§ 1. V-XIV ғасырлардағы европа ғылымы, Герберт

    
Біздің заманымыздың V ғасырында Рим империясы құлайды. Христиан 
дінінің кеселді қырсығы қоғамдық саяси-экономикалық жағдайдың 
жайсыздығы (феодалдық томаға-тұйықтық, соғыстар т.б.) Европа ғылымы 
мен мəдениетін төмендетті. Бұл тоқырау XV-XVI ғасырларға дейін, яғни 
Европада қайта өрлеу заманына дейін созылады. Атақты орыс математигі, 
академик В.А.Стеклов осы дəуірді былай сиппаттайды: «Бұл кезең 
Европаның тас қараңғы надандықтың қапасына айналған жəне тоқырау 
тұңғиығына тұншыққан уақыт еді.... Ой-парасат өріс алған ғасырлар орнына 
мың жылға созылған ақыл-ойды семдіріп, ұйқыға батырған ғасырлар келді. 
Адамзат тарихында бұдан асқан ғаламат ауырлық болған емес.. 
    Христиан ілімін оқытып, насихаттаушы, шіркеу иелері қалың бұқараны, 
оның рухын бүтіндей өзіне қаратып, мүлдем бағындырып алды. Адамдардың 
надандығы мен топастығы шегіне жеткендігі сонша, христиан діні 
тарағаннан кейін жеті ғасыр өткен соң бүкіл Европада ең керемет оқымысты 
адам Монах Беда болды, оның өзі арифметиканың төрт амалын түсініп 
қолдануды ғана білуші еді». 
    Тарихта бұл дəуірді орта ғасырлар заманы деп атады. Ғылымның жалпы 
дамуын еске алсақ, осы мың жылдық үзіліс дəуірін шартты түрде екі кезеңге 
бөлуге болды: V-X ғасырлар жəне XI-XIV ғасырлар. Бірінші кезеңде өндіріс 
пен техниканың дамуы өте баяу өткен, шаруашылық шашыранды, 
мемлекеттер саяси жағынан өте орнықсыз болды; толассыз ішкі-сыртқы 
соғыстар болып тұрған. Осыған лайық мəдениет, ғылым дəрежесі мейлінше 
төмендеп хат танитын адамдардың өзі сирек болды. Ғылымда жаңалық ашу 
атымен болмады. Тек қана шіркеу төңірегіне жиналған бірен-саран сопылар 
(монахтар) қолында ежелгі гректер мен римдіктерден қалған жаратылыстану, 
математика сияқты бірлі-жарым трактаттар  ұшырасатын. Олардың оқуы, 
сауаты шамалы болғандықтан, бұл еңбектерді тек қайта-қайта көшіріп 
жазумен шектелген. Бұлардың ішінде грек-рим мəдениетін сақтауға 
тырысқан «сауаттыларының» бірі Боэций (480-524) еді. Ол бірнеше мазмұны 
тайыз математикалық шығармалар жазған. Солардың бірі «Арифметика 
негіздері» ежелгі пифагоршылардың сандар теориясын үстірт баяндауға 
арналған. Алайда «жоқтан бар» дегендей бұл шығарма бірнеше ғасыр бойы 
математиканы оқыту кəдесін жаратылып келген. Ол Күн сағатын орнатып, 
жұлдыздарға, Темірқазық жұлдызына бақылау жүргізеді. 
     Европада математиканы, математикалық білім беруді дамытуда оқу 
орындарының ашылуының мəні үлкен болды. Осындай бір мектепті 
негіздеуші (Францияда) кейінен Сильвестр ІІ деген атпен рим папасы болған 
Герберт (940-1003) еді.  
     Герберт математикалық мазмұнды бірнеше шығармалар жазса керек. 
Оның анық-қанығына күмəн келтірушілер де бар. Олар «Сандарды бөлу 
туралы кітапша», «Абақта есептеу ережелері»жəне геометриялық өлшеу 
жайлы шығарма. Олабақ деп аталатын есептегіш тақтада сандарға амалдар 
жүргізу əдісін үйретуге баса назар аударған. Герберт сандарды Рим 
цифрлары арқылы кескіндеген немесе сөзбен жазған, үшбұрыш ауданың табу 
ережесін қалдырған. 

     Боэйийдың шығармалары мен Евклид «Бастамаларының» үзінділерін 
түсіндіруде Герберт геометриялық негізі ұғымдарға сын көзімен қарайды. Ол 
нүкте, сызық, жазықтық денеден тыс кездеспейді, біз оларды тек оймен ғана 
бөліп қарастырамыз деген дұрыс пікірді жақтайды. 
     Герберт Испанияға сапар шегіп, онда араб математикасын үйренуді 
бастаған ең алғашқы батыс оқымыстыларының бірі болды. Бұл бастаманың 
Европа математикасының дамуындағы маңызы ерекше еді. 
 
§ 2. Математиканың жандана бастауы. 
      
    Жоғарыда көрсетілген XI-XIV ғасырларды қамтитын екінші кезең 
Европада өндіріс пен техниканың əуелі шабандау, соңыра бірте-бірте қауырт 
дамуымен сипатталады. Бұл кезеңде кен өндіру, металлургия өркендейді, 
неше түрлі тетіктер, механизмдер (сағат т.б.) əйнек-шыныдан əр түрлі 
бұйымдар жасау ісі жолға қойыла бастайды, қағаз шығару, кітап басу, 
оталғыш дəрі шығару игеріледі. Осындай техникалық прогрестің талабы 
жаратылыстану ғылымдары мен математикалық дамуына игілікті əсерін 
тигізбей қойған жоқ.  
   Бұл тұста Европада алғашқы университеттер пайда бола бастайды. 
Университеттер ең əуелі Италияның Болонье, Салерио қалаларында, кейінне 
Оксфорд пен Парижде (1167), Кембриджде (1209), Прагада (1347), Венада 
(1367) жəне басқа қалаларда ашылады. Бұл оқу орындарын қазіргі 
университеттермен еш теңестіруге болмайды. Олар бүтіндей шіркеуге 
бағынған. Университет студенттері алдымен дайындық  - өнер (артистік) 
факультетінде оқып, сонан соң негізгі – діни, заң, медицина факультеттердің 
біріне көшетін болған. Математика - өнер факультетінде оқытылған. Мұнда 
өтілетін пəндер екі басқаша бөлінген, біріншісі – тривиум дап аталады, бұған 
грамматика, риторика (шешендік өнері) жəне диалектика (айтыс), екіншісі – 
квадривиум бұған арифметика геометрия, астрономия, музыка енген.  
    Университетті бітірушілер діни қағидаларға жетік, ғылыми білімдерге 
шорқақ болған, өйткені квадривиум пəндеріне назар аз аударылып, қатаң 
талап қойылмаған. Мысалы, математикадан емтихан кезінде шəкірттер 
Евклидтің «Бастамаларының» алты кітабын қарап шықтым десе болды, 
жоғары баға алатын болған. 
    Европада философия, математика жəне басқа ғылымдардың жедел 
көтеріліп, қайта өрлеуіне араб ғұламалары еңбектерінің ықпалы ерекше зор 
болды. Батыс жəне Оңтүстік Европа елдері Испания, Сицилия арқылы Таяу 
Шығыс елдерімен тығыз мəдени байланыс жасайды.  
     XII ғасырдан бастап араб пен Европа елдерінің мəдени ортақ тілі – латын 
тіліне ғылымы – философиялық шығармаларды аудару ісі мейлінше кең 
көлемде жүргізіледі. 
    Аударма жұмысының ерекше қарқынмен жүргізілгені соншалық атақты 
аудармашы Жерар Кремонскийдің (1114 – 118 ғ.) бір өзі араб тілінен 
тоқсанға тарта еңбек аударған. Батыс Европа оқымыстылары аударма 
арқылы тіпті грек кеменгерлерінің туындыларымен де алғаш рет танысып, 

табысады. Міне, осылай европалықтар Аристотель, Евклид, Архимед, 
Птолемей, əл-Хорезми, əл-Баттани, əл-Фараби, Ибн Сина, Ибн əл-Хайсам, 
Насыреддин ат-Туси т.б. ғылым классиктерінің еңбектерінен нəр алады. 
А.С.Пушкин «арабтар Европаға алгебра мен Аристотельді тарту етті» деп 
айтуында терең астар жатыр. Шынында алгебраны, арифметиканы Европаға 
əкелген əл-Хорезми бастаған ғалымдар тобы болса, Аристотельді тазартып, 
дамытып таныстыруда əл-Фараби, Ибн Сина, Ибн Рошд жəне басқа философ-
ғұламалар еңбектері ерекше қызмет атқарады.  
    Мысалы, əл-Хорезмидің арифметикалық трактаты  XII ғасырда латын 
тіліне аударылып үнділердің ондық позициялық нөмірлеуі Европада тарала 
бастайды. Жаңа санау жүйесі XII ғасырдың ортасында-ақ Германия мен 
Австрияда мəлім болып, «Алгоризм кітабы» деген атпен əл-Хорезмидің 
еңбегіне еліктеген шығармалар құрастырылып тарала бастайды. 
    Үнді-араб цифрларына негізделген жаңа санау жүйесі халық арасына 
бірден тарап кете алмады. Оны жақтаушылар да, оған қарсы шығушылар да 
болды. Олардың бірін-алгоритмшілер, екіншілерін абақшылар деп атады. 
Абақшылар ескі рим цифрларын жəне абақ құралын пайдалануды, ал жаңа 
нөмірлеуді қабылдамауды ұсынды. Бұл күрес ұзақ уақыт жүрген.  
     XIII ғасырдан бастап шіркеу қанша күшті болса да    заман талабы 
техникалық прогресс, жалпы білімге деген құмарлық үстемдік алып, 
кейбір алдыңғы қатарлы университтерде жаратылыстану, математика 
ғылымдарын оқытуға мəн беріле бастайды. Бұл өзгеріс ең алдымен 
ағылшын, француз университеттерінде орын алды. Бұл тұрғыда 
Аристотель, əл-Фараби жəне олардың шəкірттерінің ғылыми 
философиялық еңбектерін қайта қарауға тура келді. 
  Осындай қозғалысты бастаушылардың бірі-ағылшын   Роджер  
Бэкон (1214-1294). Ол Оксфорд жəне Париж университетінде оқиды, 
кейін онда сабақ берген.  Роджер  Бэкон грек жəне араб тілдерінде 
жазылған ғылыми-философиялық бай мұраны еркін меңгереді. Ол 
өзінің «Басты еңбек», «Орта еңбек» жəне «Кіші еңбек» деп аталатын 
шығармаларын Шығыстың ұстаздары əл-Фараби, Ибн Сина 
энциклопедияларының заңды жалғасы деп білген. Мəселен, ол «Орта 
еңбекте» əл-Фарабидің  1140 жылы латыншаға аударылған 
«Ғылымдар тізбегіне» үлкен баға берген. 
  Роджер  Бэкон ғылыми ізденіс жұмысына жаңа леп, еркін рух 
əкеледі, өткеннің жақсы-жаманын парықтауға шақырады, əр түрлі 
діни ырымдар мен сиқырлықтарға үзілді-кесілді қарсы шығады. Өзі 
дін жолын ұстай тұра (ол монах болған) ғылымды діннен бөліп 
қарауды уақыздайды. Сондықтан да католик дін басшылары Бэконды 
«кəпір» деп жариялап, жиырма жыл абақтыда азаптаған. 
  Бэкон-математиканың рөлін жоғары бағалаған ғалым. Ол өзінің 
«Математиканың пайдасы туралы» деп аталатын кітабының төртінші 
тарауында математиканы басқа ғылымдардың кілті деумен қатар оны 
табиғат философиясының əліппесі деп атаған. Роджер Бэкон өзінен 
бұрынғы ғылым мен философияның жақсы өскелең жақтарын бойына 

сіңіре отырып, тəжірибе мен математикаға сүйенген жаңа 
эксперименттік ғылымның жаршысы болды. 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
ЛЕОНАРДО  ПИЗАНСКИЙ 
 
 
Европада математиканың қайта туып, жандануы Италиядан 
басталады. Бұл кездейсоқ емес еді, өйткені оның Жерорта теңізі 
жағалауында орналасқан қалалары ортағасырлар заманында 
дүниежүзілік сауда-саттық орталығы болды. Италия саудагерлері мен 
жиһанкездері шартарапты шарлап өздерінің мақсатты шаруаларын 
тындырумен қабат басқа елдердің ғылым мен өнеріне жіті көз тастай 
жүрген. Əйгілі Марко Полоның (1234-1323). Қытайға дейін барып 
көптеген Шығыс елдерін аралаған сапары тарихтан мəлім. 
  Италияда өндіріс, теңізде жүзу, əр түрлі құрылыс т.б. жұмыстар 
жедел жолға қойылып, математиканы қажет ететін істер басқа көрші 
елдерден бұрынырақ бой көрсетті. 
  Италияның сол тұстағы басты мəдени-сауда орталықтарының бірі 
Пиза қаласы болды. Мұнда 1170 жылдар шамасында бүкіл Европаға 
мəлім болған, еңбектері математика тарихына да үлкен із қалдырған 
көрнекті математик Леонардо Пизанский дүниеге келді. Оны ғылым 
тарихында Фибоначчи деп те атайды. Фибоначчи итальян тілінде  
Боначчоның баласы дегенді білдіреді. Оның əкесі, ірі саудагер болған. 
Ол əкесімен Алжирге келіп, математика бойынша тиянақты білім 
алады. Леонардо есейе келе сауда ісімен айналысады. Сирия, 
Солтүстік Африка, Испания, Сицилия қалаларына жолы түседі, бұл 
сапаларында да ол ғылыми ой-өрісін молықтыру əрекетін 
тоқтатпайды. Осылай кемелденген ғалым-математик болады. 
   Леонардо 1202 жылы «Абак туралы кітап» немесе «Арифметика» 
атты үлкен еңбек жазады (баспа жүзіндегі көлемінің өзі 459-бет). Бұл 
еңбек сол кездегі Орта теңіз жағалауын мекендеген елдердің 
математикалық білімдерінің жинағы, энциклопедиясы іспеттес. 
  «Арифметика» 15 тараудан тұрады. Алғашқы бес тарауы 
позициялық ондық нөмірлеуге негізделген арифметиканы баяндауға 
арналған. Леонардо Европада дау туғызған үнді санау жүйесін толық 
қуаттайды. Ол əл-Хорезми арифметикасын жетік меңгеріп, оны 
Европада таратуда зор еңбек сіңіреді. 
  «Арифметиканың» 6, 7 тараулары бөлшектерге амалдар қолдануға 
арналған. Ол бірнеше бөлшектердің ортақ бөлімін табуды жетілдіріп, 
бұл үшін ең кіші ортақ еселігін алу керектігін ұсынады. 

  Кітаптың 8-11 тараулары сауда есептерін шешуге арналған. 12-13 
тарауларда натурал сандар қатарларының қосындысы, 
арифметикалық, геометриялық прогрессиялар, бірінші дəрежелі 
анықталмаған теңдеулер қарастырылады.  Кейін көп елдерді аралап 
шыққан Леонардоның геометриялық прогрессияны қосындылауға 
келтіретін мынадай бір əзіл-есебі бар: «7 кемпір Римге бармақшы 
болады, əрқайсысы 7 қашырға мінген, əр қашырға 7 қапшық 
артылған, əр қапшықта 7 нан, əр нанның қасына 7 пышақ салынған, 
əр пышақтың 7 қынабы бар. Сонда барлығы қанша нəрсе болғаны 
осыған ұқсас есеп ежелгі Мысыр математикасында да кездеседі. 
  Он үшіншщі тарауда мынадай есеп кездеседі: «Егер əрбір жұп қоян 
ай сайын бір жұп көжектен туатын болса жəне кейінгі жұп бір ай 
өткен соң өзі де осылай өсіп-өнсе, оның үстіне бірде-бір көжек 
шығынсыз болса, онда бір жылда бастапқы бір жұп қояннан қанша 
қоян өніп өседі?» 
  Есептің шешуі белгілі бір сан қатарының қосындысы түрінде 
беріледі: 1+2+3+5+…………+144=376.  Бұл қатардың əрбір мүшесі 
үшінші мүшеден бастап алдыңғы тетелес екі мүшенің қосындысына 
тең болады, яғни 
1
1
−
+
+
=
n
n
n
a
a
а
    (n=2,3,………) рекуренттік формула 
арқылы анықталады. Осы қатар қазір математикада Фибоначчи 
қатары деп аталып жүр.  
  Кітаптың он төртінші тарауында квадрат жəне куб түбір табу 
в
а ±
 
түріндегі иррационалдықтарға амалдар қолдануға арналған. Куб 
түбірді жуықтап табу үшін Леонардо мынадай ереже ұсынады: 
.
1
)
1
(
3
3
3
+
+
+
≈
+
a
a
r
a
r
a
 
  Кітаптың ақырғы, яғни он бесінші таруының мазмұны əл-
Хорезмидің «Алгебрасына» жуық келеді, яғни бірінші жəне екінші 
дəрежелі теңдеулер жайында баяндалады. Мəселен, Леонардо əл-
Хорезми қарастырған квадрат теңдеудің алты канондық түрінің шешу 
жолын көрсетеді. Мұнда, əрі əл-Хоризми келтірген 
39
10
2
=
+
x
x
 
теңдеуі, əрі Əбу-Камилдің алгебралық трактатынан ауысқан 
материалдар да бар. Леонардо өз тарапынан қосқан жаңалықтар да аз 
емес. Мысалы, ол бұрын кездеспеген x+y=10, 
6
=
− y
x
xy
 теңдеу 
жүйесінің түбірін табады: 
31
3
5
+
−
=
x
,     
81
6
5
−
+
=
y
. 
  Леонардо кейде бұрын қарастырылған есептерді шешуді 
толықтырып отырады, кейде басқаша жалғасын табады. Мысалы, ол 
Əбу-Камилде кездесетін x+y=10; 
4
1
6
10
10
=
+
y
x
 жүйесін талдай келіп, 
a=x+y болғанда  
y
a
x
a
y
a
x
a
+
=
•
 болатынын дəлелдейді.  Осыдан кейін 

Əбу-Камил екінші теңдеудегі 10-ды x+y-ге ауыстырып, жүйені 
квадрат теңдеуге келтіреді. 
  Ал Леонардо бірінші бөлікті (х) 2-z, ал екінші бөлікті (у) 8+z деп 
алып, оны 
(
) (
)
16
8
2
=
+
•
−
z
z
-ға келтіріп шешеді. Ол мұны былай 
аяқтайды: «Енді алгебра бойынша əрекет істе, сонда нəрсенің 
(түбірдің) нөл екенін табасың; мұнан екі бөліктің біреуі 2, ал екіншісі 
8болатынын білесің». Сөйтіп Леонардо, математикада алғашқы рет 
түбірдің нөлге тең болу мүмкіндігін ашты. 
  Осы есепті жəне оның сандық варианттарын шешуі 
«Арифметикадан» келтірілген ең соңғы мəселе болып табылады. Бір 
қызығы Əбу Камилдің алгебралық трактаты да осы есеппен бітеді. 
Бұл-Леонардо Пизанскийдің Шығыс ұстаздарымен ғылыми-
педагогикалық байланысының тағы бір көрінісі. Леонардо бұл 
еңбегінде  Европа математикасында бірінші болып теріс сандарды 
енгізеді, оны үнділер сияқты «қарыз» деп түсіндіреді. Ол барлығын 
сөз арқылы баяндайды, математикалық таңбалауды (символиканы) аз 
пайдаланады. Мысалы, берілген немесе ізделініп отырған шаманы 
кескіндейтін кесінділерді бір немесе екі əріп арқылы таңбалайды. 
Бірер ғасыр өткен соң осыдан кəдімгідей символика қалыптаса 
бастайды.  
  Леонардо бұл күрделі де көлемді шығарманы жазу үшін грек, 
əсіресе, араб математиктерінен көп мағлұмат алады, оны өзі де ашық 
мойындайды. Бірақ өз бетінше көптеген тың есептер қосады. 
  Леонардо «Арифметикасы» 200 жылдан астам уақыт Европада 
математикалық шығарманың ең озық үлгісі болды. Қайта өрлеу 
заманында математиканың үлкен биікке көтерілуіне себепші болған 
бұл еңбектен XV-XVI  ғасырларда өмір сүрген математиктердің көбі 
тəлім алған. Леонардоның есептері бір кітаптан екінші кітапқа 
ауысып, көшіп отырды. Осындай есептердің бір тобын XVIII ғасырда 
жазылған, данышпан математик Эйлердің «Алгебрасынан» да табуға 
болады. 
  Кейін 1220 жылы Леонардо «Іс жүзіндегі геометрия» атты кітап 
жазып, онда жер өлшеу геометриясы мəселелерін ғана баяндамай, 
оған қоса шамаларды өлшеуге, 
арифметикаға, планиметрия жəне стереометрияға қатысы бар көптеген 
теоремаларды дəлелдейді. Мұнда ол бұрыннан белгілі нəтижелерді келтіріп 
қана қоймай, тың жаңалықтарды қосады. Мысалы, ол Архимедтегі белгілі 
үшбұрыштың медианалары бір нүктеде қиылысу фактісін келтіріп, оны 
өзінше дəлелдейді, Евклидте жоқ тік бұрышты параллелепипед 
диагоналының квадраты туралы теореманы келтіреді. 
     
π
-дің мəнін табу үшін Леонардо Архимед əдісін пайдаланып, шеңберге 
іштей жəне сврттай сызылған дұрыс 96 бұрышты көпбұрыштардың 
периметрлерін есептей келіп, мынадай теңсіздікті алады: 

5
1
458
1440
9
4
458
1440
p
p
π
. 
Сонда 
1418
,
3
≈
π
-ге тең болады. 
     Леонардоның «Квадраттар кітабы» шығармасы анықталмаған квадрат 
теңдеулерді шешуге арналған. Мұнда 
а
х
у
+
=
2
2
, 
а
х
z
−
=
2
2
  теңдеулерінің 
рационал шешуін табу жəне басқа мəселелер қарастырылады. 
     Леонардо математика жөнінде жекпе-жек сайыстарға жиі қатысып, онда 
қиын есептерді шығарып жүлде алған. Ол мəселен, римдіктердің дін 
басшысы II Фридрихтің оқымысты хатшысымен математикалық сайысқа 
түсіп, қазіргіше таңбалағанда 
20
10
2
2
3
=
+
+
х
х
х
 куб теңдеуін шығарған 
көрінеді. Ол кезде куб теңдеуді радикал арқылы шешу формуласы белгісіз 
болғандықтан, Леонардо бұл есепті тек жасанды əдіспен жуықтап шешсе 
керек. 
 
 
§4.XIII-XIV ғасырлардағы Европа математикасы. 
 
     Орта ғасырлар заманындағы Европа математикасы даму тарихында 
Леонардо Пизанскийдің замандасы Иордан Неморарийдің (1237ж. туған) 
еңбектері елеулі орын алады. Ол көрнекті механик жəне математик болған, 
арифметика, алгебра жəне геометрия салаларында көп шығармалар жазған. 
Ол «Он кітапта баяндалған арифметика» атты негізгі математикалық 
шығармасында ежелгі грек-рим математикасы дəстүріне сүйеніп сандардың 
жалпы арифметикалық қасиеттерін баяндайды. Бұл еңбектегі көзге түсерлік 
бір жаңалық – сандар орнына əріптерді пайдаланады. Мұндай əдіс 
математикада бұрын бірлі-жарым кездескен, бірақ Неморарий оны жүйелі 
түрде қолданады. Теоремаларды немесе есепті шешу ережелерін 
тұжырымдағанда ол шамаларды бұрынғыдай кесінділер немесе тікбұрыштар 
арқылы емес, əріп таңбасымен кескіндейді, ал əріп таңбасы мұнда кез келген 
санның таза арифметикалық символы қызметін атқарады. Алайда 
Неморарийда теңдік жəне алгебралық амалдарға арналған таңба əлі жоқ, 
сондықтан да əрбір жеке амал- нəтижелері қайта-қайта жаңа əріптік 
таңбалаулар мен белгілеуге мəжбүр болады тек 
b
а +
-нің орнына  
b
а ⋅
 деп 
жазады). Бұл белгілеу тəсілін ол өзінің  алгебрасында қолданып, аз да болса 
алгебралық символика жасауға талпыныс жасайды. Əрине, нағыз, кəдімгі 
символиканың ауылы əлі алыс еді. 
     Иорданның алгебралық шығармасы «Берілген сандар туралы» деп 
аталады. Төрт кітаптан, тараудан тұратын бұл трактатта сызықтық, квадрат 
теңдеулерге жəне олардың жүйелеріне берілген 115 есеп бар. 
     Неморарий мен Леонардоның шешкен есептері бірдей, бірақ олардың 
баяндауында елеулі айырмашылық бар. Неморарий есептердің нақты 
мазмұнына онша мəн бермейді, олар жалаң, дерексіз сандық мысалдар болып 
келеді. Ол теңдеулерді геометрияға немесе сауда- саттық есептеулеріне еш 
қолданбайды. Бұл трактат жалпы түрде шешілетін есептерді айрықша 

методикалық ретпен келтіріп, сонан кейін сандық мысалдар арқылы 
қолдануы көрсетілетін XIII ғасырдағы абстрактылы алгебраның арнаулы 
курсы деп атауға болады. 
     XIII ғасырда Леонардо Пизанский негізін салған математикалық дəстүрлер 
мен ізденістер XIV ғасырда біртіндеп, там-тұмдап, жаңа сапаға ұласуға 
дайындық ретіндегі сандық өзгерістер сипатында жалғастыра бастады деуге 
болады. Бұл ғасырда өмір сүрген Томас Брадвардин, Ричард Суайнсхед, 
Николь Орем сияқты оқымыстылар өз халдерінше математиканы дамытуға, 
оны физикаға, натурфилософияға қолдану бағытында əрекет жасады. 
Бұлардың ішінде XIV ғасырдағы Европаның ең көрнекті математигі болып 
саналатын Николь Оремнің орны бөлек. 
     Николь Орем (1323-1382) Францияда туып-өскен, Париж университетінде 
оқып, сонда магистрлік (ғылыми-педагогикалық атақ) қызмет атқарған, кейін 
епископ болған. Орем француз тілінде ең алғаш ғылым əдебиет 
жасаушылардың бірі, ол Аристотель шығармаларын француз тілінде 
аударып, осы тілде «Сфера туралы трактат» жазған. Оремнің біраз еңбектері 
астрономияға, механикаға арналған. 
     Математикада Оремнің ең көрнекті табысы қатынастар теориясын 
жетілдіруі болды. Ол бұл мəселеге «қатынастар туралы трактат» жəне 
«қатынастар алгоритмі» деген екі шығарма жазған. Кейінгі еңбегінде  Орем 
тұңғыш рет екі, үш, жалпы п-еселі қатынастар мен қатар біздің 
2
3
4
1
2
1
,
,
а
а
а
 т.б. 
дəрежелерімізге сəйкес келетін, жарты, ширек, бір жарым жəне басқа бөлшек 
рационал қатынастарды енгізеді: 
3
64
4
,
64
8
=
=
 өрнектерін салыстыра келіп, 
8
 саны 
4
-ке бір жарым қатынаста болады, яғни 
2
3
4
8 =
 деген қорытынды 
жасап, мұны  
4
2
1
1
=
⋅
⋅
р
 деп белгілейді, 
р
-proportio (қатынас) деген сөздің 
бірінші əрпі. 
     Мұнан кейін Орем сөз жүзінде көптеген бөлшек қатынастарға 
қолданылатын амалдар ережелерін келтіреді. 
n
n
n
n
n
n
m
n
m
n
b
a
b
a
b
a
b
a
a
а
1
1
1
1
1
1
1
,
)
(
,
)
(






=
⋅
=
⋅
=
 
mn
m
n
n
m
mn
m
n
n
m
b
a
b
a
b
a
b
a
1
1
1
1
1
1
,
)
(






=
⋅
=
⋅
 












=
=
n
q
n
mp
mp
p
m
a
a
a
/
1
2
1
2
)
(
)
(
. 
     Ол иррационал көрсеткішті «танылмайтын» немесе «айтылмайтын» 
қатынастар ретінде қарап, оларды «өте жақын келетін» рационал сандар 
арқылы шектеуге болатынын көрсетеді. 
     Оремнің еңбектерінде бөлшек алгоритмдер мен формальді алгоритмнің 
жасалуы, яғни дəрежелеуді бүтін бөлшек көрсеткіштер үшін жалпылау орта 
ғасыр алгебрасының елеулі табыстарының бірі деп саналады. 

     Тағы бір еңбегінде Николь Орем математиканы натурфилософияға 
қолдану төңірегіндегі схоластикалық ой-пікірлерді жинақтап, дамыта келіп, 
тік бұрышты координаттардың алғашқы формаларының бірі жазық тік 
төртбұрыш үшін бойлық жəне ендік ұғымдарын енгізеді, мұны уақытқа 
тəуелді өзгеретін физикалық құбылыстардың интенсивтілігін график түрінде 
кескіндеуге қолданады. 
     «Евклид геометриясының мəселелері» деп аталатын еңбегінде Орем 
континуумның бөлінгіштігі жəне үздіксіз шаманың шексіз көп бөліктерін 
қосындылауға байланысты 
.....
4
1
3
1
2
1
1
+
+
+
+
 
гармоникалық  қатарын қарастырып, оның жинақсыз болатынын дəлелдейді. 
Бұл үшін ол шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның қосындысын табу 
ережесін тағайындайды. 
 
 

жүктеу/скачать 1,46 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: