл  «Геометриясының»  негізінде  екі  идея  жатыр: 
айнымалы  шаманы  енгізу  жəне  тік  бұрышты  (декарттық)  координаттарды 
пайдалану.  Айнымалы  шама  екі  түрде-қисық  бойымен  қозғалатын  нүктенің 
ағымдағы  координаты  жəне  берілген  координаттық  кесіндінің  нүктелеріне 
сəйкес сандар жиынының айнамыл элементі түрінде қарастырылады. 
«Геометрия» үш кітаптан тұрады.  «Тек қана дөңгелектер мен түзулерді 
пайдаланып салуға болатын есептер туралы» деп аталатын бірінші кітабында 
аналитикалық  геометрияның  жалпы  принциптері  баяндалады.  Сонан  кейін 
геометриялық  қисықтардың  теңдеулерін  құру  ережелері  келтіріледі.  Декарт 
өзінің аналитикалық геометриясының жалпы ережелерін жалпы түрде толық 
келтірмейді, қиын есептер шешу арқылы көрсетеді.  
Декарттың  «Геометриясының  »  екінші  кітабы  «Қисық  сызықтардың 
табиғаты»  деп  аталады.  Ол  əр  түрлі  дəрежелі  қисықтарды  қарастыруға, 
оларды жіктеуге, қасиеттерін анықтауға арналған. Декарт тек жазықтықтақғы 
алгебралық  қисықтар  қасиеттерін  ғана  аналитикалық  əдіспен  зерттеумен 
шектеледі.  Сонымен  қатар,  Декарттың  «Геометриясында»  координат 
осьтерінің    қызметі  бірдей  емес:  тек  бір  ось  сайланып  алынады  да,екіншісі 
қажеттілігіне  орай  тұрғызылады.  Қисықтың  қасиеті  тек  бірінші  квадратта 
ғана қарастырылып, қалғандары еске алынбайды. 
Декарт  еңбегінің  математиканы  қайта  құруда  баға  жетпес  принциптік 
маңызы  болды.  Осының  арқасында  геометриялық  бейнелерді  зерттеуде 
геометриялық салуды қажет етпейтін тек алгебралық есептеулерге сүйенетін, 
таза  аналитикалық  əдістің  дамуына  даңғыл  жол  ашады.  Жаңа  геометрияда 
ғылым  тарихында  тұңғыш  рет  формула  арқылы  кескінделген  функция  
ұғымы ашық көрініс тапты. 
Аналитикалық  геометрияны  қазіргіге  жақын  түрге  келтіруші  ХҮІІІ 
ғасырдағы  данышпан  математик  Л.  Эйлер  (1707-1783)  болды.  Бұл  жаңа 

математика саласына ХҮІІІ ғасырдың аяғында француз математигі академик 
С. Ф. Лакура  (1764 -1848) «Аналитикалық геометрия» деп айдар тақты.[4]. 
 

ІҮ ТАРАУ. Қазіргі математика дəуірі (ХІХ ғасырдың І жартысынан). 
 
4.1. Математиканың жаңа салаларының қалыптасуы 
  
ХҮІІІ  ғасырдың    аяғы    мен  ХІХ  ғасырдың    бас    кезінен    бастап  
математиканың  дамуында  бірсыпыра  жаңа  белгілер  мен  сипаттар  орын  
алды. Математиканы  негіздеудің  көптеген  мəселелеріне  сын  көзбен  қайта  
қарау  əрекетіне  тоқтайық. Ол  ең  əуелі  математиканың  жаңа  тарауларын  
қамтиды.  Шексіз    аз    шамалар    жайлы    бұрынғы    анық    емес    бұлдыр  
түсініктің    орнына    шек    ұғымын    дəл    анықтайтын    тұжырымдар    пайда  
болды    (О.  Коши,  Б.  Больцано,  К.  Вейерштрасс).  Бұл    нақты    иррационал  
сандар    теориясын    жасауды,  функциялар    ұғымын    қайта    тексеруді  т.б.  
зерттеулерді    қажет  етеді.    Математикалық    анализді    негіздеу    жөніндегі  
зерттеулер    математиканың    жаңа    салалары-  жиындар    теориясы  (  неміс  
математигі  Г.  Кантор)    мен    нақты    шамалар    функциялары    теориясының  
шығуына  себепші  болды ( француз   математиктері  К. Жордан, Э. Борель 
т.б.).  Функциялар    теориясының    тың    жəне    жемісті    бір    саласы  
функциялардың    конструктивтік    теориясы    П.  Л.  Чебышев    пен    оның  
шəкірттерінің  жұмыстарынан  басталды 
       Осымен    қарбалас    геометрияның    да    негізгі    ұғымдары    жан-  жақты  
терең    сарапқа    салынды.  Бұл    жөніндегі    аса    үлкен    оқиғалар    қатарына  
бүкіл  математиканы  түсінуде  үлкен  бет  бұрыс  жасаған  евклидтік  емес  
геометрия    туралы    Н.  И.  Лобачевский    мен    Я.  Больяйдің    жұмыстары  
жатады. Геометрия  негіздері  туралы  осыдан  кейінгі  зерттеулер  геометрия  
аксиомаларының    толық    тізімін    жасауға    əкеп    тіреді  (  Д.  Гильберт),  Б. 
Риман    кез    келген    элементтерден    тұратын    жаратылыстағы    объектілерді  
қамтитын    кеңістіктің    жалпы    ұғымын    берді,  мұндай    кеңістіктердің  
қасиеттерін  зерттеуге  ХІХ ғасырда  дамыған  дифференциалдық  геометрия  
əдістерін    қолданудың    жолдарын    көрсетті.  ХХ  ғасыр    дифференциалдық- 
геометриялық    көп    бейнеліктерді    тұтас    қарастыру    саласында    үлкен  
жетістіктерге  қол  жетті. Фигуралар  мен  кеңістіктердің  жалпы  қасиеттерін  
зерттеу  барысында  математиканың  жаңа  саласы- топология  пайда  болды ( 
Б. Риман, А. Пуанкаре). 
       ХІХ  ғасырда    алгебрадан    алгебралық    теңдеулерді    радикал    арқылы  
шешу    мəселесі    айқындалды  (  Н.  Абель,  Э.  Галуа).  Сонымен    қатар  
алгебралық  амалдардың  жалпы  қасиеттері  мұқиет  зерттеле  бастады. Бұл  
жағдайда  ХХ ғасырда  алгебраның  жаңа  бұтағы- абстрактілі  немесе  жалпы  
алгебраның    жасалуына    əкеп    соқтырды.  Осыған    байланысты    енгізілген  
топ,  сақина,  өріс        ұғымдары    математика    мен    жаратылыс    танудың    əр  
түрлі  салаларында  кеңінен  қолданыс  тапты. Алгебра  мен  геометрияның  
шекарасында    норвег    математигі    С.  Ли  (1873    жылдан    бастап)    қазіргі  
физикада  мəні  зор  үздіксіз  топтар  теориясын  жасады. 
        ХІХ  ғасырда    математикалық    анализдің    қолданылу    өрісі    едəуір  
кеңейді.    Механика    мен    физиканың    жаңа    салаларының  (  үздіксіз    орта  
механикасы,    баллистика,  электродинамика,  магнетизм    теориясы, 

термодинамика)  негізгі    аппараты    ретінде    дифференциалдық    теңдеулер  
теориясы  жедел  дамыды. ХҮІІІ ғасырда  мұндай  түрдегі  кейбір  теңдеулер  
ғана  шешілген  болса, жалпы  əдістер  тек  ІХХ  ғасырда  ғана  дамытылды, 
физика  мен  механиканың  есептеріне  байланысты  қазір  де  дамытылуда. 
Аспан    механикасының    есептерінде    дифференциалдық    теңдеулердің  
сапалық    теориясы    қолданыс    тапты                                        (  А.  Пуанкаре,  А.М. 
Ляпунов). Дифференциалдық  теңдеулермен  қатар  интегралдық  теңдеулер  
теориясы  да  дамытыла  бастады. 
       Математикалық    анализ    бен    математикалық    физика    дамуының  
геометрия    мен    алгебрадағы    жаңа    идеялармен    түйіндесуі    нəтижесінде  
математика    мен    оның    қолдануында    ерекше    маңызды    қызмет    атқарып  
отырған  математиканың  үлкен  бір  жаңа  саласы-  функционалдық  анализ  
жасалды.  Статистикалық    физика    мен    əр    түрлі    мəселелерді    зерттеуге  
статистикалық    əдістерді    кең    қолдану    əрекеті    ықтималдықтар  
теориясының  алдына  көптеген  жаңа  міндеттер  қойды. Осы  негізде  бұл  
теория  ХІХ-ХХ ғасырларда  күшті  қарқынмен  дамытылды. 
       ХІХ-ХХ    ғасырлар    бойы    математиканың    көне    салалары    да    жаңа  
идеялармен,  нəтижелермен    толығып,  дамып    отырды.  Мысалы,  сандар  
теориясына    математикалық    анализ    əдістерін    қолдану    бұрын    элементар  
əдістер    арқылы    шешілмей    келе    жатқан    көптеген    мəселелерді    шешуге  
мүмкіндік  берді              ( мысалы, Гольдбах  прблемасы).[11]. 
        Теориялық    математиканың    зерттеулер    нəтижесін    практика    жүзінде  
қолдану    шешілуге    тиісті    есепке  (  мəселеге)    сан    түрінде    жауап    алуды  
талап    етеді.    Осыған    байланысты    ХІХ-ХХ    ғасырларда    математикадағы  
сандық  əдістер  оның  дербес  бір  тармағына  айналды. Көп  еңбек   тілейтін  
есептеуді    қажет    ететін    мəселелерді    шешуді    жеңілдету,  жеделдету    ісі  
əуелі    механика-математикалық    машиналар    мен    аспаптарды,  ал    ХХ 
ғасырдың    40    жылдарынан    бастап    тез    əрекетті    электрондық    есептеуіш  
машиналарды  талап  етті. ХІХ-ХХ ғасырларда  дамытылған  математиканың  
бір    тармағы    математикалық    логика    басқару    туралы    ғылым- 
кибернетикада  жəне  есептеу  техникасында  қолданыла  бастады. Есептеу  
техникасының    кең    қолданылуына    байланысты    программалау    теориясы  
пайда  болды. 
      ХІХ ғасырдың  ІІ- жартысынан  бастап  математика  тарихын  қарастыру  
жедел  қолға  алынды. ХХ ғасырдың  50  жылдарынан  бастап  математика  
ғылымының    басқару    теориясы,    кибернетика,  алгебралық    геометрия, 
информация    теориясы    т.б.    көптеген    жаңа    салалары    пайда    болды. 
Математиканың    осылай    қауырт    дамуына    жаратылыс    тану    ғылымдары  
мен    техниканың    математика    алдына    қойып    отырған    талаптары    түрткі  
болды.  Мысалы,  өндірістік    процесті    автоматтандыру    басқарудың  
математикалық  теориясының  тууына  себепкер  болды. 
Жетінші тарау 
             V-XIV ғасырда Европа елдеріндегі математика.   

жүктеу/скачать 1,46 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: