Лекциялар жинағы шымкент 2022 1-лекция Мектепте сандық жүйені оқыту. Натурал сандардың бөлiнгiштiк белгiлерi
жүктеу/скачать 8,29 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Функцияның экстремумы бар болуының бірінші жеткілікті шарты . Теорема.
| Экстремумның қажетті шарты.
Теорема. Егер функциясы нүктесінде экстремум мәнін қабылдаса және ол нүктенің маңайында туындысы бар болса, онда бұл нүктеде болады немесе туындысы болмайды. Функция экстремумының анықтамасына сәйкес нүктесі жататын белгілі бір аралықтың бір нүктесінде функция өзінің ең үлкен немесе ең кіші мәнін қабылдайды. Айталық нүктесінде функциясы ең үлкен мәнін қабылдайтын болсын. Сонда кез келген өсімшесі үшін болады. Бұдан болғанда ал болғанда болатыны шығады. Ал, нүктесінде функцияның туындысы бар болғандықтан шегі бар және ол -тің таңбасына тәуелді емес. Сонда болғанда , ал болғанда болады. Функцияның туындысының бар болу шартынан бұл туындылар өзара тең болуы, яғни болатыны шығады. Кейбір жағдайда, да қатынасы әртүрлі шекке ұмтылуы мүмкін, яғни функцияның нүктесінде тиянақты туындысы болмайды. Сонымен бірге, нүктесінде туынды шексіздікке де айналуы мүмкін. Сондықтан, функциясының туындысы болмайтын немесе шексіздікке айналатын нүктелерде де экстремум мәндері болуы мүмкін. Функцияның туындысы нөлге тең, не болмайтын және шексіздікке айналатын нүктелерді оның мінездік нүктелері деп атайды. Жоғарыда дәлелденген теореманы функцияның экстремумы бар болуының қажетті шарты деп атайды. Функцияның экстремумы бар болуының бірінші жеткілікті шарты. Теорема. Айталық функциясы мінездік нүктесі жататын [x0-δ,x0+δ] маңайында үзіліссіз және дифференциалданатын болсын. Сонда туындысы нүктесі арқылы солдан оңға қарай өткенде таңбасы плюстен минусқа өзгерсе, функция максимум мәнге, ал таңбасын минустен плюске өзгертсе, функция минимум мәнге ие болады. Айталық болғанда , ал болғанда болатын [x0-δ,x0+δ] маңайы бар болсын деп ұйғарайық. Егер xϵ[x0-δ,x0+δ] болса, онда айырымына Лагранж теоремасын қолдануға болады: Мұндағы болса, болады да, біздің ұйғаруымызға сәйкес , яғни немесе болады. Ал болса, болғандықтан және ұйғаруымыз бойынша , яғни немесе . Сонымен, [x0-δ,x0+δ] жататын кез келген үшін теңсіздігі орындалады екен. Бұл теңсіздіктің орындалуы функциясы нүктесінде максимум мәнге ие болатынын көрсетеді. Теореманың функция минимумы жөніндегі екінші бөлігі де дәл осылай дәлелденеді. Егер функция туындысы нүктесі арқылы өткенде таңбасын өзгертпейтін болса, онда функцияның экстремумы болмайды. Иілу нүктелері болуы мүмкін. Соңғы жағдайда, абсциссасына сәйкес графиктің нүктесіндегі жанамасы 0х өсіне параллель және ол графикті қиып өтеді. Мысал. функциясының экстремумын анықтайық. Алдымен функцияның туындысын табамыз: және оны нөлге теңестірейік Бұл теңдеудің түбірі . Енді және болатын мәндердегі туындысы таңбасын анықтайық. Сонда яғни туынды нүктесі арқылы солдан оңға қарай өткенде таңбасын минустен плюске өзгертеді. Демек, абсциссасы нүктеде берілген функция минимум мәнге ие болады. Соңында, функцияның минимум мәнін есептейік яғни Функцияның монотонды аралықтарын табу мен экстpемумге зерттеудің схемасы: 1. Функцияның анықталу облысын тауып, функцияның үздіксіз аралықтары анықталады; 2 -ті табылады; 3 Мінездік нүктелерді, яғни функцияның туындысы нөлге тең немесе туындысы болмайтын нүктелері анықталады; 4 Әрбір мінездік нүктелердің аймағындағы функциясының таңбасы зерттеледі; 5 Әрбір мінездік нүктедегі функцияның максимумы не минимумы болатындығын немесе болмайтындығын анықталады; 6 Функцияның монотонды аралықтары мен экстремумын табамыз. Мысал. функциясының экстремумға зерттейік. Шешуі: Функцияның туындысын табайық: . Мінездік нүктелерді анықтау үшін бірінші ретті туындыны нөлге теңестіріп теңдеуді шешеміз. Сонда теңдеуін шешімі оның мінездемелік нүктелері болады: Бұдан немесе . х>1 болғанда >0, ал х<1 болса, <0. Сондықтан, болғанда берілген функция минимум мәнін қабылдайды және ол . Мысал. теңдеуінің түбірлерінің санын табайық. Шешуі. функциясын қарастырайық функциясының мінездік нүктелерін табу үшін оның туындысын аламыз: . Бұл туынды x=-1 және x=2 нүктелерінде нөлге айналады. Кесте толтырайық:
Функция аралығында --тен -4-ке дейін өседі, сондықтан бұл аралықта f(x)=0 теңдеуінің түбірлері болмайды, келесі аралықта функциясы -4-тен -31-ге дейін кемиді. Ақырында, функциясы аралығында -31-ден шексіздікке дейін өседі, бұл аралықта f(x)=0 теңдеуінің бір ғана түбірі бар. Сөйтіп, теңдеуінің бір түбірі бар және ол түбір (2;) интервалына тиісті. жүктеу/скачать 8,29 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|