§ 8. Раскрытие неопределеииостей

Замечание. Для нахождения lim *SX} можно было бы применить правило Лопиталя (дважды),
х
-,0
9
однако здесь, как и в других подобных примерах, удобнее (с вычислительной точки зрения) поль­
зоваться замечательными пределами.
168 
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
1 1 9 . w = lim ( е
*2 х
10°, 
х х
*->+о \
◄ Поскольку для вектор-функции
w = lim (е х2 х 100, х "
х
—+0
“ У
lim е х2 х
аг
—>+0
-1 0 0
I* 
2
, lim х
х
->+0
то находим пределы каждой из компонент в отдельности. Имеем
lim е х2 х~
х
—*0
lim - — = 50! lim е 
9
= 0
х —> + о о бУ
у —* + о о
(здесь второе правило Лопиталя применено 50 раз).
Для второй компоненты предварительно применяем представление и” = evinu, и > 
0
, и 
проводим некоторое преобразование с тем, чтобы можно было воспользоваться правилом 
Лопиталя:
'“ " Л
е
\
x l n x
) _
аЬ
lim Xх
х - , + 0
: lim е
Х-.+0
(Здесь мы воспользовались непрерывностью функции * и е ’ и теоремой о пределе произве­
дения). Для нахождения а = lim х In
2
х = lim —гг применяем второе, а для нахождения
I - . + 0
Х - . + 0
х
е* In ^
Ь = lim 
^’jn х------ первое правило Лопиталя. Имеем
In2 
X
2 1 n x - i
—2 In 
X
- I
lllll ---- Г* = lull -------- = Inn ----------- :— = Inn
7
- = 0,
x
-> + 0
x~
®-*+o —x “
a x
In 
X
lim
X
-.+0
x~
x -+ 0 --L .
1
X-.+0 
I
In 
I
Поэтому окончательно w = (
0
, 
1
). ►
= am f l z l - i .
t
—-0
t
!
20
. 
w = ^
^ (tg
* , 
( 1
arctg x ) X , ( t h * r
◄ Для нахождения предела вектор-функции вычисляем пределы каждой из ее компонент. 
Поскольку компоненты представляют собой степенно-показательные выражения, то приме­
няем представление uv =
е ,,1п 
“ , и > 
0
, и, приведя соответствующие неопределенности к виду 
j , пользуемся правилом Лопиталя. Имеем
lim 
)* =
Х
-.+00
\
2
х +
1
/
lim
( t g  ■ —х ■ )
c o s -
,_+<*Л 
8
2
.T+i;
2 х + 1 ( 2
х
+ 1 ) 2 _
л?Л(*“^ ~ 1(2я+1га) 
=е2 '-
(
2
\ х  
l im
х  In 
a r c t g х )
— arctg х ) — 
+00
v п 
'
7Г 
/
lim
- ■2 т +7Г1- - а
‘Со s i n — ' ■■■
е 
2
л
;+1
=
1
, 
а =. lim
1
х —*оо
2х +
1
= 0,
где z = lim
х—
»+оо
1+х2 
arctg 
х
_ 
2
I 
— “ Т
lim (th*)* = Ит е-'-С*»**) = е*
.т—>+оо 
х —>+оо

§ 8. Раскрытие неопределенностей
166
где
z = liin x ln (th x ) = lim 
— — 
2
lim —^— =
—2
lim 
■I— =
0
.
x->+oo 
1
-.+ 
00
—L. 
*->+oo sh
2
x 
Л-.+ 
00
ch 
2
x 
,
Следовательно, w = ^1, 
e *,
1 ]. ►
1 2 1
. 
Найти предел матричной функции
/
1
i
/
^ s i n х ^
^ a r c t g х  ^
А : х
^ A rs h x ^
^ (i+x)£ ^ *
, 
* €] — 
1
, 
1
[\{
0
},
при 
х
—. 0.
◄ Поскольку lim 
А ( х)
= I lim о,у(х)), где 
а,3(х)
— элементы функциональной матрицы
х —* а  
\ х
—кг 
'  /
А(х),
то вычисляем предел данной матрицы поэлементно. Имеем
1
п ^
,
.. 
/ sin 
х \
х 2
 
z
lim I -----
= е , 
где г = lim
я—о \ х / 
Х-.0 
х*
Применяем правило Лопиталя
= lim
х
—о 2х sin х
x c o s x —sinx 
xcosx — sin х 
—xsinx 
1
-------- x------- = lim -------——------- = lim
2x3
6x2
Аналогично получаем для всех других элементов:
In
Um f
12
= ег, л = lim 
= lim
x —
»0 \
x
/
x —*0 
X A 
x —
*-C
l-j-x-*
— arctg x
2x3
_
2
ч
(
j_ 
i 
A rsh
x
= e~, z = lim “ - ■
* ■ = Um
x  
/
x — 0 
X 2 
x-eO
x —*-0 a r c t g x
.. 
x - (1 + x2) arctgx 
—2xarctgx 
1
= Uin ------i
^
---------- = Um -------
- - 5
------=
x->o 
2x3 
x—o 
6x2 
3
i = x — Arsh x
ll+x-i
x —,0 A rsh
x  
2 l
3
1 ,. 
x — u(x)
1 ,. 
—xA rshx 
1
(здесь введено обозначение 
u(x) =
л/1 + x2 Arsh x);
.1
’
Um
x
—*-0
(i + *)
I \ i
In 
(
=
ez , z
= Um
X-hO
= Ц тЧ 1±| Ь £ =
x — 0 
X 2
= Um 1±1----l  = ]im - M L й ■Л.,]
x—
.о 
2x 
x
—.0
2 
2
Итак, окончательно имеем
Um A(x) =
x —►О
_1 
_ 
1
_
e
6
e
3
_ I
—I
e 6 
e 
2
1 2 2 . lim 
-------- -— V
x
—.0
\x
ex
— 1 /
◄ Неопределенность 
00
— 
00
приводим к виду jj-, получим
1 _
1 
_ e* — 1 — x
х 
е* — 1 
х(ех —
1)
и, дважды применив правило Лопиталя, имеем
е* _ 1 - ж 
е* - 1
Urn —— -----г- = п т
= lim
х
—.0
х(еТ — 1) 
х—
»о е* — 1 + хе* 
х-.о ех(2 + х) 
2

170
1 2 3
.
Гл. 
2
. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
х  ч c th х
= iim
х— \
2
/
◄ Неопределенность 
1
°° приводим к виду ео , получаем
^ l + e^y th x _ e ( ln(
1
;T
“ ) ) (‘h*)" 1
и, применяя правило Лопиталя, имеем:
ш ( ^ )
lim
I
-.0
th х
= lira
2
х 
1
_ 
1 + е * е
2
ch 
2
ж
Таким,-образом, w = е? . ►
124. 
Исследовать на дифференцируемость в точке х =
0
функцию
если х ф 
0
; 
если ж =
0
.
f : xt
Г 
т.
\ 
;■
◄ Исследовать на дифференцируемость функции в точке а: =
0
означает установить су­
ществование конечного предела
*
i_ __ 
1
 
__ i_
/'(0 ) = Urn 
2 . 
(1)
I
-.0
 
х 
'
Предел (
1
) будем искать по правилу Лопиталя, для чего мы должны убедиться, что чи­
слитель в (
1
) стремится к нулю при х —►
0
. Проверка с применением правила Лопиталя 
показывает, что
lim
х —»0
2
е* -
2
- ж - т.ех _
е3
о 
2х(ех — 
1
) 
x-.o 
2
(е
*(1
+ х) — 
1
) 
2
*->о 
2
ех + хех
1 - х е х 
1
- х е х
= — lim
=
0
.
Итак, в формуле (
1
) имеем неопределенность вида 
Применяя к (
1
) правило Лопиталя 
трижды, получаем
,• 
* _ ^Г Г -
2
,• 
2ех - 2 - х — хех 
.. 
2ех -
1
- ех - хех
х 
i-.o 
2х2(ех — 
1
) 
л:-.о Ах^е* — 
1
) 
2х2ех
= lim
— хе
= lira
.о 4(ех — 1) + ех (8х + 2х2) 
*—0
(12 + 12х + 2х2) е
125. 
Найти асимптоту кривой
___ = _ J _ . 
/ ' ( 0) = -
2
- *
х  
1 2 ’ 
■' ^ '
1 9
w
12
-i+*
У =
х > 
0
.
(1
+ х)х ’
◄ Уравнение наклонной асимптоты имеет вид у = кх + Ь. Использовав уравнение кривой, 
находим к и Ъ:
1
1
е ’
lira
..... , ----— = lim 
. 
, „,
х —. + о о ( l - ( - Х ^ х
X —. +

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: