Квадраттың ауданы. Квадраттың ауданы оның қабырғасының квадратына тең. Қабырғасы а-ға тең квадраттың S ауданы а2-қа тең болатынын дәлелдейік.
болатын жағдайдан бастайық, мұндағы n –бүтін сан. Қабырғасы 1 болатын квадратты, 180. а-суретте көрсетілгендей n2теңбөлейік (суретте n=5). Ал үлкен квадраттың ауданы 1-ге тең болғандықтан, әр кіші квадраттың ауданы -ге тең. Әр кіші квадраттың қабырғасы , яғни а-ға тең. Сөйтіп, (1)
Енді а саны үтірден соң n таңбасы бар ақырлы ондық бөлшектерінде болсын (дербес жағдайда, а бүтін сан болуы мүмкін, сонда ).Сонда бүтін сан. Қабырғасы а-ға тең берілген квадратты, 180, б-суретте көрсетілгендей, m2тең квадраттарға бөлейік (суретте ) .Бұл жағдайда берілген квадраттың әр қабырғасы тең mбөлікке бөлінеді, олай болса, кез келген кіші квадраттың қабырғасы . (1) формула бойынша әр кіші квадраттың ауданы . Демек, берілген квадраттың S ауданы мынаған тең:
10.4-сурет
Енді а саны ақырсыз ондық бөлшек түрінде болсын. а санынан -ден бастап үтірден кейінгі барлық ондық таңбаларды ескермей, санын алайық. Ал а санының -нан айырмасы -нен артпайтындықтан, , осыдан
. (2)
Берілген квадраттың S ауданы қабырғасы квадраттың ауданы мен қабырғасы квадрат ауданының (180, в-сурет), яғни пен арасында болатыны түсінікті:
(3)
n санын ақырсыз өсірейік. Сонда саны ақырсыз азаяды, демек, саны санына мейлінше жуықтай түседі. Сондықтан (2) және (3) теңсіздіктерден S саны санына мейлінше жуық болатынын көреміз. Олай болса, олар тең: .
