Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Pdf көрінісі

бет	57/135
Дата	31.10.2022
өлшемі	16,21 Mb.
	#46579

1 ... 53 54 55 56 57 58 59 60 ... 135

6 9 . у = и2.

140
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Найти производные и дифференциал указанного порядка:
У ;
6 7 .
у = - Д = = . Найти у '100).
VI — *
◄ Преобразуем данную функцию к виду, удобному для дифференцирования, и применим
одну из формул пункта 4.2:
У — 2 (1 -ж )~ 2 — (1 — ж)з ,
/
1\(ю о)
/
1\(Ю0)
^ ( l - x ) - 2 j
- ( О - ж ) ^
=
„(МО)
(199)1!
, г т
I (197)!!П
3 9 9
- ж
299 '
'
'
2100 '
2100
(1 — т )100'5 ’
х < 1. ►
6 8 . у = жвЬж. Найти j / 100^.
◄ Применяем формулу Лейбница, положив и = х, а = вЬж, и получаем
100
у(10°) = (ж sh ж)(100) =
C'foo (ж)^*^(вЬ
= С’?оо я sh ж + С^оо ch ж = ж sh ж + 100 ch ж. ►
6 9 .
у =
и2.
Найти d10y.
М Применяя формулу Лейбница к произведению у — ии, получаем
10
4
d10y =
]Г)с1о
d' udl°~'u = 2 ^ C ’i0
+ C fo ^ 5!!)2 =
1=0
t=0
Jio.
= 2«djgu + 20dud9u + 90 d2 u d8 н + 240 d3u d 7 и + 420 di u d 6u + 252 (d5 u)2. ►
70.
Выразить производные у" и у1" от функции у = /(ж) через последовательные
дифференциалы переменных ж и у, не предполагая ж независимой переменной.
◄ Используя определение 3, п. 4.1, а также правило дифференцирования произведения,
получаем
dy = f \ x ) d x ,
(1)
d2у = f "(x)( dx)2 + f ' ( x ) d2ж,
(2)

d3y = f " \ x ) ( d x f  + 3/" (х ) d2х dx + /'( x ) d3x.
Из формул (1) — (3) имеем последовательно
y = f ( x ) = ^ ,
"
d2y - y ' d 2x
dxd2y - d y d 2x
У ~ }
(dx)2
~
(.i x f
y'" = f "' ( x )  = - 1 ((dx)2 d3 у — Zd2x d x d 2y + 3 (d2x)2 dy — dx dyd3x). ►
(ax)*

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 53 54 55 56 57 58 59 60 ... 135