Приложение скалярного произведения
векторов к доказательству теорем
1. Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
□ Пусть в . Докажем, что .
Запишем сначала векторное равенство для векторов, содержащих стороны , применив правило треугольника:
Возведем это векторное равенство в скалярный квадрат: .
По следствию из свойства А30
.
Так как , то по свойству Г10. Применив Г20, получаем:
.
Учитывая, что , , (т.е. длина вектора - это длина отрезка АВ), окончательно будем иметь:
. ■
2. Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
□ Докажем, что Представим вектор в виде разности векторов двух других сторон: .
Возведем обе части этого векторного равенства в скалярный квадрат:
.
Далее воспользуемся следствием из свойства А30:
.
Учитывая, что , , и , получим:
,
откуда
.
Вопросы:
1. Найдите величину угла между векторами и (рис. 15).
2. Может ли величина угла между векторами равняться 2700?
3. Произведение - это число или вектор?
4. Верно ли равенство ? Если да, то докажите его справедливость для любых векторов , и ; если нет, то приведите пример, подтверждающий этот вывод.
5. Докажите, пользуясь скалярным произведением, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны, а диагонали квадрата не только взаимно перпендикулярны, но и равны.
1
|
№ 5
лекция
|
|
