6. Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндері.Функцияны зерттеп, графигiн салу. Айталық функциясы кесіндісінде үзілісіз болсын. Сонда бұл кесіндіде функция өзінің ең үлкен және ең кіші мәндерін қабылдайды. Берілген аралықта функцияның бірнеше мінездік нүктелері бар болсын деп ұйғарайық. Егер функция ең үлкен мәнін кесіндінің ішкі нүктесінде қабылдаса, онда ол функцияның максимум мәндерінің ең үлкені болады. Ең үлкен мәнге кесіндінің шеткі нүктесінде де ие болуы мүмкін.
Сонымен, кесіндіде функция өзінің ең үлкен мәніне шеткі нүктесінде, не максимумы болатын нүктеде ие болады екен.
Дәл осындай ұйғарымды, функцияның ең кіші мәні туралы да айтуға болады: функцияның ең кіші мәнін кесіндінің шеткі нүктесінде, не минимумы болатын ішкі нүктеде қабылдайды.
Демек, үзіліссіз функцияның кесіндідегі ең үлкен (ең кіші) мәнін анықтау үшін:
1 функциясының туындысын табамыз; 2 Кесіндінің ішінде жатқан мінездік нүктелерді, яғни функцияның туындысы –ге тең немесе туындысы жоқ нүктелерді табамыз; 3 Функцияның мінездік нүктелер мен кесінді ұштарындағы мәндерін есептеймі; 4 Осы табылған мәндердің ішіндегі ең үлкені мен ең кішісін таңдап аламыз. Мысал. функциясының кесіндісіндегі ең кіші және ең үлкен мәндерін табу керек.
Шешуі. 1) Функцияның анықталу облысы ;
2) функциясы кесіндісінде үзіліссіз, олай болса, ол өзінің ең үлкен және ең кіші мәндерін:
-не аралықың ішінде жатқан мінездік нүктелерде;
-не кесінді ұштарында қабылдайды.
3) Функцияның мінездік нүктелерін (функцияның туындысы болмайтын, не нөлге тең нүктелерді) табамыз:
,,,,
4) Функцияның мінездік нүктедегі және кесінді ұштарындағы мәндерін табамыз:
,,
Бұл мәндерді салыстырып,мынадай қорытындыға келеміз:
;
Демек, берілген функцияның кесіндісіндегі ең үлкен мәні -ге,ал ең кіші мәні 1-ге тең.
Жауабы: функцияның кесіндісіндегі ең үлкен мәні -ге, ал ең кіші мәні 1-ге тең.
