§5.
Теоремы Ролля, Лагранж а, Коши
147
§ 5. Теоремы Ролля, Л агранжа, Коши
5.1. Теорема Ролля.
Пусть функция / : [а, Ь] —*
R
непрерывна на сегменте
[а, Ь] и имеет конечную или беско
нечную производную внутри этого сегмента. Пусть, кроме
того, /(а ) = /(Ь). Тогда внутри
сегмента [а, 6] найдется точка £ такая, что
/'(€) = о.
5.2. Т еорема Лагранж а.
Если функция / : [u, i]
—* R
непрерывна на сегменте [а, 6] и имеет конечную или беско
нечную производную во внутренних точках этого сегмента, то 3£ €]<*, Ь[ такое, что
/ ( Ч - / ( « ) = / '( 0 ( ь - < 0 -
5.3. Теорема Коши.
Если каждая из функций / и
д непрерывна на [я,
Ь] и имеет конечную или бесконечную
производную на ]я, fc[ и если, кроме того,
производная д'(х) ф 0 на ]а, Ь[, то Э£ б]а, 6[ такое,
что
справедлива формула
m
- п а ) =
п о
у( Ь)-д( а)
Если дополнительно
потребовать, чтобы
д(а) ф д(Ь), то условие
д'(х)
ф 0
можно заменить
менее жестким:
( /'( я ))2 +
Ф 0
Vx€]a,b[.
8 1 . Пусть функция / имеет конечную производную / ' в каждой точке конечного или
бесконечного интервала ]а, Ь[ и
Нш
f (x ) = lim
f (x).
.г-—
*a-f0
х —
*6—О
Доказать, что /'( с ) = 0, где
с — некоторая точка интервала ]а, Ь[.
■4 Пусть интервал ]а, й[ конечен и lim
f ( x
) = lim
f i x )
Достарыңызбен бөлісу: 
