Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл
жүктеу/скачать 16,21 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- § 5. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши 15S
- Х п+1 = ЛХ„ + I, Хо = (1, 1)Т, I = (1, 0)т , где А - ( *! ) •
- 6.2. Критерий возрастания (убывания) функции.
- 9 8 . / : ж н- ■4 Поскольку /(ж) = х2*(2 — ж In 2) при ж € ] 0 , ^ [, то на интервале ] 0
- 9 9 . / : i n j ( у — -J- sm(ln х) j , если ж > 0 и /(0 ) = 0. ■4 Дифференцируя / , получаем / ( * ) =
- 1 0 0 . Доказать, что функция / : ж н ^1 + возрастает на интервалах ]
- § 6. Возрастание и убывание функции. Неравенства
- 1 0 3 . Пусть функция / непрерывна в промежутке а ^ х
| ( /:х н н .|х |,
— 1 ^ х ^ 1; <р : х sin х , 0 ^ ^ • 192. Для вектор-функции f : ж н-> (ж sin ж, xcosx), х £ [О, , найти такое £ € ]0, | [, что f ( f ) - f (°) = A jf'(€), A e к. 193. Доказать, что если / € C<’n+1)([o, 6]), то Э£ б]а, Ь[ такое, что f(x) ~ Ь”ЛХ) = где W , n + l ( l ) = ( X — Х о )(х — X i ) ... (ж — Х т ) , О = Жо < Х\ < ■ ■ • < Х т — Ь, т Lm(x) = £ u' r ±lS x)— г. j-Q m + l v J'K I' У к а з а н и е . В в ес т и в р а сс м о тр е н и е ф у н кц и ю z : х ь-* f ( x ) — Z/m ( r ) “ k ( x ) w m + i ( x ) , где A;(x) в ы б и р а е т с я и з у с л о в и я z ( x ) — 0. 194. Пусть вектор-функция f : К —► Е п , п ^ 3, непрерывно дифференцируема на сег менте [а, 6], а < Ь. Всегда ли можно найти такое £ £ ]а, 6[, чтобы вектор f (6) — f(a) был коллииеарен f'(£)? Рассмотреть пример f(x) = ( c o s ж, sins, ж ) , ж £ [0, тг]. 195. Справедлива ли теорема Лагранжа для дифференцируемой на сегменте [а, 6] функ ции / : ж I— f i(x) + i f 2(ж), где г — У^Т? Рассмотреть пример / : I и cos ж + i sin ж, х £ 196. Пусть f — дифференцируемая на интервале ]а, Ь[ вектор-функция такая, что f'(x) = О на ]а, 6[. Что можно сказать о функции f ? 197. Пусть А — дифференцируемая на интервале ]а, Ь[ матричная функция такая, что Л'(ж) = 0, ж б]а, Ъ[. Что можно сказать о функции А ? 198. Пусть if : I и I - где f — дважды дифференцируемая на [а, 6] функция, причем /'(ж ) ф 0. Для данного в и функции / найти то множество X С [а, Ь], для которого выполняется неравенство 1Ж ) - v(y)\ ^ 0\х - у\, х , у & Х , если: а ) / : !■ и 1 - cos ж , # = | , ж б [ о , | ] ; б) / : ж >-► ж t g x — 1 , 0 = ^ , ж £ [ о , | ] . 199. П у с т ь v : f г - / ( ж ) - /(f) - / ' ( f ) ( ж - f) - ... - / (n)( t ) ^ f ^ - А ( ж - t f , t £ [а, ж ] , p > 0 , A = c o n s t ; ф у н к ц и я f и м е е т ( n + 1 ) - ю п р о и з в о д н у ю н а [ a , ж ] . Д о к а з а т ь , ч т о V p > 0 Э £ ё ] а , ж[ и такое А , что /(ж ) = ± ^ 1 ( ж - а)к + ( f E f ) " к=0 4 ' (формула Тейлора с остаточным членом в о б щ е й ф о р м е ) . 200. Пусть матричная функция А : ж е - * А{ ж ) н е п р е р ы в н о д и ф ф е р е н ц и р у е м а на с е г м е н т е [а, 6] и |Л(ж)| = 1аи ( а:)12’ где ач ( х ) элементы матрицы Л( ж). Тогда справедлива оценка | А ( Ь ) - Л ( а Ж m a x | Л ' ( ж ) | ( 6 - а ) . а£х<Ь Доказать это. § 5. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши 15S 201. Доказать, что если вектор-функции f и g непрерывны на сегменте [a, i] и диффе ренцируемы в интервале ]а, Ь[, то 3£ €]а, Ь[ такое, что ( f ( J ) - f ( a ) , g '( 0 ) = (g (b )-g (a ), f '( 0 ) . 202. Пусть функции / и у вместе со своими производными до n -го порядка включитель но непрерывны на сегменте [<г, 6] и имеют производную (к + 1)-го порядка в интервале ]а, Ь[. Тогда Э£ €]а, Ь[ такое, что (я{Ь) - t - «)*) /(п+1)(0 = ( . т - ± - «)*) Доказать это. Указание. Рассмотреть функцию ^ : 1 ь* <р(х), где ip(x) = R n(b)rn{x) - rn(b)Rn(x), Rn(x) = д(Ь) - ^ 2 3 ^ (x ~ a)k> k — 1 k s l 203. Пусть: 1) / € C(2J(] — oo, +oo[); 2) Уж, h 6 R выполняется тождество ■■ ■ f ( x + h) - /(ж) = h f ' ( x + 0h); 3) f " ( x ) ф 0. Доказать, что: а) если в = в(х), то в(х) = б) если | 0 '(ж)| < +оо и в = 0 ( h ) , то lim 0(h) = ^ л—о 2 204. Пусть i i 1 (ж + 1 ) « — I " = £-(ж + 0 ( х ) ) ~ 1 + п , х > 0, п > 1. Найти предельные значения 0(х) при х —► +0 и а: —> +оо. 205. Пусть функции f u g дифференцируемы на сегменте [а, Ь], причем д(х) ф 0, д'(к) ф 0. Тогда 3£ €]«, 6[ такое, что 1 <Р(«) <р(Ь) 1 д ( Ь ) - 9 ( а ) ?(«) 9(b) ~ 9'(<) 9 '(0 з'(0 Показать это. 206. Показать, что производная функции / : ж к-» { х 2 sin ( ! In ж), ж^О , I 0, г = 0, непрерывна при ж ^ О, однако функция £, удовлетворяющая соотношению /(ж) = /'(£ (ж))ж, О < £(ж) < ж, является разрывной. 207. Доказать, что если / ' непрерывна и монотонна на сегменте [О, А], причем /(0 ) =,0, то функция £ непрерывна на этом сегменте (см. пример 206). 208. Доказать неравенства: а) |ж - у\ ^ (ж2 In ж - у1 In j>| ^ Зе|ж - у\ 'ix, у е [1, е]; б) jx2 arctg ж - у2 arctgj/l ^ 4 р |ж - 'ix, у € [0, 1]. 209. Доказать неравенства: а ) б) s i n .г —s i n у х-у х - у у - cos у j ^ \ \ х - у\ Уж, у 6] - 00 , +оо[; «S £|ж - у\ i x , у € [1, +оо[. 210. Доказать, что последовательные приближения, определяемые формулой 156 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной ж „ +1 = ее*", хо = 1, сходятся к корню уравнения ж = ее*, если 0 < ее < 1. 211. Доказать, что последовательные приближения, определяемые формулой Х п+1 = ЛХ„ + I, Хо = (1, 1)Т, I = (1, 0)т , где А - ( *! ) • сходятся в Е2 к решению уравнения X = ЛХ + 1, если е2 < | . § 6. Возрастание и убывание функции. Н еравенства 6.1. Возрастание и убывание функции. О п ред елен и е. Функция / называется возрастающей (убывающей) на сегменте [a, ft], если / ( жг) > /(ж i) ( или соответственно /(жг) < /(* i) ) Vzi, жг € [о, ft] и xi < ж2. 6.2. Критерий возрастания (убывания) функции. Для того чтобы имеющая конечную или бесконечную на промежутке X производную функция / возрастала (убывала) на нем, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись усло вия: a) f ' ( x ) ^ 0 (/'(ж ) ^ 0); б) /'(ж ) не обращается в нуль ни на каком сегменте [», /?], составляющем часть промежутка Х([а, ji\ С X ). Определить промежутки возрастания и убывания следующих функций: 9 8 . / : ж н- ■4 Поскольку /'(ж) = х2~*(2 — ж In 2) при ж € ] 0 , ^ [, то на интервале ] 0 , ~ [ функция / возрастает. В интервалах ] — оо, 0[ и +сх>[ производная функции / отрицательна, следовательно, / убывает на каждом из этих интервалов. ► 9 9 . / : i n j ( у — -J- sm(ln х) j , если ж > 0 и /(0 ) = 0. ■4 Дифференцируя / , получаем / ' ( * ) = \ j \ + v ^ s i n ( i n ж + j ) , ж > 0 , откуда / ' ( ж ) > 0, если sin (in ж + j ) > — Решая последнее неравенство, находим интерва лы возрастания функции / : — •~ж-{-2кп — ~ 7Г Ч 2 Al 7Г е 12 , ei2 В интервалах — i r + 2 k i r i^7T+2fcir е 12 , Р.12 функция / убывает, поскольку на них /'(ж ) < 0, к € Ъ. ► 1 0 0 . Доказать, что функция / : ж н ^1 + возрастает на интервалах ] — оо, —1[ и ]0, +оо[. ■4 Покажем, что в указанных интервалах производная функции положительна. При ж > 0 f '( x) = /(ж) ^1п(ж + 1) - In ж - • Применив формулу конечных приращений к функции ж i—► In ж на сегменте [ж, ж + 1], получим 157 в силу чего f ' ( x ) = f ( x ) > 0 при х > 0 . Далее, пусть —оо < х < — 1. Тогда / ' (х) = f { x ) (in(i - 1 ) - In t - ) , где t — —x, 1 < t < 4 - 00 . По формуле Лагранжа ln(f — 1 ) — In t = — § 6. Возрастание и убывание функции. Неравенства, где t - 1 < 6 < t , поэтому f ' ( x ) = f ( - t ) ( ^ - > ° при 1 < t < +oo, или f ' ( x ) > 0 при — 00 < x < — 1 . ► 1 0 1 . Обязательно ли производная монотонной функции является монотонной? ◄ Не обязательно. Функция / : х 2х + sin х монотонно возрастает на всей числовой прямой, поскольку ее производная / ' : х н* 2+cos х положительна Vx 6 R. В то же время сама производная, рассматриваемая на интервале ]—оо, +оо[, очевидно, не является монотонной. ► 1 0 2 . Доказать, что если <р — монотонно возрастающая дифференцируемая функция и \ f ( x ) \ ^ Ifi'(x) при X ^ Яо, то | /(х ) — f ( x о)| ^ 1 р(х) — р ( х 0) при X ^ х 0. Дать геометрическую интерпретацию этого факта. ^ Поскольку функции / и ip удовлетворяют всем условиям теоремы Коши о среднем значении, то справедливо равенство f ( x ) - f ( x 0) f ' (c) V>(*) — ¥>(®о) ¥>'(с) х 0 < с < х, откуда | f ( x ) - / ( х 0)| ^ | <р(х) - <р{х о)| = <р(х) - <р(хо). Геометрически это неравенство означает, что приращение монотонно возрастающей диф ференцируемой функции будет не меньше приращения всякой другой дифференцируемой функции с меньшим или равным абсолютным значением производной. ► 1 0 3 . Пусть функция / непрерывна в промежутке а ^ х < +оо и, сверх того, f ' ( x ) > к > О при х > а, где к — постоянная. Доказать, что если /(а ) < 0 , то уравнение /(х ) = 0 имеет /(а) Г один и только один действительный корень в интервале а, а ----- у-ь . к ■4 Применяя теорему Лагранжа к функции / на сегменте а, а + , имеем , L H . « - » / ' - ч И Из условия f ' ( x ) > к > 0 находим f ( a + - /(«) > 1/(<*)1 О < в < 1 . откуда Функция / на концах сегмента а, а + принимает значения разных знаков, поэтому, по теореме Коши о промежуточных значениях, существует такая точка £ £ о, о + !/(»)! к что /(£) = 0 . Докажем, что она единственная на этом интервале. Если допустить, что на нем найдется такая точка £i, что /(£ i) = 0 , то по теореме Ролля на интервале ]£, £i[ (если $1 > £) или на интервале ]£i, £[ (если < £) найдется такая точка что f ' ( &) = 0 , а это противоречит условию / '( х ) > к > 0 при х > а. ► |