Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

272
Гл. 4. Определенный интеграл
В примере 
20
, гл. 3, показано, что функция
F : х ~ {  ^ arct« T W  + £М ’ если х *  °>
^ 
0
, 
если 
1
=
0
,
где е(х) =
sgn х , является первообразной функции х н-►
|
, х 
6
] 
Следовательно, I  = е(
1
) — е(—1) =
►
4 1
* 7 = / (1+ж“?) е*+*
dx.
0 ,5
4 Произведем в интеграле замену х + ^ = (. Здесь каждому 
2
< t ^ 2,5 соответствует два 
значения х, поэтому представим интеграл на сегменте [0,5; 2] в виде суммы двух интегралов 
на сегментах [0,5; 1] и [1, 2] : I  = Ii + h ,  где
1 
2 
/i =
J
^1 + х — 
e*+ x 
dx, 
h  =
J
^1 + * — ^ e*+ * 
dx.
0, 5
Так как в интегралах 1
1
и 
/2
соответственно имеем х ■
t — д / 12 —4
X =
t + л / 12 —4
2
2 ,5
h  = 0
,
5
+ 1 ~ ^
~ 4) di’ h  = 0,5/ е‘ (* +
7
р=Г 
4
+ * + ^
_ 4) Л >
2 , 5
2
=
j
e* ^-^=L== + \ / t 2 — 4^ dt =
j
e* d \ / t 2 — 4 +
J
e‘ \ / t 2 — 4dt =
2
 
2
2
2, 5
 
2, 5
= t 
4 
—
J 
e(y / t 2 — 4 dt + 
J 
t \ / t 2 — 4 dt = 1 5e2'5. ►
!d7T
4 2 . В интеграле I — 
J 
f (x )  cos x dx произвести замену переменной по формуле sin х = t.
о
^ Представим интеграл I  в виде суммы интегралов на четырех сегментах [fc^, (fc + 1)^-], 
к — 0, 3, на каждом из которых функция х i—
►
sinx, 0 ^ х ^ 27Г, монотонна. Тогда на 
сегментах [—1, 0] и [0, 1] определены функции, обратные сужениям синуса на указанные 
четыре сегмента. Если х € [о, | ] , то * = arcsint, 0 ^ t ^ 1. Если х € [^, 7г], то х = 
7Г — arcsin t и t убывает от 1 до 0. Если х € [
7
т, 17г] , то х = 7Г — arcsin t и t убывает от 0 
до —1. Если х £ [~7г, 27
г
] , то х = 27Г + arcsin t, — 1 ^ t ^ 0. Таким образом, после указанной 
замены получаем
1
0
 
-1 
о
/ = У /(arcsin t)dt +
J 
f(ir — arcsin t) dt + 
J 
f(ir — arcsin t) dt +
J 
f(2w + arcsin t) dt =
0
1
 
0
 
- 1
0
 
1
=
J
( / ( 27Г + arcsin t) — f (iг — arcsin t)) dt + 
J
(/(arcsin t) — f ( v  — arcsin t)) dt. ►
-i 
0
С помощью формулы интегрирования по частям и получаемых рекуррентных соотноше­
ний вычислить следующие интегралы:

§ 2. Основные теоремы и формулы
273
4 3
Т 
[ . П
. 1 = 1
sm :
2
d x .
◄ Интегрируем по частям, полагая sin 
х dx — dv(x),
sin
" - 1
 
х —
u (x). При этом имеем
1п =
cos 
х
sin" 
1
 
х
+ (» — \) J sin"-2 х
 cos
2
 
x dx =
 
(» 
— 
1) ( J sin"-2 x dx
— 
j sin" x dx^ =
= (» — l)(in-2 — In).
Получили рекуррентное соотношение 
In = ~ ~ I n-
2
, с помощью которого находим
если 
п
=
2
к,
In — *
(2к —
 
1
)!! 
тг 
2fc)!! 
' 2 ’
2
 
к)\\
если 
п = 2к +
 
1
.
4 4 .
L
(2к
+
1
)!! ’
7Г 
2*
п = J 
cosn х dx.
о
7Г 
1Г
2 
З-
◄ О помощью замены 
j — х = t
убеждаемся в том, что 
f
 cos" 
xdx — f
 sin" x 
dx.
►
о 
о
£
4
4 5 .
I n = 
J 
tg
2nxdx.
о
◄ Интегрируя в пределах от 0 до 
j
тождество
tg2"x 
dx =
tg2n -2x 
d(ig x)
— tg2n -2x 
dx, 
получаем рекуррентную формулу
In =
tg2" -1 *
2n -  1
4 
1
~ /n-1 = 2 ^ T 7 - / " -1 ’
с помощью которой находим
ln 
E
2» - ( 2 J k - l ) + ( ^ Io 
( ^ (^° 
^
2(1 - к ) + 1
7Г
7
где 
lo = f dx = j .  
о
Вводя новый индекс суммирования 
п
— 
к = т,
окончательно получаем
7 
п - 1 ( - 1 Г ч
(-1)*
/ . - ( - • г f - E S h •
4 6 .
i n = ) ( si?JL^ c°sI
) 2n+1
 
d x ,
J
V sm 
x
 + cos x 
J

274
Гл. 4. Определенный интеграл
Произведя в интеграле замену J — х = t, получим
tg 2n+1tdt =
tg2nt
2п
4 
1
+ I n - 1 — — ------- (- I n - 1-
2n
Последовательно используя полученную рекуррентную формулу п — 1 раз, имеем
где Io = f
t g t d t
= f cl(cos ‘) = ln cos 
t 
— In \/2 . 
►
J  
w
J
CO S t
7Г
2
4 7 .
I( 2m,2n) — 
J
sin2m x cos2n a: dx.
M Полагая cos x dx — dv(x), sin2m x cos2n_1 x = u(x) и применяя формулу интегрирования 
по частям, находим рекуррентное соотношение
2
п  —
1
/( 2 т , 2в) = ------- -1(2т + 2, 2п — 2),
2т + 1
пользуясь которым п — 1 раз и принимая во внимание решение примера 43, получим
(2п - 1)(2п - 3) ... 3 • 1
/ ( 2 т , 2в) =
(2т + 1)(2»в + 3) ... (2 т + 2п — 1) 
________ (2п - 1)!!(2т + 2п - 1)!!
/ ( 2 т + 2в, 0) =
■к _ (2в — 1)!!(27
н
— 1)!! _
((2 т + 1)(2т + 3) . .. (2т + 2п - 1))(2т + 2п)!! ’ 2 ~  
2 (2 т + 2п)П 
* ~
_
7г(2в)!(2т)! 
_
х(2в)!(2т)!
4 8 .
In
=
J
* m(ln 
x) n dx, Е=]0,
 
1
].
Е
< Согласно определению 3, п, 1.5, имеем
1
Ч
2
m+n+i 
в)!2т +пт!в! 
22т+2"+1 т ! п ! ( т + в)!
где Г(
In = / F(x) dx,
(In *)", х € Е, 
, 
„
к 
'  
_
0
Функция t  непрерывна справа в точке х = 0, так как
lim F(x) — 0, следовательно, F € Д[0, 1]. Интегрируя по частям, получим
X—
*+ оо
I n  = - 4 - F
W
I 1 
-
—
j
хт(Ых)п- 1 dx 
=
-------- —
I n -
1 .
m + 1 
lo 
m  + 1 J  
'
m + 1
E
Рассуждая аналогично относительно интегралов / п_i , 
I n -
2
, 
■ ■ ■
, 
I i ,  
находим
In = ( - 1 Г
1
где Io = f xm dx =
t . Окончательно имеем 
о
(m + 1)"
Io,
In = (-1 )"
(»U + l)n+x

§ 2. Основные теоремы и формулы
275
Примеры 49—54 являются теоремами, которые могут быть использованы при вычислении 
некоторых интегралов и рассмотрении отдельных вопросов теории.
4 9 .
Доказать, что для непрерывной функции / : [—/, /] —►
R имеем:
i 
1
1)
J
 
/(х ) dx = 2
J 
f ( x ) d x ,  если функция / четная;
2
)
◄
J
 
/(х ) dx = 0, если функция / нечетная.
-I
В силу свойства аддитивности интеграла справедливо равенство 
i 
о 
I
/ / ( « ) dx = / /(* )
-I 
- 1
dx +
Полагая в первом интеграле х = —t, имеем
i 
i
J 
f ( x ) d x = j ( f ( x ) + f ( - x ) ) d x .
-I
О
Если / четная функция, то /(х ) + / ( —я) = 2/(* ), 0 ^ х ^ I, и получаем 1). Если / нечетная 
функция, то /(х ) + / ( —х) = 0, 0 ^ х < /, и получаем 2). ►
5 0 .
Доказать, что одна из первообразных четной функции 
есть нечетная функция,, а 
всякая первообразная нечетной функции является четной функцией.
◄ Пусть / € R [—I, f] и является четной функцией. Тогда любая функция
/(<) dt + С, 
С = const,
является первообразной функции / на сегменте [— I, /] (множество точек разрыва функции /
не более чем счетное).
— X
Рассмотрим интеграл f f( t ) dt, произведем в нем замену —t = z и воспользуемся четно- 
0
стью функции / . При этом получим
F ( - x )  = -
J 
f ( z ) dz + С.
о
X
Следовательно, (F (—х) =
-О (С = 0), т. е. лишь функция х i-t- f  
/,
о
является нечетной.
Пусть / —- нечетная на сегменте [—/, /] функция и / в # [ —/, /]. Тогда
X
J 
f {t )dt + C,
С = const.
о
Рассмотрим произвольную первообразную функции /
Fj(x) = 
J 
f (t ) dt + Cj,
О

принадлежащую множеству { / / ( < ) Л + с } . Имеем
/
—Ж
'ж
 
X
F i ( - x )  =
J 
m d t + Cj = -
1 
f ( —z ) dz + Cj = 
J 
f ( z ) d z + Cj = Fi(x).
0 
0 
0 
Следовательно, F} является четной функцией. ►
5 1 .
Доказать, что если 
/ : 
R —
* 
R является непрерывной периодической функцией, 
имеющей период Т, то
а + Т
Т
276 
Гл. 4. Определенный интеграл
J 
f ( x ) d x = 
J 
f ( x) dx,
где а — произвольное действительное число.
Щ В силу свойства аддитивности интеграла, имеем
а + Т
Т
а + Т
j
 Л*)1*® = 
j
 /(*) 
dx + J  
/(*)«**•
а 
а 
Т
Из условия периодичности функции / следует, что
а + Т
а + Т
J f { x ) dx =
J 
/( * — T)dx.  
т 
т
Произведя замену х — Т = t, получаем
* 
а + Т
а
J 
f ( x - T ) d x = 
J 
f (t )dt .
Следовательно,
а + Т
J 
f ( x ) d x = 
J 
f ( x ) d x + 
J 
f ( x ) d x = 
J 
f ( x) dx.
a
0 
а 
0

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: