Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

292
Гя. 4. О п р е д е л е н н ы й и н т е г р а л
Если вектор-функции f и g интегрируемы на [о, Ь] вместе со своими производными f ' и 
g ', то справедливы формулы интегрирования по частям для скалярного и векторного произ­
ведений этих функций:
ь 
ь
J { f ( *
0
. 
& \ x ) ) d x  =
g fa ))^
-
J  
( f 'M . g^))***. 
(3)
a
<*
ь
g '{x)]dx = [f(x), g (* )][ -
J  
И 1). g(*)]rf*-
(4)
3.2. И нтеграл Римана комплексно значной функции.
О п ред елен и е. Для функции / : [о, 
6
] —*• С, где /(х ) = и(х) + iv(x), образуем при про­
извольном разбиении П сегмента [а, 
6
] и любом выборе точек £j £ [xj, Xj+i] интегральную 
сумму
п
—1 
п-1
S n ( f ) = 
м(&) Дх> +
3 = 0
>=0
Тогда f f ( x ) dxd=
lim
<цп)—о
■5п(/), если этот предел существует.
Множество всех интегрируемых по Риману компяекснозначных функций / будем обозна­
чать / £ Л [а, 
6
].
Теорема. В lim S n (/) 
3 lim 5п (и) Л 3 lim 5 ц (v), причем
d(
п)-о 
v 
'
<<(П)—
о 
v ’ 
<цп)—о
lim 5 п ( / ) = ( lim 5д(м), lim Sn(t>)
d(n)—0 
\d ( n )-.0
<4(П)—О
Таким образом, комплекснозначная функция / интегрируема по Риману на сегменте [а, 
6
] 
тогда и только тогда, когда и £ Л [о, 
6
], v £ R [а, 
6
] и при этом
а
а
а
(1)
Если комплекснозначная функция / интегрируема на сегменте [а, 
6
], то комплексно­
сопряженная ей функция 
J
 
интегрируема на этом сегменте. Тогда и произведение / ■ / =
|/|2 
является интегрируемой числовой функцией, причем
ь 
ь
J
f ( x ) f ( x ) d x =
J ( u
2
( x )
+ v2(x))dx. 
(
2
)
a
a
3.3. И нтеграл Римана функциональной матрицы.
Если х 
А(х) = (aij(x)), о ^ х ^
6
, — функциональная матрица размера п X т , элемен­
тами которой являются ограниченные на сегменте [а, 
6
] функции, то она является элементом 
векторного пространства ЯЛ над полем R, причем в этом пространстве определена интеграль­
ная сумма б’п(-А) = (Sn(ay)) при произвольном разбиении П сегмента [а, Ь] и любом выборе 
точек £; £ 
[xj, x j + i ] .
Полагаем
ь
[ А(х) dxd= lim 5п(А),

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: