Лекциялар жинағы шымкент 2022 1-лекция Мектепте сандық жүйені оқыту. Натурал сандардың бөлiнгiштiк белгiлерi
Мектепте туынды арқылы функцияны зерттеуді оқып-үйрену
жүктеу/скачать 8,29 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Функцияның өсуі мен кемуі.
- Функцияның өсуі мен кемуі . а) Функцияның бірсарынды болуының қажетті шарты. Теорема
| Мектепте туынды арқылы функцияны зерттеуді оқып-үйрену
Туынды тақырыбын оқып-үйрену барысында оқушылардың функцияны зерттеу туралы бiлiмдерi жүйеленедi, функцияны зерттеудiң жалпы схемасы кең түрде қарастырылады. Оқушыларға функцияны аналитикалық тәсiлмен зерттеудiң пайдалы екендiгiн түсiндiрген жөн: функцияның графигiн нүктелер арқылы салу тәсiлi барлық уақытта бiрдей қолайлы емес, тiптi көп нүктелердi тауып, функцияның графигiн салу оның кескiнi мен өзгерiсi туралы дәл мағлұмат бере бермейдi. Туындыны қолданып, аналитикалық тәсiлмен функцияның монотонды аралықтарын табу мен экстремумге зерттеу нәтижесінде, көптеген нүктелердi тауып функцияның графигiн салудан құтқарады. Функцияның графигiн дәлiрек салуға, функцияның графигiнiң түрiн дұрыс түсiнуге мүмкiндiк бередi. Функцияның өсуі мен кемуі. Функцияны зерттеуге негізгі міндеттерінің бірі – оның өсетін және кемитін аралықтарын табу. Функцияның тұрақты болу шарты. Теорема. функциясы [а,b] аралығында тұрақты болу үшін, бұл аралықтың әрбір нүктесінде шарты орындалуы қажетті және жеткілікті. Айталық функциясы [а,b] аралығында тұрақты болсын дейік. Сонда бұл аралықтың әрбір нүктесінде болады. Енді [а,b] аралығының әрбір нүктесінде дейік. Егер болса, онда [а,b] аралығындағы барлық х үшін Лагранж теоремасы түрінде жазылады. Теорема шарты бойынша болғандықтан, Функцияның өсуі мен кемуі. а) Функцияның бірсарынды болуының қажетті шарты. Теорема. Егер функциясының [а,b] аралығының әрбір нүктесінде туындысы бар және бұл аралықта үдемелі (кемімелі) болса, онда көрсетілген аралықтың әрбір нүктесінде теңсіздігі орындалады. Айталық функциясы [а,b] аралығында бірсарынды үдемелі болсын. Сонда кез келген өсімшесі үшін . Бұдан да шекке көшсек: ә) Функцияның бірсарынды болуының жеткілікті шарты. Теорема. Егер функциясының [а,b] аралығының әрбір нүктесінде туындысы бар және бұл аралықта болса, онда көрсетілген аралықта функциясы сарынды үдемелі (кемімелі) болады. Айталық [а,b] аралығында болсын. Кез келген және нүктелерін теңсіздіктері орындалатындай етіп алайық. Сонда Лагранж теоремасы бойынша: Ал, және болғандықтан яғни болады. Бұл теңсіздік функциясы аралығында бірсарынды үдемелі болатынын көрсетеді. Дәл осыған ұқсас, жағдайы да дәлелденеді. Туындының көмегімен кез келген дифференциалданатын функцияларының өсу және кему аралықтарын анықтауға болады. Ол келесі алгоратим негізінде орындалады: 1) Функцияның анықталу облысын табу; 2) Функцияның туындысын табу; 3) немесе теңсіздігін шешу; 4) Функцияның өсу және кему аралықтарын жазу. Ескерту. Егер функциясы аралықтың шеткі нүктесінде үзіліссіз болса, онда ол нүкте сол аралыққа енгізіледі. Мысалдар қарастырайық. Мысал. функциясының өсу және кему аралықтарын табайық. Шешуі: 1) Функцияның анықталу облысы барлық нақты сандар жиыны; 2) ; 3) , яғни ,,. Ал анықталу облысының бөлігінде болатыны айқын; 4) сонда функция аралығында өседі, ал аралығында кемиді. Жауабы: - кемиді, - өседі. Мысал. функциясының бірсарынды өспелі, бірсарынды кемімелі аралықтарын табайық. Шешуі: 1) Функцияның анықталу облысы барлық нақты сандар жиыны; 2) ; 3) туындының таңбасын анықтаймыз. болғандықтан, өрнегінің мәні x-тің кез келген мәнінде 0-ден кіші болады. Сондықтан болғанда, . Демек, берілген функция барлық нақты сандар жиынында бірсарынды кемімелі функция. Функцияның максимум және минимум мәндерін бір сөзбен оның экстремумы деп атайды. Функцияның максимумы мен минимумы анықтамаларына байланысты мына жағдайлар есте болуы керек; 1. Функция қарастырып отырған аралықтың тек ішкі нүктелерінде ғана экстремумдық мәндерге ие болады. 2. Максимум мен минимумды функцияның кесіндідегі сәйкес ең үлкен және ең кіші мәндерімен шатастырмау керек. жүктеу/скачать 8,29 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|