Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

268
Гл. 4. Определенный интеграл
в
2 9 . 
1 = J[x ]s in ^ -d x .
о
•4
Рассмотрим F(x) = f [ х] sin 
die, 
х
^ 0. Если I
е ] п - 1 ,
п[, то F(
х) 
= —(n — 1)£ cos рр + 
(7„_i, С
„-1
= const. Если же 
х
g]n, n + l[ , то F{x ) — —
cos ^p + Cn, 
C n 
= const. Из условия 
F (n — 0) = F(n + 0) получаем
,
6 
птг 
-
Cn = - cos — + Cn-
1
, 
ir 
6
откуда
_ 
6 /
f , 
2тг , 
n ir\
C’„ = Co + - ^COS — + cos — + . . . + cos — J .
Следовательно,
Fix) = ——[®] cos — + — (cos ^ + cos 2— + • • • + c°s[x]—^ + C'o, 
I = F ( 6 — 0) — F(0) = — . ►
4 
1Г 
6 
IT V 
6 
b 
О /
7Г
n_,
2 ’
3 0 . 
I
‘ S ’ -
sgn (cos x) dx.
Ч Рассмотрим F(x) = f x sgn (cos x) d x , x £ К. Подынтегральная функция разрывна в 
точках Xk = j- + A;ir, fc € Z, поэтому
F(x) = ( - l ) fc у + Ck, если x e ] | + (fc - 1)
tt
, 
j
+ to r|,
F(x) = ( - 1 ) <:+1 — + Ck+l, если x €
| + b r, | + (* + l)ir[.
И
№
И
’ +С ‘
Из условия C(xfc — 0) = E(xfc + 0) находим
Ck+l = (—l) (
2
^ ^ )
Ck =
!)* 1 
("2
~ 1),r) + ^ 0) 
C0 = const
Гх + ^1
Поскольку к = ----- — , TO
L * 
J
F W = (- 1 ) M
у + ( ! ) ’ - ( 1 - ) " + • • + (-■ ) f ’
Следовательно,
' - ( ^ - » Н Н Ь - Н т * Г + © г-
Иногда пределы различных сумм вычисляются путем приведения их к интегральным сум­
мам для интегрируемых функций. При переходе к пределу при « —> оо получаем интегралы, 
которые вычисляются с помощью формулы Ньютона—Лейбница.
Вычислить:
3 1 . Пт 
Sn, 
S n =  
- S -
t
 + - !
y
+ ... 
+^~-
n—
♦ 
00
п *4“ 1 
п *4" 2
◄ Записав S„ в виде
5n = i E
- i r ,
«
1
+ —

§ 2. Основные теоремы и формулы
269
приходим к выводу, что это нижняя интегральная сумма для функции х  i->- 
0 ^
1,
при разбиении П = {х, = ~
г =
0, «} сегмента [0, 1] и выборе £, =
х , .
Поэтому
= In 2. ►
lim ,S„ =
f ~ ~ -
ln(l +
x
)
П-.ОО 
J 1
+
X
V
'
0
2 . lim 
S n , Sn
= — [ \ / 1 H— +
\ 11
H— + . .. + л / l H— | . 
n—
+
 oo 
n у V 
n 
V 
« 
V 
11 I
Поскольку 
=
~ J2 J l + i
= 2 /(&) A x;, где /(x ) = л /Т Т х, 0 < x < 1, & = x; =
1=1 V 
t=I
i 
= 1, n ,  A x , =
to
- / ■
lim .S„ = j y / T + x dx = ^-(1 + я:)
= |( 2 л /2 - 1 ) .
3 3 .
lim 
. S , , , S n
=
sin — 
S
n
—*00
 
71 ^ ^
Л-1 2 + cos —
Поскольку sin - = - +
О
(A-l и lim 
О 
( ЕЛ 
-------—г— = О,
n
"
V" 3 '
n - o o
\ n 3J 
2 + COS 
—
J i = l
1 
n
lim 
Sn
n —»oo
= lim - V
n —
*oo 71 * ^
о i 
/cff
2 + cos -
Ho ^ E 9: ! 
= Ё / ( 6 ) Axfc, где /(x ) =
0 sj x sj ir, & = * £ , * = 1, n, 
A x k
=
fc=l 2 + cos ЕГ
тогда
lim iSn
7Г
■ /
tlx
2 + cos x
(см. пример 20). ►
3 4 . lim 
Sn , Sn
=
n —»oo
◄ Представим £n в виде
1 
i
dx
Г 2 
if t g f
>| 
2ir
2 
j
1 + 0,5 cos 
x
s 1
1 — £. 
W s y
^ +
лД
0
i
2 «
» + E
7Г
V l
n
 
-L
г _
I r 2 " 
_ c(i) _ e(2)
" ~ „ 2 - f
1
. 2 L ~
”
” ’
i a l
~ m
где .S ^ = " E 2 n i 
= ~ E n ~ • Из 
оценки 
0 < s i 2^ 
<
^
= ~
следует, что lim 
.Sn2'* = 0,
i= i 
n ;= i + ,n
”
”
n —oo
l
/
лх
2X dx =
-—-
In 2
поэтому
In 2
_r-
Используя правила Лопиталя и теорему 2, п. 1.3, раскрыть неопределенности вида gj и^—:
f cos t2 dt
3 5 . lim ------------- .
+o
X

270
Гя. 4. Определенный интеграл
Ч Применяя первое правило Лопиталя и теорему 2, п. 1.3, получаем
f  cos t2 dt
lim 5------
ж—+o 
x
Ж-.+0 й*У
= lim -r- / cos <2 dt = lim cos t 2 = 1.
t-+o
/ e‘3 fit
3 6 .
lim
x
—»+ o o
J1 e2(2 rft
о
Ч Применяя второе правило Лопиталя два раза, находим
lim
дг—► •foo
fe<*dt
/ е2‘2 dt
= lim 
40
X
—
►
оэ
= lim
5 / f2‘2 dt
= lim
2е*2 J V 2 Л
О
а;—*-+оо 
f,
2а2
2 / е'2 dt
а — + оо 
f.3"
■
2
— -— =
2
lim 
—
5
- =
2
lim -L =
0
.
а —* + о о 
—
(X
а —* + о о
2 x 6 *  
1-++00
2х
dx
= 2 lim
1
3 7
. Пусть / 6 С[0, +оо[ и /(х ) —►
А при х —►
+оо. Найти lim / f(iix)dx.
о
Ч Произведя в интеграле замену пх = t, получаем
1 
п
Иш / f ( n x ) d x =  lim — 
f ( t ) d t =  lim
Tl — oo 
J
n —»oo 
J
n —* 
00
0
0
x
где 
— значения функции
^ J f (t )d t ,  0 < x < +oo, в точках x„ = n, n € N.
0
Следовательно,
X
lim tp„ = lini i / f(t)dt.
n —
koo
x —+-f-oo 
X 
J
0
Если 4 = 0, то V
j
> О ЗД > 0 : Vx > Д =>• 
| / (
x
)| 
< 
Поскольку в рассматриваемом 
случае функция / является ограниченной, то ЗЛ/ > 0 : |/(х )| ^ М  Vx € [0, +оо[.
Пусть х > Д. Тогда
Из оценок
получаем оценку
2МЛ
если х >

§ 2. Основные теоремы и формулы
271
Следовательно, Иш <р„ =
А
=
0
.
71—+ СЮ
Если 
А ф
0, то Vs > 0 З Д
1
> 0 : Vx > Д : => + — 
е <
/ ( х ) <
А
 + е. При 
х
> Д
1
имеем
X
 
А 1_ 
д: 
А 1
j
 
f ( t ) d t = 
j
 
/ ( t ) d f +
J
f ( t ) dt
>
J
 
/ ( t ) d t +
(A
 - e)(x - Д
1
).
Поэтому 
lim 
/ / ( t ) d t = oo.
X  
—
I- 
-J- 
CO 
j 
0
Применяя второе правило Лопиталя, получаем
lim — 
f
f( t ) dt
= lim 
/ / ( t ) dt = lim / ( x ) =
C - . + CO 
x J  
1 - . + 0 0 d a ; J
I — + 0 0
Следовательно, lim ц
5
„ =
A.
►
3 8 .
Доказать, что
X
J
'
dt 
~
при x —►
+ oo.
◄ Докажем, что lim
.г
—* + 0 0
с
2х J  е* dt 
о
2
х 
f  
е ‘ dt
lim ---- —
-с
—.+00
ех
= lim
д:—«■+ со
= Пт
.г—* + оо
з ; ( г*
= 1, применив второе правило Лопиталя:
X
2
 / е ‘ 
dt +
2
xe
l2
' + 1
cl ~
т е
= lim
X
—* + 0 0
= Иш
,r-++o© 
* 2хех
0
/
dx
(xex
+ 
1
= lim
£—.+00
V ex + 2х2ел
+ 1 = 1 . ►
/
О помощью замены переменной с последующим применением формулы Ньютона—
Лейб­
ница вычислить следующие интегралы:
0,75
dx
(х + 1)л/х2 + 1 
о
◄ Полагая 
= t, получаем: х = ^ — 1, 
dx = — 
х2 + 1 = — —
j + 2; тогда
/ 
dt 
= J -
f  
J
V212 

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: