Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

§ 
8
. Раскрытие неопределенностей 
126. 
Возможно ли применение правила Лопиталя к пределу
171
lim
2
• 
1 
х sin -  
_____ * ?
о sin X 
: х
◄ Функции / : х и-►
x2sin - и д : х 
sin х х € К \{
0
}, определены и непрерывны в 
окрестности точки х = 
0
(исключая точку х = 
0
); их производные / ' : х t—
►
2
х sin 
1
— cos - и 
д' : х ь- cos х одновременно существуют при х ф 
0
; выражение ( /'( х
))2
+ (g'(x
))2
= cos2x +
„2
1
— 2х sin - + 4х
2
sin
2
— ф 0 при и / 0 и
f 'f i l
2
х sin - — cos -
lim 
= lim --------£-------- —
i
—0
<7
(x) 
i
—0
cosx
(
1
)
Поскольку lim (2x sin 
(cos x) 
1
=
0
, a lim (cos 1) (cosx) 
1
не существует, то предел (1)
также не существует. Следовательно, применение правила Лопиталя в данном примере не­
возможно. ►
Отметим, что
127. 
Найти
X Sin -
X 
{ 
1
 \
lim —:----— = lim —--- - lim I x sm — I =
0
.
a
?—0
Sin 
X 
x->0 sm 
X 
x—
*■<) V 
X 
/
• 
(  
x 
sin x \
d e t l e ' - l
1 +
X
2
 
1 
i
: 
 
V 
___
_ 
/
lim
x
—*-0
. 
/ X COS X 
t g X \
d e t {
shx 
e* 
)
◄ Данные определители как функции переменной х удовлетворяют всем условиям пра­
вила Лопиталя в некоторой окрестности точки х =
0
. Поэтому, применяя правило, получаем
det
= lim
ех — 
1
1
+ х
2
)
. . / х 
sinx \ 
+ * * (
2х )
~ { 1
; W
“ «)
Упражнения для самостоятельной работы
Найти следующие пределы:
295. lim
_ 0  s i n ( s i n x ) - t g ( t g i ) '
296. lim
-i+ i”
a r c l g ( i 1 3 )
297. Um —
*-*■ 0
atsh x4 —
e
*4
41
2»8 - 
-
299.
300
Um 
•
1 - 1
v I - i) 
* 
4c,* ~ /
301. lim 
(  . ° ■, -
+
77
- W ) • 
302. lim 
C + 
+ _Ё_).
x — 2 
\ « n ( * - 2 )
x —2 
( a ? - 2 ) /
x _ > 3
n
/
x
^ T J +
i
\ A “ 3 X - 2 7 ' 3 - * /
303. Um (  - 
.
x
—. 4  
Vsh(*-4) 
* ~ 4  
(*~4)3/
_____ _________
304.
 
Um 
(
v'x
4
+
x
3
+
2
x +
1
 
-
V 4 x
2
+
x 
+
I 
+ v^x
6
+
ax4^ ! ) .
X —
» + co
305. Um
-+OO ('»*)*+! '
306. lim
( i l l
_+0
(c»S*)“ **'
307. Um 1!
h
*1
x_+oo Ж
1»-

172
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
1
308. lim sin ( х2 arctg М М Ш зй). 
30
9. iim ( ' 4 $ ^ )  ^
*-. 
+ оо 
V 
ь *
2
1«* /
*-0
v sl"(‘S *) J
310. Urn ( 
ч
I - *+0
l 3 / (l+x) 3 
- 1
 J
( ± £ ) ^
312. lim 
-------. 
313. lim
311. lim
x^O
( ^ ) ^ - ( ^ Г 2*2
^ l n ( l + i ) ^ X _  ^ в д - 1 ' j X
314. lim
, 
x J - 
j
/ a rc s in
x
\
x 2
 
/ a r s h
x
 Л “
{ 
x 
J
. 
315. lim simTl -
Xх ).
316. lim tg X(1 - xx) .
x —* -fO 
+ o
317. lim (1^ 3)да..- ( 1-?»а?~8»а , 318. lim a Л » ь ?Г-(™ь«)* . 319> ш
x
—«--fO
X х — 1
а
:-»+0
 
arcsin (ex —
1
)
2
i _ + 
0
(Ш
(1
+ аг
))*-1
'
320. lim (p—U ---- “ I 2i • 
321. lim 
312
. 
322. 
lim 
-1-n-1°°/1
, £ > 0.
* - 0
V " v T + *
X J
x - * 0 К * * * s'n * )
x - . + co x ‘ ~ *  
1
’
. lim (  *У1+Зз:+43-'2-
1
v^ ± E > a.b (e x - l ) ,
.
1 - . 0
V 
■
l 
x 
J
323
324. lim
326. lim
Ж
—»0
sin 7га; —cos ■
х п — 
1
V arcsin х —
2
shx х
X 
X
X
1112
( 1
+
х)
1
arcsin 
х
Г
7
Т
2
- ctg 
(x
-
l
)2
(*-
1
)
1
п(л?+ед—
1
)
. 327. lim —
r
325. lim
x
—>0
s m
X
COS 
X
I
2
 
tg 
X
ex
— 
1
sin
2
x
1
ln(l +
x)
f
X
X2 
.
n
, 
X
x
2
x 3 
.
.. 
x "+1
+
x sin x 
x2
X 
t g X
V
x n
xn+1 
. . 
x2" - 1
328. 
Пусть функции / и g в некоторой окрестности U точки а, за исключением самой 
точки а, имеют производные до (н + 1)-го порядка включительно. Пусть, далее, выполняются 
условия:
1) Um / ( х ) = Um 
f ( x )  
= . . . = Um / (n)(x) =
0
;
x—a 
x—a 
x—>a
2) Um 
g(x) 
— Um g'(x) = . .. = lim 
g(n)(x) 
=
0
; 3) 3 Um ^(n+1)^ = 1, 1 e R;
4) производная g(n+
1
, (x) /
0
в окрестности U. Тогда
f ( x )  
/ (n+1>(x)
Um ■ 1 — Um 
J
 
) -1
x —*a
 
g(x) 
x - > a
 
g(n+1)(x)
Доказать это.
329. 
Пусть функции / и д в некоторой окрестности U точки а, за исключением самой 
точки о, имеют производные до (н +
1
)-го порядка включительно. Пусть, далее, выполняются 
условия:
1) Um / ( х ) = Um 
f ' { x
) = . . . = Um 
= +оо;
х
— +<1
гг—*а 
х —* а
2) Um д(х) = Um д'(х) = ... = lim д(п)(х) = +оо; 3) 3 lim ^ +
0
^ = 1, 1 
6
R;
х —* а
х - * а
х —* а
х —* а  » 
'
}
4
) производная д(п+
1
)(х) 
Ф 
0
в окрестности U. Тогда
lim
х —*а
№ .
д ( х )
Um
х —*а
f (n+1){x)
д ( ’* + 1) ( х ) ’
Доказать это.

173
§ 9. Ф ормула Тейлора
§ 9. Ф ормула Тейлора
9.1. Ф ормула Т ейлора на промежутке.
Пусть / :]а, Ь[ — R и 
3
/ (п+Н На ]а, Ь[. Тогда Vx, х
0
€]о, Ь[д Vp > 0 30 такое, н е с п р а ­
ведлива следующая формула:
f ( x )  = f ( x о) + /'(хо)(х - хо) + ... +
/(П)( * ° Ь Д
11} 
11
— хо)" + Лп+
1
(х),
где
Дп+
1
(х) = i?-*°r ±,1g z i r - p±1.f (n+ D(xo + в{х _ Хо))> 
0
< ^ <
1
, 
(
1
)
(остаточный член в форме Шлемильха—Роша). Из (1) при р = п + 
1
получаем остаточный 
член в форме Лагранжа
Д„+
1
(х) =
/ (п+
1
)(х
0
+
0
,(х - х0)), 
0
< в , <
1
,
(11 + I).
а при р =
1
— остаточный член в форме Коши 
, .
Д
п+1
(х) = — *°- - +1(1 - «
2
)п/ (п+1)(хо + ва(* - *о)), 0 < в2 < 
1
.
9.2. Локальная формула Тейлора (или формула Тейлора с остаточным членом 
В 
форме Пеано).
Если функция / , определенная в некоторой окрестности точки хо, имеет конечную про­
изводную / ( п)(х0), то справедливо представление
/(* ) = / ( * о) + / ,(хо)(х - *о) + • - • + / (п)(*о)— —
+ о((х - Хо)” ),
11:
X —►
XQ.
9.3. П ять основных разложений.
Положив во всех формулах Тейлора пунктов 9.1 и 9.2 хо = 0, получим соответствующие 
формулы Маклорена. Из локальной формулы Маклорена вытекает пять основных разложе­
ний: 
•, .
I- eX = l + x + ^
7
+ . . . + “ + o(x"), 
х —<-
0
; 
'
II. sinx = х — 
+ . .. + ( - l ) n -
1
(f^ZT)T + Ф 2”). x - * 0 ;
III.
cosx =
l - f r + . . . + ( - 1 ) ” (|^T +
°(x2"+1). x - 0 ;
IV. (1 + x)"‘ =
1
+ mx +
l l x2 + ... +
+ 0(xn), x - 0;
V. ln(l + x ) = x - ^ + ... + ( - I
)” -1
£ + o{xn), x -* 0.
9.4. Формула Тейлора для вектор-функцин.
Пусть вектор-функция f :]а, Ь[—►
Е к имеет производную (п +
1
)-го порядка на ]о, i[. 
Тогда Vx, х
0
е]а, Ь[Л Vpj > 
0
Эв} , j  = 1, к, такие, что справедлива формула 
, >
f (z) = ] C H
r 2 '( х - х 0)’ + К п+1(х),
t
=0
‘ 
' ;
где f(x) = (/i(x ), /
2
(х), ... , fk(x)), 
n+l
(х)
= О
/ ^ п+1)(то 
+
0
к ( х -
Хо))
т> 
/ ч _ ( pi 
d
2
10
)
p J 
= LL
Л ?г
+1
Pi
(1
- в 3)п~р1+\
о < 0j < 
1
.
Для вектор-функции справедлива локальная формула Тейлора.
Написать разложения следующих функций по целым положительным степеням перемен­
ной х до членов указанного порядка включительно: 
• 
:

128. 
f : x ^ l ± x + xl
до члена с х4. Чему равно / ^ (
0
)?
1 — х + х2
А Представляя значение функции / в виде
/(х ) = 1 + (2х + 2х2)(1 + х3)-1
и пользуясь разложением IV
(1 + Я3)-1 = 1 — х3 + о(х5), 
х —►
0,
174 
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
получаем
/(х ) =
1
+ (
2
х + 
2
х
2 )(1 
- х
3
+ о(х5)) =
1
+
2
х +
2
х
2
-
2
х
4
+ о(х4), 
х — 
0
. 
Сравнивая полученное выражение с разложением в общем виде (см. пункт 9.2), находим

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: