Лекция Жиын ұғымы, элементі
жүктеу/скачать 1,35 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- АВх/ хА немесе хВ
|
Лекция 2. Жиын ұғымы, элементі. Жиындардың берілу тәсілдері. Жиындарға қолданылатын амалдар және олардың заңдары. Лекция мақсаты: 1.Жиын ұғымымен және олардың берілу тәсілдерімен таныстыру. 2.Жиындарға қолданылатын амалдарды және заңдарды есеп шығаруда қолдануға үйрету. Қазіргі математика салалары мен оның практикада қолданылуын түгелдей дерлік жиындар теориясына негізделген. Өйткені жиындар теориясының ұғымдары математикалық обьектілердің ең жалпы қасиеттерін бейнелейді. Жиындар – математикада негізгі және алғашқы ұғымдардың бірі саналады. Сондықтан да болар, мектеп математикасының негізгі мазмұны болып табылатын “сан”, “теңдеу” және “теңсіздік”, “функция”, т.с.с. ұғымдарды, сондай-ақ сандарға операциялар жүргізу, теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді оқып-үйрету теориялық жиындық ұғымдарды қолдануды көздейді. “Жиын” қатал анықтама беруге болмайтын, тек қана қарапайым мысалдар арқылы түсіндірілетін, математика ғылымындағы ең жалпы, негізгі ұғым. Математикада, кез келген объектілердің (нәрселер, заттар, әріптер, цифрлар} планеталар, ұғымдар, фигуралар, сандар, сөздер, адамдар, жануарлар, т.с.с.) жиынтығы -жиынның мысалы бола алады. Әдетте жиын қанда:й болса да бір белгісі бойынша біріктірілген әртүрлі объектілерден құралады. Жиындар теориясының негізін салуіпы неміс математигі Георг Кантордың (1845-1918) сөзімен айтқанда: “Жиын дегеніміз өзіміздің ойымызда тұтас бір бүтін больш түсінілетін көптік”. Ал, “көптік”, “жиын”, “жинақ”, “жиынтық” деген сөздерді тілдік тура мағынасы-алынып отырған объектілер бірнешеу деген ой тудырады. Бұдан әрбір жиыңда міндетті түрде көп (кемінде екі) элемент болу қажет деген жаңсақ пікір тууы мүмкін. Алайда математикада жиынды құрайтын элементтердің санына байланысты, тек бір ғана элементі болатын жиынды немесе элементтері бірнешеу, яғни элементтерінің саны шектеулі (шектелген жиын) жиынды, бірде-бір элементі болмайтын жиынды (шексіз жиын), элементтерінің саны шексіз көп жиынды шексіз жиын деп атайды. Шексіз жиындарды тізіммен беру мүмкін емес. Жиындарды бір-бірінен айыру үшін оларды латын алфавитінің бас әріптерімен - А, В, С, В, Е, Ғ, ..., ал элементтерін кіші a,b,c,d,e,.... әріптермен, сондай-ақ жиындар символикасында бос жиын таңбасымен белгіленеді, тиісті деген сөздің орнына таңбасы, “тиісті емес” деген сөздің орнына таңбасы пайдаланылады. Шексіз жиындарды фигуралы жақша арқылы көп нүктені пайдаланып белгілеуге болады. Жиын өзінің элементтері арқылы анықталады, яғни егер кез келген объект жөнінде ол осы жиынға тиісті немесе тиісті емес екендігін айта алатын болсақ, онда жиын берілген деп саналады. Жиынның берілу тәсілдері: 1) Жиынның барлық элементтерін тізіп көрсету арқылы беріледі. Мысалы, А жиыны 3,4,5,6 элементтерінен тұрса, онда элементтерін фигуралы жақшаға алып А=3,4,5,6 түрінде жазып, оны "А жиыны 3, 4, 5, 6 элементтерінен тұрады" деп оқиды. 2) Жиынның берілуінің тағы бір төсілі оны құрайтын элементтерінің ортақ қасиетін атау болып табылады. Мұндай қасиетті сипаттамалық қасиет деп атайды. Мысалға 6 санынан кем натурал сандардың А жиынын қарастырайық. Бұл жерде А жиынының барлық элементтерінің ортақ қасиеті, атап айтқанда, оларды "натурал және 6-дан кіші сан болуы" аталып отыр. Қарастырып отырған А жиынының элементтерін атап шығу қиындыққа түспейді. А=ххN, х<6. А={ 1, 2, 3, 4, 5. Жиынды элементтерінің сипаттамалық қасиеті арқылы беру геометрияда жиі қолданылады. Белгілі бір сипаттамалық қасиеті бар нүктелердің жиынын нүктелердің геометриялық орны дейді. Анықтама: Егер В жиынының әрбір элементі А жиынының да элементі болса, онда В жиыны А жиынының ішкі жиыны деп аталады. Анықтама: Егер А жиынының әрбір элементі В жиынының да элементі болса және керісінше, В жиынының әрбір элементі А жиынының да элементі болса, онда А мен В жиындары тең деп аталады да былай жазылады: А=В. Бұл анықтаманы былай да айтуға болады: егер АВ және ВА болса, онда А мен В жиындары тең деп аталады. Көрнекілік үшін жиындарды дөңгелек не сопақша фигуралармен бейнелейді. Оның ішінде сол жиынның элементтері ғана орналасады. Ол дөңгелектерді Эйлер дөңгелектері немесе Эйлер-Венн диаграммалары деп атайды. (Леонард Эйлер (1707-1783)-Петербург ғылым академиясының мүшесі, Швейцарияда туылған, ал 1727 жылы петербург ғылым академиясының шақыруымен Ресейге келген және мұнда ірі математик дәрежесіне дейін көтерілген. Джон Венн (1886-1921) ағылшын математигі). Эйлер-Венн диаграммаларында жиынды тіктөртбұрыш түрінде, ал ішкі жиынды шеңбер немесе тұйықталған қисық сызықпен кескіндеп көрсетеді. Екі және одан көп жиындардың элементтерінен тұратын жаңа жиын құруға болады.Бұл жаңа жиын берілген жиындарға қандай да бір амал қолдану нәтижесінде пайда болады. Анықтама. А және В жиындарынының қиылысуы деп А және В жиындарының екеуіне де тиісті элементтерден және тек қана сол элементтерден тұратын жиынды айтады. Ажәне В жиындарының қиылысуы былай белгіленеді: С=АВ. АВ={х|хА жөне хВ} А, В жиындарының қиылысуын Эйлер деңгелектері арқылы бейнелесек, екі жиынның қиылысуын боялған аймақ арқылы көрсетуге болады. Егер А жөне В жиындарының ортақ элементтері болмаса, онда олардың қиылысуы бос жиын болады және былай жазылады: АВ=. Бұл жағдайда Ажәне В жиындары қиылыспайды деп айтады. Мысалы, дауысты дыбыстар мен дауыссыз дыбыстар жиындары қиылыспайды, өйткені бұл екі жиынның ортақ элементтері жоқ. Анықтама. А және В жиындарының бірігуі деп не А не В жиындарының ең болмағанда біреуіне тиісті элементтерден және тек қана сол элементтерден тұратын жиынды айтады. АВх/ хА немесе хВА және В жиындарының бірігуін АВ деп белгілейді, мұндағы жиындардың бірігуінің белгісі. Егер А жөне В жиындары элементтерінің сипаттамалық қасиеттері көрсетілген болса, онда АВ жиынына осы қасиеттердің ең болмағанда біреуіне ие болатын элементтер енеді. Мысалға, А-сыныптағы математика үйірмесіне қатысатын оқушылардың жиыны, ал В-сол сыныптағы физика үйірмесіне қатысатын оқушылар жиыны болсын. Сонда А жиыны элементтерінің сипаттамалық қасиеті –“математика үйірмесіне қатысуы”, ал В жиыны элементтерінің сипаттамалық қасиеті – “физика үйірмесіне қатысуы” болып табылады. Сонда берілген жиындардың бірігуіне аталған үйірмелердің ең болмағанда біреуіне қатысатын оқушылар енеді. Бұл оқушылардың ішінде тек математика үйірмесіне немесе екі үйірменің екеуіне де қатысатын оқушылар болуы мүмкін. АВ= деп санап, А жөне В жиындарын Эйлер-Венн диаграммалары арқылы кескіндесек, онда суреттегі штрихталған бүкіл бөлік АВ жиынын көрсетеді. Егер ВА болса, онда А жиынның В жиынына тиісті емес элементтерінің жиыны В жиынының А жиынындагы толықтауышы деп аталады және ВА арқылы белгіленеді. А және В жиындарының айырмасы деп А жиынына тиісті және В жиынына тиісті емес элементтер жиынын айтады. А және В жиындарының айырмасын А\В символы арқылы белгіленеді. А\Вх/хА және хВ Мысалы, егер А={а, Ь, с, d, е}, В={d, е, к, 1} болса, онда А\В ={а, Ь, с} болады. А және В жиындарын Эйлер -Венн диаграммалары көмегімен кескіндесекэ онда А\В жиыны боялған бөлік болады. жүктеу/скачать 1,35 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|