Свойства координат векторов
10. Нулевой вектор в любом базисе имеет нулевые координаты: (0;0;0).
□ Разложим по векторам базиса , , :.
Следовательно, (0;0;0),,. ■
20. Если , , - базис пространства V, то (1;0;0),(0;1;0), (0;0;1).
□(1;0;0);
(0;1;0);
(0;0;1). ■
30. Если (;;), в базисе , , , а , то
в базисе , , (координаты линейной комбинации векторов равны линейным комбинациям их соответствующих координат).
□ По определению координат вектора
, .
Тогда , .
Сложим почленно эти равенства и воспользуемся свойствами сложения векторов и умножения вектора на число:
.
По определению координат вектора
. ■
Из свойства 30 получаем следствия:
Следствие 1. Каждая координата суммы (разности) двух векторов равна сумме (разности) соответствующих координат этих векторов.
Следствие 2. При умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число.
□ Чтобы доказать справедливость следствия 1, надо в свойстве 30 взять сначала ==1, а затем =1, =-1. Для доказательства следствия 2 полагаем =0. ■
40. Векторы равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты: , , .
50. Пусть (;;), , и , i=1, 2, 3. Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны: ||.
Пусть . Тогда || и .
Если же , то ||, а и - любые.
Частным случаем произвольного базиса является ортонормированный базис. Его удобно использовать при решении метрических задач (т.е. задач, связанных с вычислением длин отрезков (векторов) и величин углов).
Базис , , называется ортонормированным, если его векторы удовлетворяют двум условиям:
1) ;
2) если , , , то углы , и - прямые.
Замечание. Множество всех векторов, параллельных данной плоскости (или лежащих в ней), образует двумерное векторное пространство, т.к. любой его базис состоит из двух неколлинеарных векторов. Поэтому любой вектор этого пространства в таком базисе имеет две, а не три координаты: .
Вопросы:
1. Будут ли векторы и 3 образовывать базис двумерного пространства и почему?
2. Будут ли векторы , и образовывать базис трехмерного пространства и почему?
3. Какие координаты имеет вектор в базисе , , ?
4. Сформулируйте свойство 50 координат векторов для следующих случаев:
а) ; б) ; в) ; г) .
1
|
№ 4
лекция
|
|
