Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

282
Гл. 4. Определенный интеграл
так как ^ - ( х 2 - 1)"
= 0 при к = 0, п — 1.
Многочлен Рп(х) отличается от многочлена 
— 1)п лишь постоянным множителем,
а многочлен Рт(х) является линейной комбинацией степеней х к, к = 0, т , поэтому из (1) 
следует, что
1
J 
Рп(х)Рт(х) dx = 0, если т < п.
-1
1 
1
Если т > п, то, очевидно, f Рт(х)хп dx = 0, в силу чего f Рт(х)Рп(х) dx = 0.
- 1
- 1
1
Таким образом, J Pm(x)Pn(x)dx — 0, если т ф п.
-1
Рассмотрим интеграл
1 
1
1п = / Р" (х) dx = 22" (
п
!)2 / d x * ^ ~ 
~ 
dX
-1 
-1
и для его вычисления применим п раз формулу интегрирования по частям, получим
I — ( -О" 
[ d2n (гх2 
i ) n)(x2 
l ) n 
dx
 
п ~
 
22
n (n
!) 2
 
J
dx2" U 
j ){ 
’
Многочлен (х2 — 1)п имеет коэффициент 1 при старшем члене, поэтому J ^ ( x 2 — 1)” = (2п)! 
Следовательно,
(-1 ) 
(2 п )! 
f
/ 2 
n n 
d
_ / j , » 2 (2 » )! 
Л
2
_ 1чп ^ 
_2(2n)!_ 
[ < \ _ x 2 \ n d x
2 2
n(?i
!)2
 
} 
( 
’
 
2 2
" (n
!)2
 
J
 
1
 
} 
~
22
n (n
!)2
 
J
( 
}
- 1
0
0
(в силу четности функции x 
(x2 — l ) n, — 1 ^ x ^ 1). Произведя в интеграле замену 
arcsin х = t и принимая во внимание решение примера 43, находим
7Г
2(2»)! 
[  
2п+1 . , . _
2(2»)!(2п)!! 
2
п 
22"(»!)2 у 
22n(n!)2(2n + 1)!! 
2« + 1' *
о
6 4 .
Пусть 
/ € 
Я[а, 
6
] 
и функция х 
н->- 
F (x ), а 
^
х 
^
6
, 
такая, что F '(x ) 
=
/( х ) всюду 
на [а, 6], за исключением конечного числа внутренних точек с,, i = 1, р, и точек а и 6, в 
которых F терпит разрывы первого рода.
Доказать, что
О
J  /(х ) dx = F(b - 0) - F(a + 0) -
+ 0) - F(c,
■0)).
◄ Образуем функцию 
x 
Fi(x), a ^
x 
^ b, где
{
F ( x ) ,
е с л и x € ] c j , c 1+i[,
F ( c , +
0), 
е с л и x = cj, 
i =
07
"p, 
c 0 
=
a, 
cp+
1
=
6.
F( ci+i 
-
0), 
если 
x 
=
ci+i,
Пусть П — произвольное разбиение сегмента [a, b], в число точек которого входят с;, г = 
1, р. Применяя на каждом сегменте [х,, xJ+i], j = 0, п — 1, формулу конечных приращений, 
получим
п — 1 
п —1 
П —1
эд) = E ^ +i) - 
ям) =
 Е 
Дх^
 = Е/№
■)Ах^
j=o 
j
=о 
>=о
^ ®j+i*

§ 2. Основные теоремы и формулы
283
Вместе с тем сумма ,S’n ( / ) имеет вид 
. ■
р
—1
S n ( f )
= ^ ( F i ( c i+i ) - F i ( c i ) ) ~ ^ i(ci ) - F i ( co) + ^ i( cP + i) - 'Fi ( cp ) + X ] ( - F (c,'+l “ 0) - ''F’ (Ci+ 0)) =
1 = 0
1— 1
P - 1
= F(b - 0) - F(a + 0) + F(ci - 0) - F(cp + 0) + ^ ( F ( c i+1 - 0) - F(c, + 0)) =
t=l
P
= F(b - 0) - F(a + 0) - ^ ( F ( Ci + 0) - F ( a  - 0)). 
*=1
Ь 
P
Поскольку / € R [a, b], 
to
lim Sn {f) = f f ( x ) dx = F(b - 0) - F(a + 0) - £ ( F ( e i + 0) -
4 п)- °
a 
>=1
F( a — 0)). ►
6 5 . Используя теоремы о среднем, определить знаки следующих интегралов:
2
а) I — 
J 
Х" dx, 
Е =]0, 2л]; 
6)1 — 
J 
х32х dx.
Е  
- 2
■4 а) Функция F : [0, 2к\ —*■
К, где
F(x) =
если 
х е Е,
1, 
если 
х
= 0, 
непрерывна на сегменте [0, 2тг], поэтому F £ R [0, 27т], причем
2п
J S^ d x  = J F(x) dx.
В 
0
Из свойства аддитивности интеграла следует, что
27
г
Jr 
2jr 
ir
J F(x)dx = J F(x)dx-\- J F(x)dx = T J ^
dx
(в интеграле f F{x) dx произведена замена x — к = t). Применив первую тебрему о среднем,
7Г
получим
7Г
1 = 7rF(£) / ^ = jrF(f)ln(x + ж
J
I t ^
*■ 
ei п £
= Т Г ^ 1 п 2 ,
о
< ^ < 7Г, 
о 
€
откуда следует, что / > 0.
б) Запишем / = I\ -f / 2, где
А
о
J
х*2х dx, 
- 2
и произведем в 
1\
замену 
х
= — 
t y
получим
2
0

28* 
Гл. 4. Определенный интеграл
Согласно первой теореме о среднем, имеем
2
I = 2sh(£ln2) 
J
Vdx. 4 8 sh (^ lri2 ), 
0 < (  < 2.
Следовательно, / > 0. ►
6 6 . Пусть / € О[0, +оо[ и 3 lim f i x )  = А, А  € R. Найти
* —* - + о о
X
lim — I f i t ) dt. 
а : - . + о о
х J
. Рассмотреть f(t) = atfctgt, 0 ^ t < +oo.
1, 
to
Ve
v* ^ В  =► I/(* ) - A\ <
< Поскольку 3 lim f ( x ) = A, 
t o
 
Ve > 0 3B > 0: 
*—
►+00 ' '
Рассмотрим при x > В интеграл
*
В
х
l j f ( t ) d t = l j f ( t ) d t + l j f { t)dt.
j j , 
>) 
0 
в
-* ■
 
В
Так как / €  i2[0, В]> то f f ( t ) d t = С, С = const. Согласно первой теореме о среднем, имеем 
о
X
x j  Л <) й = / Ю ( 1 - ~ ) | -
В  < £ < X.
Оценим а(х) =
х 
I
х / f {t ) d t — А при х > В . Имеем1
е 1с=ж Ш + |у(е)_ А |< Е п Ж ) 5 ! ^ £
X 
ч' '
X 
' 2 ’
так как В  ^
^ х. Поскольку |С7 — /(£).В| = const, то при достаточно больших х > 0 будет
выполняться неравенство 1 £ = Ж В  <
следовательно, и неравенство а(х) < е, из которого 
следует, что
i f
, , 
_ 
*
' 1 1 '
- . “? „ ? / « 04« = А
О
Если f(t) = arctg t, 0 ^ t < + ос, то
lim I
[
*—► +00
ж /
arctg tdt = —. ►
Оценить интегралы:
2тг
dx
6 7 . /
- / т
+ 0,5 cos х
◄ Представим / в виде / = h  + h , где
я* 
1 
’ 
, 
2тг
1 
~ J
1 + 0,5 cos х ’ 
h =
J
Г
dx
+ 0,5 cos х

Заменяя в интеграле 
h
 
переменную по формуле 2т—* =
t,
 
убеждаемся в том, что 
h
— 
h .
Следовательно, 
• >
§ 2. Основные теоремы н формулы 
285
ТГ
, = 2/1= 4 
In
dx
2 cos* | ’
О
x
Функция f : х t-r f  — —
y j
, 0 ^
^ x, удовлетворяет на сегменте [0, т] всем условиям
О 1+2 СО* 2
теоремы Лагранжа о конечных приращениях, в силу чего имеем
/ = 4 ( / ( х ) - / ( 0 ) ) = 4 х / '( * ) =
4х
1 + 2 cos2 |
, 0 < £ < т.
Так
\  < 1+2fosa (  < 1, то справедлива оценка ~ < I < 4х, или 
< / — |х .
1 + 2 c o s 2 I
87Г \
47Г
Обозначив 
в
= ( / — 
получим
I = - -  +
1*1 < 1. ►
100
6 8 . ' . / -
+
100
dx.
◄ Поскольку функция х 
i-> 
— ^-0' , 
0 
^ х < 
100, 
монотонная, а функция х 
е *, 
0 
< х < 
100, непрерывная, то к I  можно применить вторую теорему о среднем (формулу (6) п. 2.2).
Тогда получим
100
/ = 0,01 
J e ~ x dx +
0,005 
J
е~х 
dx
= 0,01 (1 
- е-<) 
+ 0,005 (е"* - е-100), 0 < { < 100.
о 
f
Так как £ = 100 
в,
0 < 
в
< 1, то 
I
принимает вид
I
= 0,01 - 0,005 (е“ 100в - е-100) = 0,01 - 0,005 
t i ,
г д е ^ = е - 100в- е - 100, 0 < в х < 1 . ►
2001Г
6 9 .
I
/
sin х
~ 7 ~
dx.
•1UU7T 
*
◄ Функция х и
j ,
100х ^ х ^ 200т, монотонная, а функция * н* sin*, Ю0х < * ^ 200х, 
непрерывная, поэтому применим формулу (6), п. 2.2. При этом получим
2001Г
7 
= Т ^
j й п х Л х + Ш
 
/
sin
x d x
= 
ЮОЖ < е < 2QPST.
100
jt
(
Следовательно, 0 < I  < 
Обозначим в = I : ~ - , тогда I  = -fij-r-, 0 < 9 < 1. р
7 0
200
sin хх2 dx.
◄ После замены переменной по формуле тх2 = t, получим
2 0 0 3 ir
1
юо3 *
2 0
гоо3*-
_
1 
/ sin 
t
J

286
Гл. 4. Определенный интеграл
Воспользовавшись формулой (6), п. 2.2, имеем
(
i
2 0 0 2 7Г 
\
1OO0F / Smtdt+20F7? /
Sintdt)
=
1 0 0 3 7Г 
£ 
/
Очевидно, 0 < 7 < 
, поэтому I  =
, 0 < в < 1. ►
-—
10027г < £ < 2002:
г
. 
4007Г
71. 7
- /
V*
dx, 0 < а < 6.
◄ Функция х I— ^=, а ^ х ^ 6, убывает на сегменте [а, 6], а функция х >
—<■
cos х , а ^. х ^ Ь, 
непрерывна на нем, поэтому, согласно формуле (4), п. 2.2, имеем
<
sin £ — sin а
г 
1 
[  
. s i n
1 = —;= I cos x dx = —
V a J
a
Из оценки | sin £ — sin a | < 2 следует, что
л/а
-, a < $ < 6.
2 
r 
2
-- r < ! < — ==.
V*1 
Va
Обозначив в = I : -^=, получим
/ =
20_
V a ’
И < 1. ►
2
72. 
Доказать, что liiu / sin"x4x = 0 .
n-oo _/
◄ При доказательстве можно было бы воспользоваться результатом решения примера 43. 
Мы воспользуемся первой теоремой о среднем.
ТГ
2
Представим 1п = / sin" х dx в виде 7„ = 7п ^ + I ^ , где
i i4 = J  sinn xrfx, 
1 ^ = 
J  sinn xdx,
7Г £
2
2
0 < е < тг — произвольное, наперед заданное число. 
При любом п € N справедлива оценка
In'1 ^ J dx -  | .
я _ е 
2
2
Так как sin" х < sin” 1 х, 0 < х < f — f , то
7г е
7 2
7n * < I n i  
1
, где /Я
—1
=
J  sin” 1 х dx.
Поскольку l 4  > 0, то убывающая последовательность ( 7 ^ ) ограничена снизу и
3 Шн 
= С, 
С > 0.

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: