Лекция Жиын ұғымы, элементі
Рационал сандар жиынының қасиеттері
жүктеу/скачать 1,35 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Лекция 12. Бүтін және рационал сан.
- Лекция мақсаты
| Рационал сандар жиынының қасиеттері
Q жиынындағы «артық» («кем») қатынастарын анықтайық. Егер а = в + с теңдігі орындалатындай с ε Q саны табылатын болса, онда а ε Q саны в ε Q санынан артық болады. Бұл жағдайда а > в деп белгілейді. «Артық» қатынасы ассиметриялы, транзитивті және сызықтық қасиеттерге ие болады. Олай болса, ол рационал сандар жиынында берілген реттік қатынас бола алады. Сонымен бірге бұл қатынас осы жиынның элементтерін реттейді. Сондықтан рационал сандардың Q жиыны реттелген жиын болып табылады. Оң рационал сан жиынында: - ең кіші сан да, ең үлкен сан да болмайды. - кез келген екі рационал санның арасында шексіз көп сан болады. - қарсы жориық: ең кіші сан бар делік, ол m/n, m/n+1 санын қарастырайық. Бұдан біз m/n + 1m/n: m/n + m, m/n кіші санның бары байқалады, олай болса қайшылыққа келдік-оң рационал сандарда ең кіші сан жоқ. Екінші қасиетті мысал арқылы дәлелдейік. Екі сан алайық: 1/3 және 2/3 1/3-ден артық 2/3-ден кіші сан табыла ма? Табылады, ол үшін екі санның арифметикалық ортасын табу қажет. (1/3 + 2/3) : 2 = 1/2. Лекция 12. Бүтін және рационал сан. 1.Рационал санға қолданылатын арифметикалық амалдар 2.Рационал сандар жиынының қасиеттері 3.Қосу және көбейтудің заңдары мен қасиеттері Лекция мақсаты: 1.Бүтін сандардың анықтамасы. 2.Рационал сандар ұғымы. Кесіндінің ұзындығы бір ғана санмен өрнектелуге тиіс болатындықтан, тең бөлшектер бір ғана санның әр түрлі жазылулары деп есептеледі, ал ол санның өзі оң рационал сан деп аталады. Жалпы алғанда, оң рационал сандар өзара тең бөлшектер жиыны, ал осы жиынға тиісті әрбір бөлшек осы санның жазылуы /өрнектелуі/ болып табылады. Мысалы: {4/3, 8/6, 12/9,16/12…} оң рационал сандар жиыны, ал 4/3,8/6,12/9,16/12… бөлшектері олардың әртүрлі жазылуы. Сондықтан оң рационал сан мен бөлшек ұғымдарын бірдей деп түсінбеу жөн. Олар әр түрлі ұғымдар. Қандай да бір оң рационал санның, барлық жазылулары ішінен қыстырылмайтын, яғни алымы мен бөлімінің, ең үлкен ортақ бөлгіші 1-ге тең болатын бөлшектерді бөліп қарастырады. Мысалы: 2/7,4/14,6/21,8/28…, қыстырылмайтын бөлшек 2/7. Жалпы алғанда кез келген оң рационал сан үшін осы санның жазылуы болып табылатын бір және тек бір ғана қыстырылмайтын бөлшек бар болады. Рационал сөзі латынның ratio қатынас деген сөзінен шыққан, яғни бұл жерде рационал сан бүтін сандардың қатынасы деп түсіндіріледі. Теорема. Кез келген рационал оң а саны үшін (яғни тең бөлшектердің кез келген жиыны үшін) оны өрнектейтін, алымы мен бөлімі өзара жай сандар болатын, бір және тек бір ғана бөлшек табылады. Анықтама. Рационал сан деп р/q (мұндағы сызық, әзірше олардың арасын бөліп тұратын таңба ролін атқарады) р/q түрінде жазуға болатын өзара жай, бүтін р және q (мұндағы q>l) сандарының жұбын айтады. Q+ Мысалы, Ұзындығы 13/4 саны арқылы өрнектелген кесінді сызайық. Ол үшін: 1) е кесіндісінің ұзындығын таңдаймыз; 2) е кесіндісін тең 4 бөлікке бөлеміз; 3) Ох сәулесіне әрқайсысы е кесіндісінің 4-тен бір бөлігіне тең болатын 13 кесінді саламыз. Қорытындыда ОА кесіндісін аламыз, оның ұзындығы 13/4 санымен өрнектелген. Оң рационал сандар жиыны былай белгіленеді. Q+N Q+. Кесіндінің ұзындығы е бірлік кесіндіде m натурал санмен өрнектелсін. Е кесіндісін n тең бөлікке бөлейік. Сонда е кесіндісінің n-ші бөлігі а кесіндісінде mn рет салынады. Кесіндінің ұзындығы mn/n бөлшегімен өрнектеледі. (4•3/3) Сонда а кесіндісінің ұзындығы натурал m және оң рационал mn/n санымен өрнектеледі, бұл m санының жазылуы. Бұдан кез келген натурал санды бөлшек сан түрінде жазуға болатындығы шығады. Мысалы: натурал 7 санын бөлшек сан түрінде былай жазуға болады: 7/1, 14/2,21/3,28/4,35/5,... Натурал санның оң рационал санға дейінгі толықтырмасы бөлшек сан деп аталады. Анықтама. Егер рационал а және b сандары m/n және р/n (мұндағы m,р ε Z, n εZ+ бөлшектері түрінде өрнектелсе, онда а мен b сандарының қосындысы деп m+p/n бөлшегімен өрнектелетін санды айтады: m/n+р/n= m+р/n. Егер рационал а және b сандары бөлімдері әртүрлі бөлшектер ретінде берілсе, онда бұл бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге келтіріп, сонан кейін жоғарыдағы ереже көмегімен қосады. Бұл ереже, шындығында, рационал сандарды қосуды бүтін сандарды қосуға келтіреді. Анықтама. Егер рационал а және b сандары р/q және m/n бөлшектері түрінде өрнектелсе, онда олардың көбейтіндісі mр/nq бөлшегімен өрнектелетін сан болады: m/n•р/q= mр/nq, мұндағы mр және nq бүтін сандарды көбейту ережесі арқылы анықталатын көбейтінділер. Бұл ереже, шын мәнісінде, рационал сандарды көбейтуді бүтін сандарды көбейтуге келтіреді. Рационал сандарды азайту мен бөлу амалдары қосуға және көбейтуге кері /сәйкес/ амал ретінде анықталады. Анықтама. Рационал а және b сандарының айырмасы деп а=b+с болатындай рационал с санын айтады. Анықтама. Рационал а және b сандарының бөліндісі деп а=b•с болатындай рационал с санын айтады. Сәйкес түрде: m/n және р/q – бөлшектерімен берілген екі рационал а және b сандарының айырмасы мына ереже бойынша табылады. m/n- р/q=mq-pn/nq, мұндағы бүтін сандар азайту ережесі арқылы анықталатын айырма. Екі рационал санның бөліндісін мына ереже бойынша табады: m/n:p/q=mq/np. 1-теорема. Q жиынындағы қосу амалы мынадай қасиеттерге ие болады: 1. Коммутативтілік: кез келген а,bεQ үшін а+b=b+а; 2. Ассоциативтілік: кез келген а,bсεQ үшін (а+b)+с=а+(b+с); 3. Қайтымдылық: кез келген а,bεQ үшін а+с=b теңдігі орындалатын сεQ саны табылады. 4. Қысқартымдылық: кез келген а,bсεQ үшін а+с=b+с теңдігін а=b екендігі келіп шығады. 2-теорема. Q жиынындағы көбейту амалы мынадай қасиеттерге ие болады: 1. Коммутативтілік: кез келген а,bεQ үшін а•b=b•а; 2. Ассоциативтілік: кез келген а,bсεQ үшін (а•b) •с=а•(b•с); 3. Қайтымдылық: кез келген а,bεQ (мұндағы b≠0) үшін а=b•с теңдігі орындалатындай сεQ саны табылады. 4. Қысқартымдылық: кез келген а,bсεQ үшін а•с=b•с теңдігін а=b екендігі келіп шығады. 3-теорема. Қосу мен көбейту амалдары дистрибутивтілік қасиет арқылы байланысады: (а+b) •с=а•с+b•с, мұндағы а,b,сεQ; Азайту мен көбейту амалдары дистрибутивтілік қасиет арқылы байланысады: (а-b) •с=а•с-b•с, мұндағы а,bсεQ; Q жиынындағы “артық” (“кем”) қатынастарын анықтайық. Егер а = в + с теңдігі орындалатындай с ε Q саны табылатын болса, онда а ε Q саны в ε Q санынан артық болады. Бұл жағдайда а > в деп белгілейді. “Артық” қатынасы ассиметриялы, транзитивті және сызықтық қасиеттерге ие болады. Олай болса, ол рационал сандар жиынында берілген реттік қатынас бола алады. Сонымен бірге бұл қатынас осы жиынның элементтерін реттейді. Сондықтан рационал сандардың Q жиыны реттелген жиын болып табылады. Оң рационал сан жиынында: - ең кіші сан да, ең үлкен сан да болмайды. - кез келген екі рационал санның арасында шексіз көп сан болады. - қарсы жориық: ең кіші сан бар делік, ол m/n, m/n+1 санын қарастырайық. Бұдан біз m/n + 1m/n: m/n + m, m/n кіші санның бары байқалады, олай болса қайшылыққа келдік-оң рационал сандарда ең кіші сан жоқ. Екінші қасиетті мысал арқылы дәлелдейік. Екі сан алайық: 1/3 және 2/3 1/3-ден артық 2/3-ден кіші сан табыла ма? Табылады, ол үшін екі санның арифметикалық ортасын табу қажет. (1/3 + 2/3) : 2 = 1/2. жүктеу/скачать 1,35 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|