§1.  Шексіз аздар анализдіѕ бастамалары

Интегралдыќ есептеу јдістеріне ґте жаќын келетін, актуальды шекіз аз 
шамаларєа тікелей амалдар ќолдануєа сїйенетін јдісті  алєаш ўсынушы 
жоєарыда аталєан, ўлы енміс астрономы жне математигі Кеплер (1571-1630) 
еді. Ол – астрономиядаєы јйгілі їш заѕныѕ авторы. Кеплер былай дейді: 
«Планеталардыѕ радиус векторы теѕ уаќыттыѕ ішінде аудандары теѕ 
секторларды сызады (екінші заѕ) математикалыќ жолмен дјлелдеу їшін 
секторлар ґте кґп шексіз аз бґлінбейтін сызыќтардан тўрады».  
Кеплер шексіз аз шамаларды ќолдану јдісін «Шарап кїбілерініѕ жаѕа 
стереометриясы» деген еѕбегінде болыќ баяндайды. Мўнда Кеплер 
Архимедтіѕ «Шар жјне цилиндр туралы» кґрсетілген јдіске сїйеніп, оны 
ґзінше оѕайлатып, кґптеген ќисыќ пішінді денелердіѕ кґлемдерін аныќтайды. 
Ол, мысалы, Архимед ќасиетті деп санаєан «сарќу јдісініѕ»  ќатаѕдыєына аса 
назар аудармай, оныѕ идеясын тікелей тґтесінен пайдалануєа тырысады. 
Кеплер кез-келген фигура немесе дене, ґте кґп, шексіз аз бґліктердіѕ 
ќосындысынан тўрады (мысалы ол дґѕгелекті јрќайсысыныѕ теѕ бїйірлі 
їшбўрыш деп ќарауєа болатындай саны шексіз кґп, шексіз кішкентай 
секторлардан тўрады) дейді. Ол їшбўрыштардыѕ барлыєыныѕ биіктері бірдей 
(дґѕгелек радиусы), ал табандарыныѕ ќосындысы шеѕбер ўзындыєына теѕ 
болады (сонда дґѕгелек ауданы-
2
2
R
R
C
S
π
=
=
) деп ќарастырады. 
Осы сияќты Шар тґбелері оныѕ центріне орналсќан, ал табандарыныѕ 
ќосындысы шар бетіне теѕ болатын шексіз кґп, аса кіші конустардан тўратын 
болып шыєады ( Сонда шар кґлемі 
2
4
3
3
1
R
SR
V
π
=
=
, мўнда  R -сектор 
биіктігі).  
Кеплер Архимед ќарастырєан дўрыс ќисыќ денелерден айналу 
денелеріне кґшеді. Кеплер не бары 92тїрлі айналу денелерін ќарастырады. 
Сыртќы пішініне ќарай оларды Кеплер лимондар, алмалар, алмўрттар, тїрк 
сјлдесі т.б. деп атайды.  
Кеплердіѕ айналу денелері мен олардыѕ бґліктерініѕ кґлемін табу јдісі 
бірыѕєай. Ол еѕ јуелі ќарастырылып отырєан денені шексіз кґп теѕ 
бґлшектерге, «тілімдерге» бґледі. Бўл бґліктер топтастырылып, кґлемін 
есептеп шыєаруєа болатындай басќа денемен ауыстырылады. Егер тікелей 
ќосындылау мїмкін болмаса, олар олар берілгендерге пара-пар 
(эквивалиентті) басќа бґлшектермен ауыстырылады. Бўл јдісті мысал арќылы 
тїсіндірейік. 
 Кеплер ќимасы дґѕгелек немесе эллипс болып келген јр саќинаныѕ 
биіктігі ќиманыѕ центрі сызатын шеѕбер ўзындыєына теѕ, ал табаны саќина 
ќимасына теѕ цилиндрге шамалас болатынын дјлелдейді. Дјлелдеу јдісі 
мынадай: саќина, яєни тор 
 
                       
 
 
 
                       
 
                       
 
                       

 
 
                       
 
 (17-сурет) оныѕ центрі арќылы ґтетін јрі бетіне перпендикуляр 
жазыќтыќтар мен їлестерге бґлінеді. Биіктіктері јр тїрлі тілімдер табаны 
сондай, ал биіктігі еѕ їлкен жјне еѕ кіші биіктіктердіѕ арифметикалыќ ортасы 
болатындай цилиндрмен ауыстырылады. Осы цилиндршелермен тїзелген 
баєана теорема кґрнекті дјлелін береді. Одан јрі Кеплер саќина ќимасыныѕ 
пішініне байланысты тїрліше жалпылау жолын талќылайды. Кеплердіѕ 
айналу денелерініѕ кґлемін табу јдістері ќатаѕ емес еді, мўны Кеплердіѕ ґзі де, 
замандастары да білген. Сондыќтан актуальды шексіз аздарды ќосындылау 
тґѕірегінде ќызу айтыс жїріп, Кеплерді сынаушылар кґбейеді. Виеттіѕ шкірті 
шотландиялыќ А. Андерсон Кеплер шыєармасы жарияланєаннан кейін, бір 
жыл ґтпей, 1616 ж. «Архимедті ќорєау» атты арнайы кітап жазып, онда 
Кеплерді Архимедтіѕ јруаєын ќорлады деп айыптайды.  
Алайда ќатаѕ болмаса да Архимед їлгісімен жїргізілген элементтерді 
ќосындылау јдісініѕ жемісті екені дау туєызбайды. Шексіз аздарєа амалдар 
алгоритмін ќолданушылар кґбейеді. Бўлардыѕ ішінде, јсіресе Кавальери 
жасаєан бґлінбестер геометриясыныѕ орны ерекше еді. Италияныѕ кґрнекті 
математигі Кавальери (1598-1647) – Галелейдіѕ шјкірті. Галелейдіѕ ўсынуы 
бойынша ол 1629 жылдан бастап Болонье университетінде математика 
кафедрасы меѕгерушісі болады. Кавальери астрономия, есептеу техникасы, 
конустыќ ќималар, тригонометрия бойынша бірнеше шыєармалар жазєан. 
Соныѕ еѕ їлкен жетістігі математиканы дамытуда ерекше мјні болєан 
геометрияныѕ јмбебап јдісімен жасалєан бґлінбестер јдісін ойлап табуы 
болды. Бўл јдістіѕ жетілдірілген варианты оныѕ «Їздіксіздіѕ бґлінбестер» 
арќылы «Жаѕа тјсілмен таѕдалєан геометрия» (1635) жјне «Геометриялыќ 
алты тјжірибе» (1647) атты трактаттарында келтірілген. 
 «Бґлінбестер» јдісі жазыќ фигуралар денелер мґлшерін аныќтауєа 
арналєан. Бўл јдіс бойынша кез-келген фигура, дене ґлшемділігі бірден кем 
элементтер жиыны болып табылады. Жазыќ фигуралар «регуле»  деп 
аталатын белгілі бір баєыттаушы тїзуге параллель жїргізілген тїзулер 
кесінділерінен ќўрылєан. Мўндай абстракциялыќ кесінділер саны шексіз. 
Олар екі жанама аралыєында орналасады. Геометриялыќ денелерде 
«Бґлінбестер» їшін регуле ретінде сайлап алынєан белгілі бір жазыќтыќќа 
параллель жазыќтыќтар алынады. Олар шексіз кґп, олардыѕ шекарасы екі 
жанама жазыќтыќ болады. Кавальери енгізген барлыќ бґлінбестер енсііз 
сызыќтардан тўратын аудандарды, шексіз жўќа жазыќтыќтарда тўратын 
денені тїсіндірудегі логикалыќ олќылыќтар бїкіл, «бґлінбестер» жиыны 
туралы тўжырым жасауєа мїмкіндік бермейді. Сондыќтан да Кавальери 
«бґлінбестер» ќатынастары тўраќты болєан жаєдаймен єана шектеліп, 
фигуралар мен денелердіѕ ќатынастарфын ќарастыруєа мјжбїр болады.  
 
 
 
 
 
 
 
( )
x
f
y
1
1
=
( )
x
f
y
2
2
=

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Осыдан барып «бґлінбестер» геометриясыныѕ тїп мјнісімен ол былай 
тўжырымдайды: «екі жазыќ немесе денелік фигуралардыѕ ќатынастарын табу 
їшін белгілі бір регуле бойынша алынєан екі фигураныѕ бїкіл «бґлінбестері» 
арасындаєы ќатысты табу жеткілікті».  
Бўл ќорытынды практика жїзінде ќазіргі мына типтегі тўжырымєа 
пара-пар.
x
осі жјне 
a
x =
, 
b
x =
 (18-сурет) тїзулермен шектелген екі фигура 
берілсін жјне сјйкес 
)
x
(
1
f
1
y =
 пен 
)
x
(
2
f
2
y =
 болсын. Сонда аудандар 
ќатынасы былай болады: 
( )
( )
.
b
a
dx
x
2
f
b
a
dx
x
1
f
1
k
k
2
y
1
k
k
1
y
2
S
1
S
∫
∫
=
∑
∞
=
∑
∞
=
=
 Егер 
c
k
2
y
k
1
y
=  болса, 
онда 
.
k
2
S
1
S
=  
Кавальеридіѕ «Геометриясыныѕ» жетінші кітабыныѕ 1=теоремасында: 
егер кейбір берілген жазыќтыќќа (немес тїзуге)  параллель жїргізілген барлыќ 
сјйкес ќималарыныѕ аудандары (немес ўзындыќтары) ґзара теѕ болса, онда 
мўндай екі фигураныѕ кґлемдері де (аудандары да) ґзара теѕ болатыны 
длелденеді. Бўл сґйлем «Кавальери принципі» деген атумен геометрия 
оќулыќтарынан белгілі.  
Кавальери ґзініѕ јдісін пайдаланып жјне толымсыз индукцияны 
ќолданып  
(
)
∫
=
b
a
9
,..,
2
,
1
n
dx
n
x
 интегралына эквивалиент келетін кубатуралар 
табады. Алайда Кавальериде, сол тўстаєы басќа да шексіз аздар анализін 
бастаушылар тјрізді  јлі де айќын  айтылєан шекке кґшу, интеграл жјне таєы 
басќа ўєымдармен ќалыптасќан символика жоќ еді, жаѕа алгебралыќ аппарат 
та пайдаланылмады. Бјрі тек сґз жїзінде геометриялыќ ауыр тілмен берілді. 
Солай бола тўра «бґлінбестер» дісі кґптеген ќиын есептерді шешуге 
мїмкіндік туєызды. Бўл јдісті јрі ќарай іле –шала Торичелли , Паскаль, 
Валлис т.б. матемаитктер жан –жаќты дамытып, шын мјніндегі интегралдыќ 
есептеудіѕ шыѕына іргетас ќалады.  
ХХІ єасырда болашаќ дифференциалдыќ јдістіѕ нышаны, элементтері 
бой кґрсете бастайды. Бўл ќарсаѕда дифференциалдыќ есептерді шешу, 
ќисыќтарєа жїргізілген жанаманы аныќтау, функциялардыѕ максчимумы мен 
минимумын табу, алгебралыќ теѕдеулердіѕ еселі тїбірлерініѕ шартарын 

іздестіру, механикада траекторияныѕ кез-келген нїктесіндегі бір ќалыпты 
емес ќозєалыстыѕ жылдамдыєын аныќтау сияќтылар жалпы јдіспен емес, јр 
тїрлі јдістермен шыєарылады. Јркім ґз шама-шарќына ќарай јрекет жасады. 
Бўл баєыттаєы ізденістер мен жекелеген жетістіктерді Галелей, Декарт, 
Ферма, Барроу т.б. бірсыпыра оќымыстылар еѕбектерінен ўшыратамыз. Бўл 
жґнінде тек бірер мысалдармен шектелмекпіз.  
   Аналитикалыќ геометрияны жасаушылардыѕ бірі Ферма 1629 ж 
«Максимум жјне минимум табу» атты шаєын шыєармасында кейіннен шексіз 
аздар анализінен тўраќты орын алєан «функцияныѕ экстремумын табу» јдісін 
жасайды. Ол јуелі бїтін алгебралыќ кґпмїше 
( )
−
x
f
тіѕ экстремумын табудыѕ 
жалпы ережесін тўжырымдайды. Ќазіргі математикалыќ анализдіѕ 
таѕбалануы бойынша Ферманыѕ јдісі 
(
)
h
x
f
+
 ґрнегінен тўрады жјне ол жуыќ 
тїрде 
( )
−
x
f
ке теѕестіріледі. 
Сонан кейін 
(
) ( )
x
f
h
x
f
=
+
 жуыќ 
теѕдігінде теѕ мїшелер ќысќартылады 
(
h
-тіѕ мїмкін жоєары дјрежесіне 
ќысќартылады). Еѕ соѕында, јлі де 
болса, 
h
 кґбейткіші ќалып ќойєан 
мїшелер алынып тасталады. Сонда 
шыќќан теѕдеуді шешу 
( )
x
f
 еѕ їлкен 
немесе  еѕ кіші мјнді ќабылдайтындай 
х-тіѕ мјнін табуєа мїмкіндік береді.  
Фермаеныѕ бўл ережесі ќазіргі 
дифференциалданатын функцияныѕ 
экстремумыныѕ ќажетті шартымен дјл 
келеді.: 
(
) ( )
( )
.
0
x
f
h
x
f
h
x
f
'
0
n
Lim
=
=
−
+
→
  
                     19-сурет 
 
 
 
                     
 
                     
 
                     
 
                     
 
                     
 
                     
 
                     
 
                     
 
Айта кетерлік бір нјрсе, Ферма атап айтпаса да 
h
 шамасын шексіз аз деп 
ќарайды. Таєы бір еѕбегінде Ферма осы јдісті  пайдаланып, ќандай да бір 
ќисыќтыѕ берілген нїктелеріне жїргізілген жанаманы табуды ќарастырады. 
( )
0
x
f
=  алгебралыќ ќисыєыныѕ кішкентай  MN доєасына 
SMN
 ќимасын 
жїргізу арќылы MNP  сипаттамалыќ їшбўрышы тўрєызылады (19-сурет). 
MRS
~
MNP
∆
, осыдан 
,
PN
MF
*
MR
SR =
 немесе бізге їйреншікті таѕбалау 
бойынша 
( )
(
) ( )
x
f
h
x
f
h
x
f
SR
−
+
=
. Сонан соѕ Ферма ќимадан жанамаєа кґшеді де 
0
h =  деп алып, 
1
1
y
y
S =
 теѕдігін 
шыєарады.  
S
P
N
M
R
h

Ферма жанама табу јдісін 
( )
0
y
,
x
f
=  функция жаєдайына да ќолданады. Мўнда 
табылєан ґрнекті біздіѕ жазуымыздаєы 
0
y
f
y
x
f
1
=
∂
∂
+
∂
∂
 теѕдеуіне оп-оѕай кґшіруге 
болады. Ферма тек алгебралыќ полиномдыќ функцияларды ќарастырады. Егер 
зерттелінетін функцияларда иррациональдыќ кездесе ќалса, одан теѕдеудіѕ екі жаєын 
дјрежелеп ќўтылады.  
Шексіз аздар анализініѕ дјстїрлі «ескі» математика ќўрсаєындаєы 
эмбриональдыќ даму кезеѕініѕ соѕы дифференциалдыќ жјне интегралдыќ 
зерттеулердіѕ байланысы мен олардыѕ ґзара кері амалдар екенін таєайындау болады. 
Бўєан тїрткі болєан себептер бірнешеу. Олардыѕ ішіндегі еѕ негізгісі жанамаларєа кері 
есептер еді. Бўл есептердіѕ тїп мјнісі, - ќазіргі терминмен айтќанда, дифференциалдыќ 
теѕдеулерді шешу. Мјселен 
( )
x
f
dx
dy
=
 теѕдеуін интегралдау. Бўл салада Шотландия 
математигі Д. Грегори, аєылшын Валлис бірсыпыра нјтижелерге жетті. Кґп ўзамай 
геометрия терминдері арќылы квадратура (аудан табу) есептері мен жанама жїргізу 
есептерініѕ ґзара кері екендігі туралы жалпы тўжырым айтылды. Валлистіѕ шјкірті, 
Ньютонныѕ до ы Кембридж университетініѕ профессоры Барроу ( 1630-1677) болатын. 
Ол мўны ґзініѕ «Геометрияж жјне оптика жґніндегі дјрістерінде» дјлелдейді. Жаѕа 
анализ символикасы бойынша бўл теореманы былай ґрнектеуге болар еді: 
∫
=
x
0
zdx
y
 
теѕдеуінен 
zdx
dy =
 дифференциалдыќ теѕдігі жјне керісінше 
zdx
dy =
 
дифференциалдыќ теѕдеуінен  
∫
=
x
0
zdx
y
 интегралдыќ теѕдігі шыєады. Жаѕ анализ 
тілінде Барроу теоремасы жјне оєан дейінгі осы тектес теоремалар жоєарєы шегі 
айнымалы болып келшген интегралды есептеумен диффернециалдаудыѕ ґзара кері 
сипатта болатынын бейнелейді.  
 Осы нтижеге сїйеніп, Барроу кґптеген жанамаєа кері есептерді шешеді. Оныѕ 
шыєармалары Ньютон , Лейбниц жјне басќа оќымыстыларєа кеѕінен мјлім болєан.  
 Сонымен,  XVII  єасырдыѕ  ортасына таман математикада диффернциалдыќ жјне 
интегралдыќ есептеулерді ашуєа толыќ негіз ќаланады.  
 
 
§2. Исак Ньютон жјне оныѕ флюксиялары теориясы 
XVII  єасырдыѕ екінші жартысында математиканыѕ жаѕа саласы –шексіз аздар саласы 
ќалыптаса бастайды. Анализдіѕ ќалыптасуына себепші болєан дифференциалдыќ жјне 
интегралдыќ есептеудіѕ шыєуы еді. Бўл есептеу математиканыѕ дербес таруы ретінде 
алєашќыда екі тїрде: И. Ньютон жјне аєылшын ізбасарлары еѕбектерінде флюксиялар 
теориясы, ал Г. Лейбниц жјне оныѕ европалыќ шјкірттерінде дифференциалдарды 
есептеу тїрінде беріледі.  
Анализдіѕ уаќыт жґніндегі алєашќы ашылєан тїрі – флюксиялар теориясы. Бўл бізге 
«Ньютон заѕдары», «Ньютон биномы», «Ньютон формуласы», «Ньютон јдісі» деп 
жадымызєа жастай сіѕіскен кјнігі, танымал есім. Тарихи тўрєыдан алып ќараєанда, 
Ньютон ХVII єасырдаєы бїкі жаратылыстану  єылымдарындаєы еѕ кґрнекті тўлєа. 

Оныѕ еѕбектері ќазіргі кездегі басты-басты тґрт єылымєа –механика, математика, 
физика, астрономияєа іргетас болып ќаланды. Исаак Ньютон 1642 ж. Кембридждіѕ 
(Англия) маѕында орналасќан Вуастроп  деревнясында, фермердіѕ отбасында дїниеге 
келген. 1665 ж. Кембридж университетін бітіріп, бакалавр деген єылыми дјреже 
алады. 1668 ж. Ньютон магистр дјрежесіне ие болады.  1669 ж. ґзініѕ ўстазы жјне 
досы, жоєарыда айтылєан Барроудыѕ орнына математика профессоры болып 
таєайындалады. Барроу сол кездегі аєылшын оќымыстылары ішіндегі еѕ 
кґрнектілерініѕ бірі саналатын. Алайда ол шјкірті Ньютонныѕ таланты мен 
білімпаздыєын баєалап, мойындап оєан ґз орнын, кафедрасын талассыз, ќызєанышсыз 
ґз еркімен босатып берген. Бўл бўрын соѕды – соѕды єылым мен ґнер тарихында сирек 
кездесетін ізгілік, адамгершілік їлгісі болып саналады. Ньютонныѕ єылымдаєы еѕ ўлы 
їш жаѕалыєы бар: олар бїкіл јлемдік тартылыс заѕы, аќ жарыќтыѕ жіктелуі- 
дисперсиясы, флюксиялар теориясы, яєни математикалыќ анализдіѕ негізі. Мўныѕ 
барлыєыныѕ да бастапќы идеясын ол 24 жасќа толмай-аќ білген. Кейін жўртшылыќќа 
жариялаєан. Бўл шаќтаєы ґзініѕ аќыл-ой јрекетініѕ єажап жемісі туралы Ньютон 
ґмірініѕ соѕына таман мынадай маєлўматтар береді: « 1665 жылдыѕ бас кезінде мен 
математикада жуыќ ќатарлар јдісін  жјне екі мїшеліктіѕ (биномныѕ) кез келген 
дјрежесін (Ньютон биномы формуласы. А. Ќ.) таптым. Дл осы жылдыѕ мамыр айында 
Грегори мен Слузияныѕ жанамалар јдісін жетілдірудіѕ, ќарашада флуксияныѕ тура 
јдісін ўсындым (диффернциалдыќ есептеу А. Ќ.) , келесі жылдыѕ ќаѕтар айында жарыќ 
тїстері (дисперсия) теориясы идеясына келдім, ал мамыр айында флюксияныѕ кері 
кері јдісіне (интгералдыќ есептеу А. Ќ.) кірстім. Осы жылы Ай орбитасына дейін јсер 
ететін ауырлыќ центрі туралы ойлаумен болдым; сфера ішінде айналушы дененіѕ сол 
айналу периодтарыныѕ ґзара ќатынасы олардыѕ орбита центрінен ќашыќтыќтарымен 
бір жарым ќатынаста болатыны жґнінде Кеплер заѕын, планеталарды орбиталарында 
ўстап тўратын центрден ќашыќтыќтарыныѕ квадратына кері пропорционал болатынын 
шыєардым; сонымен ќабат, Айды орбитасында ўстап тўрарлыќ кїшті Жер бетіндегі 
ауырлыќ кїшімен салыстырып, олардыѕ жуыќ тїрде теѕ болатынын аныќтадым. Мўныѕ 
барлыєы 1655-1666 жылдары оба ауруы кезінде жасалды. Осы мезгілде мен 
жастыєымныѕ еѕ бір жаќсы шаєын басымнан кешірген едім, математика жјне 
философиямен кейін мўндай шабытпен шўєылданєан емеспін. Мўнда Ньютонныѕ 
«оба ауруы кезі» деп отырєаны  Англияда 1665ж  басталєан сўрапыл, жойќын індет. 
Осы аурудан бір єана Лондонныѕ ґзінде жїз мыѕдай кісі опат болєан. Кґп адам бас 
сауєалап, ќалалардан ќашып деревнияларды паналайды. Ньютон да туєан аулы 
Вультропќа барып, екі жыл тапжылмай отырып жемісті еѕбек еткен.  
Ньютонныѕ єылыми жїйесінде математика- табиєат туралы жалпы єылым – 
натурфилософияныѕ бґлінбес бір бґлігі енеді. Ньютонныѕ еѕ басты еѕбегі математика 
жетістіктері мейлінше мол пайдаланылады. Јсіресе, аспан денелерініѕ ќозєалыс 
теориясы ќатаѕ математика тілінде баяндалады. Ол математикалыќ јдістерді 
ќолданып, Кеплер заѕдарынан бїкіл јлемдік тартылыс заѕын ќорытып шыєарады. Бўл 
їшін оєан ґзіне дейінгі математика аппаратын білу жеткіліксіз болды, математиканыѕ 
оныѕ табиєат ќўбылыстары заѕдылыќтарын (ќозєалыс, ылдамдыќ, їдеу) зерттеп білуге 
ќолданудыѕ кґп мселелерін жаѕаша, тыѕнан шешуге тура келді.  
 
Ньютонныѕ флюксиялар јдісі бастапќы механиканыѕ математикалыќ аппараты 
ретніде пайда болады. Мўнда їздіксіз механикалыќ ќозєалыстыѕ сан алуан тїрлерініѕ 

абстракциялары болып енгізілген айнымалы шамалар зерттеледі. Олар флюенталар 
яєни аєымдаєылар (Латынныѕ fluere-аєу деген сґзінен алынєан) деп аталады. Барлыќ 
флюенталар тјуелді айнымалылар,  олардыѕ жалпы аргументі –уаќыт, онан кейін аєу 
жылдамдыєы, яєни уаќыт бойынша туынды енгізіледі. Олар флюксиялар деп аталады. 
Айнымалы шама болєандыќтан, флюксиядан флюксия табуєа болады.т.с.с. 
Флюентаны у деп белгілейді , ол бірінші, екінші, т.с.с. флюксалар символдары у,у,у 
т.с.с. болады. Лездік жылдамдыќтарды – флюксияларды есептеу їшін Ньютон оларды 
моменттер деп атаєан. Уаќыт  моменттіѕ таѕбасы. Сонда у флюентасыныѕ моменті оу, 
яєни лездік жылдамдыќтан уаќыт моментіне кґбейтіндісі. Негізінде флюентаныѕ 
моменті ќазіргіше айтќанда, оныѕ дифференциалы.  
          Флюксиялар теориясында механикалыќ, сондай-аќ математикалыќ терминдер 
арќылы тўжырымдалєан екі басты есеп шешіледі: 1. Берілген жол бойынша берілген 
уаќыттаєы ќозєалыс жылдамдыєын аныќтау, басќаша айтќанда, флюенталар 
арасындаєы берілген ќатыстар бойынша флюксиялар арасындаєы ќатыстарды 
аныќтау; 2. Берілген ќозєалыс жылдамдыєы бойынша берілген уаќыт ішінде жїріп 
ґтілген жолдды аныќтау. Басќаша айтќанда, флюксиялар арасындаєы берілген 
ќатыстар бойынша флюенталар арасындаєы ќатыстарды аныќтау. Флюксиялар 
теориясыныѕ тура есебі деп аталатын бірінші есеп, жалпы алєанда, функцияны 
дифференциалдау есебі жјне табиєаттаєы ќарапайым (элементтер) заѕдылыќтарды 
ґрнектейтін дифференциалдыќ теѕдеуді табу болып табылады. Екіншісі- флюксиялар 
теориясыныѕ кері есебі –жалпы тїрде ќойылєан дифференциалдыќ теѕдеулерді 
интегралдау есебі болады. Сонымен, флюксиялар теориясында интегралдау еѕ јуелі 
аныќталмаєан интегралдау тїрінде енгізіледі.  
Тура есеп їшін Ньютон бірыѕєай ереже- функцияларды дифференциалдаудыѕ 
алгоритмін енгізеді. Ньютон оны мысал арќылы тїсіндіреді. Флюенталар арасында 
0
y
axy
ax
x
3
2
3
=
−
+
−
 ќатынасы берілген. Енді осы ќатынасты лездік ґзгеріске тїскен 
флюенталар їшін,яєни јрбір флюентаєа оныѕ моменті ќосылєан жаєдайда лайыќтап 
жазайыќ: 
(
)
(
)
.
0
)
0
y
y
(
)
0
y
y
(
0
x
x
a
)
0
x
x
(
a
0
x
x
2
3
=
+
−
+
+
+
+
−
+
  
Бином формуласы бойынша жіктесек,  
0
0
y
0
y
0
yy
3
0
y
y
3
y
0
y
0
ax
0
ayx
0
axy
axy
00
x
0
0
axx
2
ax
0
x
00
xxx
3
x
3
x
3
3
2
3
2
2
3
3
2
3
=







−
−
−
−
−
+
+
+
+
+
−
−
−
−
+
=
+
  
Бірінші баєана шарт бойынша нґлге теѕ, ќалєан мїшелерін 0-ге бґлеміз. Содан кейін 
шексіз аз уаќыт моменті (0) бар мїшелерді алып тастаймыз. Ќалєан мїшелер 
флюксиялар арасындаєы ќатысты береді.   
    
.
0
y
y
3
axy
ay
x
ax
2
x
x
3
2
2
=
−
+
+
⋅
−
 
Бўл јдісті Ньютон ереже тїрінде тўжырымдаєан.  Айнымалыныѕ дјрежелері бойынша 
орналстыру; Арифметикалыќ прогрессия мїшелеріне жјне 
x
x
немесе 
y
y
 -ке сјйкес 

кґбейт. 3. Кґбейтінділер ќосындысы флюкциялар арасындаєы ќатысты береді: 
axy
y
y
3
axy
axx
2
x
x
3
0
,
y
y
,
0
,
y
y
3
x
ax
axy
0
y
0
,
x
x
,
x
x
2
,
x
x
3
y
ayx
ax
x
2
2
3
2
3
3
2
3
+
−
+
−
+
−
+
+
−
−
+
−
 
Дифференциалдыќ есептеуді јрі ќарай кемелдендіру –полиномдыќ емес 
функцияларды дифференциалдау, функциялардыѕ экстремумын іздестіру, 
геометриялыќ жјне механикалыќ ќолданулар Ньютонєа елеулі ќиындыќ келтірген 
жоќ. Ирационал функциялардан флюксиялардыѕ флюксиялары кїрделі функцияны 
дифференциалдау ережесі бойынша алынды: мысалы, егер  
2
y
ax −
болса 
,
y
ax
z
2
2
−
=
  онда 
yy
2
ax
zz
2
−
=
 ,      
.
y
ax
2
yy
2
ax
x
2
yy
2
ax
z
2
−
−
=
−
=
 Бўдан кїрделірек 
жаєдайда Ньютон функцияларды дјрежелік ќатарлар арќылы кескіндеп, сол 
ќатарларєа амалдар ќолдануєа ўмтылєан. Ол ќарастырєан функциялар шеѕбері 
шектеулі болєандыќтан, бўл сияќты шектеулер кїмјн туєызбаєан.  
 
Флюксиялар теориясыныѕ кері есебі: флюксиялар арасындаєы белгілі ќатыс 
бойынша флюенталар арасындаєы ќатыстарды табу -ґзініѕ ќойылысы жґнінен ґте 
жалпы проблема. Ол кез-келген дифференциалдыќ теѕдеулерді интегралдау есебімен 
пара-пар. Ньютон бўл жалпы проблеманы біртіндеп шешкен жјне шешу нјтижелерін 
тікелей айналдыру жолымен –аќ Ньтон ґте кґп квадратураларды табады. Кейіннен 
оєан тўраќты шаманы ќосу ќажеттілігін байќайды. Одан кейін  
( )
y
,
x
M
M =
жјне  
( )
y
,
x
N
N =
 функциялары бїтін рационал болып келген ќарапайым теѕдеуін айналдыру 
амалы бастапќы, алєашќы функцияєа келтірілмейтіні мјлім болады.  
Тура јдісті тікелей айналдыру нјтиже бермеген кезде Ньютон Флюксия теориясыныѕ 
јмбебап ќўралы ретінде функцияларды дјрежелік ќатарларєа жіктеп баєады. Бўл їшін 
ол ґзіне дейінгі бўл тўрєыда жинаќталєан јдіс –тсідердіѕ барлыєын пайдаланып 
толыќтырып, кґп тјжірибе жинаќтайды. Олардыѕ ішінде математикалыќ анализде кґп 
ќолданылатындары а) дјреже кґрсеткіші бґлшек жјне теріс болып келген б) бґлшек 
рационал функцияларды алымын бґліміне тікелей бґлу, в) јр тїрлі тїр ґзгерістердегі 
(модификация) аныќталмаєан коэффициенттер јдісі; г) айнымалыларды ауыстыру, д) 
ќатарларды айналдыру.  
Кейінгі јдісті мысалмен тїсіндіру ќолайлы болу їшін Ньютон центрі коодинаттыѕ бас 
нїктесі болатын бірлік шеѕбердіѕ доєасыныѕ ўзындыєын есептей келіп доєа элементін 
табады. Біздіѕ таѕбалау бойынша 
(
)
x
arcsin
s
;
x
1
dx
ds
=
−
=
 немесе биномдыќ теореманы 
(
)




−
=
−
−
2
1
2
2
x
1
x
1
1
 пайдаланып, ќатарєа жіктесе 
...
x
16
5
x
8
3
x
2
1
1
dx
ds
6
4
2
+






+
+
+
=
 . 
Мїшелеп интегралдасаќ 
...
40
x
6
x
x
x
arcsin
x
1
dx
s
5
2
x
0
2
+
+
+
=
=
−
=
∫
  

Ендігі мјселе кері функция їшін, яєни 
x
sin їшін ќатар табуєа тіреледі. Бўл айналдыру, 
яєни 
−
=
s
sin
x
і ќатарєа жіктеу аныќталмаєан коэффициенттер јдісін біртіндеп 
жуыќтау јдісіне ўштастыр аќолдану арќылы табылады. 
Ньютон флюксиялар теориясыныѕ аса ќиын мјселелерін 
n
де ќозєайды. Мјселен, ол 
1676 ж. Жазылєан бір хатында биномалды дифференциалдаудыѕ интегралдану 
шарттарын келтіреді:   
( )
(
)
2
n
z
f
e
az
y
+
=
θ
  
Интегралдануы їшін  
η
+
θ 1
 немесе 
λ
+
η
+
θ 1
 бїтін оѕ сан болуы ќажет.  
Ньютон флюксиялар теориясы туралы нјтижелердіѕ кґпшілігін ХVII є. 60-70ж алєан. 
Алайда  бўл  таќырыпќа  жазєан  жўмыстарын  бірден  жариялауєа  асыќпаєан.  Мўныѕ 
басты  себептері  кері  есептерді  шешу  јдістерініѕ  кемелсіздігі  мен  флюксиялар 
теориясыныѕ  негізгі  ўєымдарыныѕ  логикалыќ  жаєынан  негізделуініѕ  јлі  де 
жеткіліксіздігі еді. Мысалы, бірде нґл, бірде шегі шексіз болып келетін аз шамаларды 
ескермей  кету  оперативтік  амалыныѕ  мјнісі  тїсініксіз, негізсіз  еді.  Бўл  ќайшылыќтан 
ќўтылу  їшін  Ньютон  ќазіргі  шектер  теориясыныѕ  алєашќы  тїрі  болып    бірінші  жјне 
соѕєы  ќатынастар  јдісін  жасайды.  Дегенмен,  флюксиялар  теориясыныѕ  оперативті 
алгоритмдік  жаєы  мен  оныѕ  логикалыќ  негізі  арасындаєы  алшаќтыќ  толыќ 
жойылмайды.  Ќазіргі  ќалыптасќан  логикалыќ  жаєы  бекем  негізделген  шек  ўєымыѕ 
шартты баєалау тјртібі, (
0
f
ε
 болсын, 
0
f
δ
 болатындай т.с.с ) тек ХІХ є.  Аяєында 
барып  енгізіледі.  Флюксиялар  теориясы  К.Маркс  ґзініѕ  «Математикалыќ 
ќолжазбаларында»  кґрсеткендей  математикалыќ  анализдіѕ  дамуындаєы  «  жїзеге 
асырылып  барып  соѕынан  тїсіндірілетін»,  тїп  негіздері,  іргетасы  јлі  ќўпия, 
«мистикалыќ» кезеѕін бейнелейді.  
§3. Готфрид Лейбниц жəне оның дифференциалдарды есептеу əдісі 
         Дифференциалдық жəне интегралдық есептеудің екінші бір түрі – 
дифференциалдарды есептеу. Оның авторы - Готфрид Вильгельм Лейбниц. Ол 
дүниежүзілік ғылыми философия тарихындағы ең ұлы тұлғалардың алдыңғы сапынан 
орын алады. Лейбницті, əдетте, көрнекті философ, ұлы математик деп қана атайды. 
Шынында, ол заманындағы ғылымның көп саласымен айналысқан. Ол математик, 
физик, юрист,  экономист, геолог, психолог, тілші жəне тарихшы болған. Оның үстіне 
Лейбниц өз тұсындағы əлеуметтік жəне мемлекеттік істерге араласқан ірі қоғам 
қайраткері саналады. 
Лейбниц өзінің ғылыми жəне қоғамдық қызметін өте ерте бастаған. Ол 20 
жасында Лейпциг университетінің заң факультетін үздік бітіргеннен кейін алғашқы 
қызметін министр барон Бонебургке хатшылықтан бастайды.  
  
Бұл  кезде  Лейбниц  жаста  болса  ғылым  əлеміне  танылып  қалған  болатын.  Ол 
университетте  оқып  жүрген  кезінде-ақ  ғылымның  əр  саласы  бойынша,  əсіресе 
математикадан  өте  терең  білім  алып  үлгереді.Мəселен,  1663  ж.  17  жасында 
«Матефизикалық  ойлар»  деген  мақала  жазады.  Бір  жылдан  кейін  оның  «Философия 
мəселелері жөніндегі тəжірибе» деген мақаласы жарық көреді. Ал 1666 ж. 20 жасында 
«Комбинаторика жайлы ойлар» атты математикалық трактат жазады. Осыдан бастап 
өмірінің  соңына  дейін  (1716  ж.  өлген)  белсенді  ғылыми-философиялық  іс-əрекетін 
қоғамдық мемлекеттік жұмыстармен шебер ұйымдастырып өткен. 

Лейбниц  тек  Германияның  ғана  емес,  бүкіл  Европа  елдерінің  ішкі-  сыртқы 
тұрмысын, ғылыми жағдайын жетік білген жəне оған белсенді араласып отырған. Ол 
барлық  дүнижүзілік  Ғылым  акдемиясын  құру  жоспарын  жасайды.Осының 
нəтижесінде  Лейбниц  Берлин  академиясын  ұйымдастырып,  оның  тұңғыш  басшысы 
болады. Ол мұндай академия басқа елдерде де болу қажеттілігін барынша уағыздап, 
тікелей  жəрдем  көрсетеді.            Лейбниц  өмірінің  соңғы  жылдары  Бірінші  Петрмен 
жақсы  қарым-қатынаста  болған,  жүзбе-жүз  кездескен.  Ол  Россия  үшін  де  Ғылым 
академиясын  құрудың  керектігін  жəне  бұл  істе  өзінің  жан-жақты  көмек  көрсетуге 
дайын екендігінайтып Бірінші Петрге хат жазған. 
Лейбниц  дүние  туралы  тұтас  ғылыми-философиялық  көзқарастар  жүйесін 
жасайды. Ол жалпы алғанда, идеялист. Оның түсіндіруі бойынша дүниенің негізінде 
қарапайым  рухани клетка- бөлінбейтін  монодалар жатыр. Монода-  физикалық  нүкте 
де, математикалық нүкте де емес, көзге көрінбейтін, қолға ұстауға болмайтын идеялық 
субстанция.Монодалардан материя, болмыс түзеледі. 
Лейбниц  шындыққа,  ақиқатқа  жетудің  шешуші  құралы  ретінде,  логика  мен 
математиканы  ұсынады.  Осыдан  барып  Лейбниц  ғылыми-танып  білудің  əмбебап 
логика-математикалық əдісін, əмбебап сипаттамасын жасайды. Бұл жаңа əдіс барлық 
логикалық  қорытындыларды,  ұғымдарды  бір  мəнді  дəлме-дəл  бейнелейтін  сөздерге 
басқа да символдарға жүргізілетін есептеу тектес амалдармен ауыстыруға тиіс болады. 
Бұл  жағдайда  ол  қарапайым  элементтердің  байланыстары  мен  тəуелділіктерінің 
барлық  мүмкін  түрлерін  бейнелейтін  ғылым  ретінде  жаңа  мағынаға  ие  болады. 
Математиканың  белгілі  əдістері  болашақ  жалпы  математикаға  құрама  бөлік  ретінде 
енеді.  Мұнда  ұғымдар  мен  амалдардың  мəнін  дəл  бейнелейтін  аса  кемелденген 
символиканы пайдаланатын алгоритмдердің қызметі ерекше болады. 
Лейбниц  басшылыққа  алған  алғашқы  осындай  математикалық  мақсаттар 
дифференциалдық  жəне  интегралдық  есептеуді  ашуға,  математикалық  зерттеулерге 
бағыт-бағдар  сілтеді.  Бұл  мақсаттарды  жүзеге  асыру  үшін  ол  Декарт,  Кавальери, 
Валлис,  Паскаль,  Гюйгенс  т.б.  математиктердің  шығармаларын  тəптіштеп,  егжей-
тегжей  оқып  шығады.    Лейбництің  шексіз  аздар  анализінің  үш  бастау  көзі  мыналар 
еді: 1. Елеулі түрде жалпыланған Паскальдың сипаттамалық үшбұрыш əдісі, 2. Декарт 
жəне  оның  ізбасарлары  жасаған  аналитикалық  геометрия,  3.  Шексіз  қатарларды 
қосындылау жəне бұған шекті айырымдар жүйесін қолдану. 
Осы  идеяларды  синтездеу  арқылы  Лейбниц  барлық  шексіз  аздарға  тірелетін 
есептерді  екі  типке  келтіруге  болатынын  ашады.Жанама  туралы  жəне  оған 
байланысты  есептер  əрқашанда  қатарлардың  шексіз  жақын  мүшелерінің  айырмасын 
есептеуге əкеп соғады. Квадратура туралы жəне оған байланысты есептер əрқашанда 
шексіз кіші көршілес мүшелері бар шексіз қатарлардың қосындысын табуға тіреледі. 
  
Лейбниц жаңа есептеудің қолайлы символикасын көп іздестіреді. Ақырында ол 
шексəз  кіші  айырманы  таңбалау  үшін  d  (differenti  –  айырма  сөзінің  бас  əріпі) 
символына  тоқтайды.  Лейбниц  Кавальери  мен  Паскальдің  жолын  қуыпинтегралды 
«барлық»  шексіз  көп  ординаттардың  қосындысы  деп  қарастырып»  «барлық» 
символымен белгілейді де, кейіннен Summa (қосынды) сөзінің бас əріпінен алынған S 
таңбасына көшеді.  
  
Дифференциалдық  есептеудің  негізгі  бастамалары  толық  түрде  1648  ж.  «Acta 
Erudiforum»  журналында  жарық  көрген,  бас  аяғы  жеті  беттен  ғана  тұратын  « 

Максимум жəне минимумдардың, сондай-ақ жанамалардың жаңа əдісі» мақаласында 
баяндалатын.  Мұнда  ол  ең  əуелі  функцияның  дифференциалының  анықтамасын 
береді. Аргументтің дифференциалы dy үшін кез келген шама алынады ( функцияның 
дифференциалы 
i
S
udx
dy =
, мұнда S
i
-(x,y) нүктесіне жүргізілген жанама табаны), dx,dy- 
символдары  енгізіледі.  Мұнда  сонымен  қатар  бірінші  дифференциалдық  немесе 
функцияның  функциясының  инварианттық  қасиеті  айтылады,  дифференциалдар 
шамалардың лездік есімшелеріне пропорционал шамалар болып түсіндіріледі. Алайда 
кейіннен олар қайтадан шексіз аз айырмалар түрінде анықталады. 
Дифференциалдау алгоритмі ережелерімен қатар Лейбниц олардың жəрдемімен 
функциялар мен қисықтарды зерттеу əдістерін тұжырымдайды.  
Бұл мақалада Лейбниц дифференциалдық есептеу мəселелерімен шектеледі. Екі 
жыл өткеннен кейін жарық көрген «Терең геометрия туралы» мақаласында бірінші рет 
баспа  ретінде  интеграл  таңбасын  енгізіп,    s  жəне  d  операторларының  өзара  кері 
сипатын  көрсетеді.  Бір  есепте 
∫
хdx
  интегралына  келіп  dx
2
/2=xdx  теңдігінен  тікелей 
∫
=
2
2
x
хdx
  теңдігін  шығарып,  оны  мынадай  қорытындымен  толықтырады.  «...бізде 
қосынды  мен  айырманы  кəдімгі  есептеудегі  дəрежелеу  мен  түбір  табу  сияқты  өзара 
кері амалдар болады».  
Қазір Ньютон жəне Лейбниц формуласы атанып жүрген анықталған интегралды 
интегралдаудың  жоғары  жəне  төменгі  шектеріндегі  алғашқы  функция  мəндерінің 
айырмасы арқылы өрнектейтін 
∫
−
=
b
a
a
F
b
F
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
аналитикалық  формуласы  дəл  осы 
күйінде  оларда  болмаған.  Ол  алғаш  рет  XVIIIғ.  Париждегі  Политехникалық 
институтының профессоры Лакруаның «дифференциалдық жəне интгралдық есептеу 
туралы»  оқулығында  кездеседі.  Алайда  оған  эквивалентті  ереже  Ньютон  мен 
Лейбницке болған. 
1693  жылы  Лейбниц  есептеуд  анықтамаған  коэффиценттер  əдісі  арқылы 
қатарларға  жіктеуге  болатын    трансцентті  негізінен  дифференциалдық  жəне 
интегралдық  есептеулердің  барлық  бастапқы  бөліктері  қамтылады.  1965  жылы  ол 
жалпы  көрсеткіштік  функцияны  дифференциалдау  ережесі  мен  көбейтінді  не  көп 
есеслі  дифференциалдау  формуласын
...
2
1
)
1
(
1
)
(
2
2
1
0
+
⋅
⋅
−
+
⋅
+
⋅
=
−
−
y
d
x
d
m
m
dy
x
d
m
y
d
x
d
xy
d
m
m
m
m
 
жариялайды.  Осы  кездерде  ол  дифференциал  ұғымын  теріс  жəне  бөлшек  көрсеткіш 
жағдайына  жалпылайды.  1702-1703  жылдары  рацианал  бөлшектерді  интегралдау 
əдістеріжасалынады. 
Лейбництің  символикасымен  терминдері  жақсы  ойластырылып  сəтті  табылған 
болып шықты. Олардың бірсыпырасы өзгермей осы кезге дейін келіп жетті. Лейбниц 
дифференциал, дифференциалдық есептеу, функция, координаттар, дифференциалдық 
теңдеу лагоритм т.с.с. терминдерді жəне символдардың көпшілігін енгізген. 
Лейбництің  шексіз  аздар  теориясының  əлсіз  жеріде  болды.  Шексіз  жинақтау, 
шексіз  аздық  немесе  процестің  шексіз  созылуына  сүйенетін  негізгі  ұғымдардың 
рационал  түрде  түсіндірілу  жағы  айқын  емес  еді.    Лейбництің  қолжазбалары  мен 
мақалаларында  шексз  аздар  анализін  негіздеу  мəселесі  аз  қозғалмайды.  Ол  мəселен, 

шексіз  аздарды  биархимедтік  шамалар  деп  немесе  индуктивті  түрде  қабылданатын 
потенциалды  шексіз  аздық  деп  аталады.  Кейде  ежелгі  гректердің  сарқу  əдісіне 
сілтейді, қиындықтарды соған аударады немесе əлі егжей-тегжейлі ашылмаған шекке 
көшу тəріздес бұлдыр ұғымдарға сүйенеді т.с.с. 
Қалай  болғанда    Лейбниц  те  Ньютон  сияқты  математикалық  анализді  негіздеу 
проблемасын шеше алмайды. 
 

жүктеу/скачать 1,46 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: