Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл
жүктеу/скачать 16,21 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 1 1 3 . Показать, что функции pi : х (-*■ х п (п > 1 )
| А2(
х 2 - x i ) / " ( & ) , ( 3 ) г д е £ i < £ з < £2 • В с и л у у с л о в и й A i > 0 , А 2 > 0 и / " ( £ з ) > 0 , и м е е м А2/ ( х 2) + A i/(x i) > / ( Aixi + А2х2), т. е. / выпукла снизу на ]а, Ь[. Если же f " ( x ) < 0 на ]а, 6[, то функция р : х е-► — /( х ) по доказанному выше выпукла снизу на ]а, 6[, в силу чего имеем A i ^ ( x i ) + А 2 ^ ( х 2 ) > ^ ( A i x i + А 2 х 2 ) , откуда A i/(x i) + А 2 / ( х 2 ) < / ( А 1 Х 1 + А2х2). Полученное неравенство показывает, что / вы пукла сверху на ]а, Ь[. ► 1 1 3 . Показать, что функции pi : х (-*■ х п (п > 1 ) , р2 : х ь-> е х , рг : х i-> х In х, х > 0 , выпуклы снизу на интервале ]0, +со[, а функции фг : х х п (0 < п < 1), Ф 2 : х In х выпуклы сверху на интервале ]0, +оо[. ◄ Дифференцируя дважды данные функции, находим P i ( x ) = 71(71 - 1)хп 2, ^ 2(х) = е*, ^з(х) = -,- V'l'(x) = n(n - l)x r При х €]0, +оо[ имеем р"{х) > 0 (/ — 1, 3), Фи(х) < 0 {к — 1, 2), поэтому, на основании ре зультата, полученного при решении предыдущего примера, можем утверждать, что функции Pi выпуклы снизу, а функции фи выпуклы сверху на интервале ]0, +оо[. ► i s з 1 1 4 . Доказать, что ограниченная выпуклая функция всюду непрерывна и имеет одно сторонние левую и правую производные. ◄ Предположим для определенности, что функция / выпукла снизу на интервале ]о, Ь[. В силу ограниченности / на ]а, Ь[, Эс > 0 такое, что |/( х ) | ^ с. Пусть жо €]о, Ь[ и приращение аргумента h > 0 в этой точке взято такое, что точки хо — h и жо + h также принадлежат ]а, Ь[. Поскольку / выпукла снизу, то справедливо неравенство /(жо + h) + /(жо — «) > 2 /(io ), которое перепишем в виде f { x ) - f { x 0 - h ) < f ( x 0 + h ) - f ( x o ) - жүктеу/скачать 16,21 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|