Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл
§ 2. Основные теоремы и формулы
жүктеу/скачать 16,21 Mb. Pdf көрінісі
|
| § 2. Основные теоремы и формулы
287 Следовательно, 4 1} = c + « n , + где « п, f i n — бесконечно малые последовательности. Согласно первой теореме о среднем, имеем 4>1} = s in ^ n /^ ! , О < £n < | - | , г , откуда получаем С = > т- е - — бесконечно малая последовательность. Так как С = const, то О = 0. ► п + р 7 3 . Доказать равенство lim 71 — * ОО П ◄ Функция х н-. н ^ х ^ n + р , убывает, а функция г ь-► s in s , п ^ х ^ п + р , непрерывна на каждом сегменте [п, n + р ] , поэтому, применив вторую теорему о среднем (формула (4), п. 2.2), получим / • dx = 0, р > 0. «+г {п / sin х i f . , cos п — cos f n * ------ ax = — I sin xdx = --------------------, n < tn < n + P- x n J n Из оценки |/„ | = __ 1 C O S П — C Q 5 j n | ^ ^ ^ - следует, что lim I n = 0. ► 7 4 . Пусть / : [a, b] —> R, R — непрерывные функции, причем функция <р дифференцируема на интервале ]а, Ь[ и ip'(x) ^ 0. Доказать вторую теорему о среднем (формула (6), п. 2.2), применяя интегрирование по частям и используя первую теорему о среднем. 6 ◄ Рассмотрим интеграл I = f f(x) и применим к нему формулу интегрирования а по мастям, полагая = f(x)dx, и(х) = (р(х). При этом получим . х ** Ь х Ь £ ' {х) J f ( t ) d t ^ j - J ( ^ p ' ( x ) J f(t)dt^J dx = ip(b) J f ( x ) d x - ( i p ( b ) - v ( a . ) ) j f ( x ) d x 1 = Ы (применив к интегралу f I ) dt J dx первую теорему о среднем). Применение этой a \ a / х теоремы законно, поскольку функция х i-> f f (t)dt, а ^ х ^ b, непрерывна, а <р'(х) ^ 0 a согласно условию. После несложных преобразований получаем о < I = J f ( x ) dx + ip(a) J f {x) dx. ► Если f £ R[a, b], mo средним значением функции f на сегменте [a, 6] называется число M( f ) b = b h j f { x '>dx- Найти средние значения функций на указанных сегментах: 7 5 . р = -------- -------------- -------------- -------------- -------------- 0 ^ ^ ) ^ 2 7 г , 0 < е < 1. 1 — е cos ip 288 Гл. 4. Определенный интеграл 4 Согласно определению, имеем ztr dip е cos Ip о A 2 ж 2 arctg 1 + £ 1 — e + А. 27Г [> + 7Г yT - e 2 l 2ж ( c m . п р и м е р 2 0 ). TT „ у a 2 —b2 b2 - Из аналитической геометрии известно, что е = -»— , р = —, где a — большая полуось эллипса, b — его малая полуось. Подставив вместо £ и р и х значения, получим М(р) = Ь. ► 7 6 . / : х sin х sin(x + <р), 0 ^ х ^ 2я\ ■< Исходя и з определения среднего значения функции, имеем щ п = s 2тг J sin х sin (х + р) dx Л_ 4гг 2JT о cos(2x + tp)) dx = 4гг ^x cos — i sin(2x + | cos 2 ' 7 7 . Найти среднее значение скорости свободно падающего тела, начальная скорость которого равна по. •4 Скорость свободно падающего тела в момент времени t выражается формулой v(t) = v0 + gt, где д — ускорение свободного падения. Согласно определению, получим т М (v) = i J (v0 + gt) dt = v0 + 0 q T v ( T ) — v n так как ► 7 8 . Сила переменного тока изменяется по закону . . /2тг* \ г = г0 sin I — + р ) , где г'о — амплитуда, t — время, Т — период, tp — начальная фаза. Найти среднее значение квадрата силы тока. ◄ Поскольку г2 = го sin2 + ¥>) = (l - cos + 2р)) , то т м (?) = J ( l - cos + 2<р)) dt = j . > 79. Пусть / € Я [ а , 6] и (/ € Я [ а , 6 ] . Доказать неравенство Коши—Буняковского М Так как / g Л [a, 6] и д € Л [а, Ь], то f g € Л [а, 6], / 2 € Я [а, 6], j 2 € Я [а, 6]. ь ь ь Обозначим a = f f 2(x)dx, ft — J f ( x ) g ( x ) d x , 7 = / g2(x)dx и рассмотрим два возможных случая: $ 2. Основные теоремы н формулы 289 1) « = 7 = 0; 2) хотя бы одно из чисел « или у отлично от нуля. 1) Пусть « = 7 = 0. Интегрируя неравенство l/(*)fl(*)l «S | ( / 2(*) + р2(*)), о < х < 6, получаем ь \0\<: J \ f ( x ) 9 { x ) \ dx ^ ^ ( а + у), откуда /3 = 0 и доказываемое неравенство выполняется. 2) Пусть, например, у > 0. Тогда при всех ( € R выполняется неравенство (/(х ) + tg(x))2 ^ 0, интегрируя которое получаем 712 + 20t+a^O, t е R. Следовательно, дискриминант квадратного трехчлеиа У = yt2 + 2 [)t + « неположителен, т. е. 0 1 — <ху ^ 0. Таким образом, /З2 ^ «7 - ► 8 0 . Пусть / € С'(1>[а, 6] и /(а) = 0. Доказать неравенство ь М 2 < ( 6- a ) J f ' 2(x)dx, а где М = sup {|/(х)|}. ◄ Запишем неравенство Коши—Буняковского в виде X X X J тем* \ I p ( t ) d t [ g 2 ( t ) d t , а { \{ где f*(t), /( t) = 1, Оно принимает вид X X X / fa(*)dt J f'(t)dt { \ i a откуда получим неравенство J f'2(t) dt V'x - a ^ |/(x)|, a < x < ft, a (принимая во внимание, что /(a ) = 0). Левая часть последнего неравенства лишь усилится, если в ней положить х = ft, а в правой части можно взять и то значение х € [а, 6], при котором непрерывная функция х |/(х )|, а ^ х ^ Ь, достигает своей точной верхней грани М . Следовательно, справедливо неравенство М 2 ^ (ft — a fa(x)dx. a ► Упражнения для самостоятельной работы Вычислить интегралы, построив первообразные подынтегральных функций на всем про межутке интегрирования и применив формулу Ньютона—Лейбница: 1 5 0.2 3 5 ,5 1 2 5,3 V 7 I7 7 0 ,8 1 . 18. / [x]x3dx. 19. / I g d z . 20. / 21. / [x2]dx. 22. / J - 1 ,3 2 ,4 1,2 \ А 5 0 .0 4 L 100.2 20 23. / [х] | sin жх| dx. 24. f m ax(l ,x2)dx. 0 ,2 5 - 1 0 Вычислить определенные интегралы: 290 Гл. 4. О п р ед е л ен н ы й и н т е г р а л dx. 2 у Д 25.. f 2? i . d x . 26. / —7= L = = . 27. / Z ^ r z p - d x - 28. /(arcsin x)4 dx. J 3 + ? / ( x - 2 ) 2 J * A / f i 2 _ 2 1 s J e * + 3 J ' l X t / ( x 2 — 2)5 1 1 29. /e -'s iiiir x d x . 30. / rf^ S r^ d x . 31. / |cos (in i ) | dx, n € N. 0 0 «- 2 ’rn 7t 32. f ek “ csia* d x . 33. / (1; ; 3)2 dx. 34. f т£щ*<1х. 35. / e“m* cos2n+1 x dx. -1 1 / 0 3 e- J ' - ^ d x . 37. 38. / (aisinl, f t i „ s?7)i. 39. / s i n ^ x d x , n e ] 40. Jr = S ^ ± ^ d * 1 £ = [ 0 >T ] \ { f } ) n e N . E Решить уравнения: 41. f = — 42. * [ - £ = = %. J 2 12 lnJ2 6 43. Найти абсолютные экстремумы функции / : х i-*- f — 1 ^ x < 1 . о 44. Исследовать на экстремум и найти точки перегиба графика функции / : х н / ( t - l)(t - 2)2 df, х е К - 45. Доказать тождество f arcsin V t d t + f arccos \ / i d t = о 0 46. Доказать, что £ fc * * " 1 = fc=i 47. Вычислить среднее значение функции / :х ь * 0 ^ х ^ 2 . 48. При каком а среднее значение функции х н»1пх, 1 ^ х ^ а, равно средней скорости изменения функции? Показать, что: 51. 0,78 < Г - ^ = < 0,93. о %Л+*4 Доказать равенства: Показать, что: 1 ™ 3 . 200 52> / ^ ^ = Ь 2 - ^ , 0 < 9 < 1 . 53. = О < 0 < 1 . 100 5 4 - 5 5 - ° < / 55+1 а* < 0 ,0 1 . 56. l < / i i f ^ d x < l + i . о v о о 20 1 57- 0 < f t t T < i o - 58- 1 - ^ < / е - хП^ < 1 , « > 1 . 291 1 59. Определить знак интеграла I = f ®2ln xdx. 0,5 § 3. И н т е г р и р о в а н и е в е к т о р -ф у н к ц и й 60. Какой интеграл больше: Д = f е х2 cos 2 х dx или Д — 61. Найти lim Г — ‘ —о „ «*'+» 62. Найти lim Г / ( х ) — где а > 0, Ь > 0, / £ С[0, 1]. t — + 0 J * 2 tr f е~х cos2 xdx? § 3. И нтегрирование вектор-функций, комплекснозначных функций и функциональных матриц 3.1. И н т е гр а л Р им ан а вектор-ф ун кц и и . Пусть f : [а, 6 ] —> R m — вектор-функция с компонентами />, j = 1, m, являющимися огра ниченными на сегменте [а, 6 ] функциями. Рассмотрим произвольное разбиение П сегмента [а, 6 ] и образуем при любом выборе точек £, 6 [х,, x;+i] сумму Л — 1 s n (f ) = ^ f ({l)A®„ i = 0 которую назовем интегральной суммой вектор-функции f на сегменте [в, Ь]. Согласно опре делению операции сложения в пространстве Rm, интегральная сумма Sn(f) имеет вид Sn(f) = (S n(/i), S n ( h ) , ■ • •, S n (/» )), (1) n — 1 где Sn(fj) = / j (£>)&Xi — интегральные суммы функций />, j = 1 , m. Пусть <1(П) = i = 0 max Дх;. Полагаем lim S n f f ) ^ ! , если Ve > 0 36 > 0 : УП V й(П) < 8 =*>• |S n(f) — II < е. 0 < 1 < п - 1 <*( П) — 0 4 О п ред елен и е. Определенным интегралом вектор-функции f на сегменте [а, Ь] назо вем предел lim Sn(f) = I, d(n )—.0 если он существует. Если вектор-функция f имеет определенный интеграл на сегменте [а, Ь], то будем ее на зывать интегрируемой по Риману на этом сегменте, а ее интеграл обозначать символом ь f f (х) d x. Множество всех интегрируемых на сегменте [а, 6 ] вектор-функций f будем обозна чать f € R [а, Ь]. Теорема. Вектор-функция { : [а, Ь] —► Rm интегрируема на сегменте [а, Ь] тогда и только тогда, когда каждая ее компонента f } , j = 1 , т, интегрируема на этом сегменте. Принимая во внимание эту теорему, получаем, что если f€/Z[o, 6 ], то ь ь J f\{x)dx, J / г ( х ) dx, , жүктеу/скачать 16,21 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|