§11. Построение графиков функций по характерным точкам

190
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
◄ 
1
. Функция существует, непрерывна и положительна при всех * >
1
и при х < — 
1
; 
причем у > 1 при этих значениях х; график симметричен относительно оси Оу\ у(—1 — 0) =
у
(1
+
0
) =
2
^ .
2. Поскольку lim з/ = 1, то у = 
1
— асимптота при х —►
оо.
о о
3. Имеем
если х < —
1
:
y' = x y ( - 7=L = - - L ==) b 2
!
> 0 ’
\ \ / х 2
+ 1 
у/х2 —
1 
)
\ < 0,
если х > 
1
,
следовательно, функция при х < 
—1
возрастает, при х >
1
— убывает, а в точках х =
±1 
имеет краевой максимум, равный 
2
^ (функция /(х ), а ^ х < а (/? < х 
6
) имеет в точке 
а (
6
) краевой максимум, если существует полуокрестность ]а, £[С [л, «[ (]£, /?[ С ]/3, 
6
]) такая, 
что /( а ) > /(х ) ( / (
6
) > /(х )) для всех х из этой полуокрестности. Аналогично определяется 
краевой минимум).
4. Из очевидного неравенства 
1
'" '■ ''" K v J f T T
+ х In 
2
> у In 2
у / (х2 - I
)3
у/{х2 +
1
)3;
>
л/х2 + 
1
л/г
2
-
1
\/(х
1)3 
У (х
2
+ 1
)3
/ 
1
= 3/
л /(г
2
+ 1)3
л/(х
2
- I)3,
In 2 > 0
следует, что график выпуклый вниз.
5. График изображен на рис. 26. ►
1
1 7 4 .
у = х х .
◄ 1. Функция определена, непрерывна (как суперпозиция элементарных функций у = 
-  
1
1п х
хх — ех 
) и положительна при х > 
0
.
In X
2
. lim у = lim t~x~ =
1
, поэтому у =
1
— асимптота при х —►
+оо.
X — b -j-O O
X — • + ОО
3. Из неравенств
у' = 
-^-(1
-
1
пх)
> 
0
, 
если 
0
< х < е;
< 
0
, 
если е < х < +оо,
вытекает, что при 
0
< х < е функция возрастает, при е < х < +оо — убывает, а при х — е
имеет максимум, равный ее ; кроме того, з,(+
0
) =
0
.
4. Исследование точек перегиба и направления выпуклости опускаем.
5. График изображен на рис. 27. ►
1
1 7 5 .
у = (1
 
+ х)х .

◄ 1. Функция определена при ж > —1; х ф 0; положительна и непрерывна в этой области.
§ 11. Построение графиков функций по характерным точкам' 
191
Поскольку lim (1 + ж) х = е, то х = 0 — точка устранимого разрыва.
х —>0
2. Из соотношений 
Иш 
у = +оо; 
lim 
у = 1 вытекает, что 
х 
= —.1
х —►
—1 + 0
х —►+ оо
граф ика функции при ж —►
—1 + 0, а у = 1 — при х —* +оо.
3. Производная
асимптота
У = У
1
х(1 + ж)
1ц(1 + ж)
-1 < ж < 0, 
0 < х < +оо
1
+ х
отрицательна. Действительно, полагая в неравенстве примера 90, г) 
= х , имеем неравен­
ство
< 1п(1 + ж) < ж 
(ж > 0), 
которое справедливо и при — 1 < ж < 0. Пользуясь этим неравенством, получаем
1
_
) < „ (  _ i ________
ж(1-|-ж) 
ж2 
J  
^ж(1 + ж) 
ж2 + ж3
Таким образом, функция убывает при всех ж из области определения.
4. Покажем, что вторая производная
" 
( (  
1 
1п(1 + х ) У
1 ( пл „ , 
, 
2ж + 3ж:
у = у
1 [ —; - — -------- + Т Г 21п(1 + х ) -
У — У
= 
0
.
ж(1 + ж)
положительна. С этой целью рассмотрим функцию
(
1
+ х
)2
<р(ж) = 21л(1 + ж) —
2ж + Зх3 
(1 + ж)2 '
2х'‘
(И
-*)3
если 
— 1 < ж < 0 и
<р(
ж ) > 0 ,
если 
0 <
ж 
<
+оо. Тогда 
-^ip(x)
> 0
при — 
1
< ж < 
0
, 
0
< х < +оо; при этих же значениях ж производная 
у" >
0
. Поэтому график функции выпуклый вниз.
5. Исходя из этих данных, строим график (рис. 28). ►
1 7 6 . у = 
ж
^1
+
(ж > 
0
).
◄ 1. 
Функция определена, непрерывна и положительна при всех ж > 0; у(+0) =
lim ж ехр {жIn (l + - ) } =
0
.
2. Имеется наклонная асимптота у = кх + Ь, где
к = lim 
— =
lim 
f l + i ^ =
е;
х  —►+ оо X
х —►
-j-оо \
X /
Ъ— lim (у — 
ex)
= lim х (ехр / z l n ( l  + —^ > — 
е)
=
я ^ + со 
х —
►
+ со 
\
I 
\
X ) )
)
{ , ( 1 - ,
+
» ( J f ) ) } - ' ) =
« ( 4 + “ ( 1) ) - - § •
+ ! „ ( l + I ) '
= lim ж ( ехр •
X—
*•+ СО
3. Имеем
У = У
1
ж(1 + ж)
Отсюда следует, что функция возрастает при ж > 0. 
4. Вторая производная
2
> 
0
.
У = У
ж(1 + ж)
1п (г + 9 +1п2 
{1+1х)~
х + 3 
х(1 + ж)2 
1
положительна. Чтобы в этом убедиться, введем новую переменную t — ~ и применим теорему 
примера 104, полагая там
— ((1 + t ) ln (l + t) + 1 ) ; 
Ф(Ф) — t + 3 1 + t ; 
lo = 0, 
к » 4.

192
Гл. 
2. 
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Тогда все условия теоремы 104 будут выполнены. Следовательно, у" > 
0
при х > 
0
и график 
функции при этих значениях выпуклый вниз.
5. График функции изображен на рис. 29. ►
1 7 7 . 
у =
>
1
—гг
2
1
+ X2 '
◄ 1. Функция определена, непрерывна и положительна при всех значе­
ниях х , за исключением точек х = ±
1
, в которых функция терпит разрыв, 
причем
у(—1 — 
0
) =
0
; у ( - 1  -f 
0
) = -foo;
2/(1
-
0
) = -foo; 
1/(1
+
0
) =
0
.
График функции симметричен относительно оси Оу.
2. Имеются асимптоты х =
—1
при х —►
—1 + 0 и i = 1 при х —►
1 — 
0
; 
у =
0
при х —*■
оо.
3. Находим производную
Р и с . 29
у' =
2
х
3
е
1-*2
3 - х
2
(
1
+ х
2)2
(
1
- х
2)2
Поскольку у' > 
0
при —оо < х < —л/3; 
0
< х <
1
;
1
< х < л/З, то функция при этих значениях 
х возрастает; далее, у' 
< 0
при 
— л / 3 <
х 
< —
1; — 1 
<
х 
<
0; 
\ / 3 <
х 
<
-foo, следовательно, 
в этих интервалах функция убывает; в точке х =
0
имеется минимум, равный е, а в точках 
х = л/З, х = — л/З достигается максимум, равный д д  » 0,15.
4. Вычисляя вторую производную
У
=
2 
У
2х
6
(3 — х
2) 2
-f х
2
(l — х2) (9 + х
2
+ 7х
4
— х6) 
(1
— х
2)4
(1
+ х
2)2
убеждаемся, что j/" > 0 при |х] < 
1
. Далее, 
y"(y/TjT) 
> 0; 
y"{y/i) 
< 0 и у"(-ь) —- +0 при 
х —►
-foo. Следовательно, в каждом из интервалов ]1, л/3[, ]\/3, +оо[, а в силу четности 
функции и в каждом из интервалов ] — оо, —л/3[, ] — л/З, —1[ имеется по меньшей мере по 
одной точке перегиба.
5. График изображен на рис. 30. ►
Построить кривые, заданные в параметрической форме: 
1 7 8 . x =
2
t - t 2, 
2
/ = 3 t - t 3.
◄ 1. Функции x(t) и 2/(1) определены и непрерывны при 
— оо < t < +ос; причем при этих значениях t : —оо < х ^
1
; 
—оо < у < +оо.
Следовательно, функция у = у(х) (как функция пере­
менного х) определена при — оо < х $
1
.
2. Поскольку x(t) —►
-о о , 2/(1) —» Т°о, 
-+ ± °° при 
t —с ±оо, то график функции асимптот не имеет.
3. Производная
dy _  3 
1
- t2 
dx 
2
1
— t
при ti — — 
1
(xi = —3) обращается в нуль, а при 
1
г =
1 
(хг =
1
) имеет устранимый разрыв, причем
= 3.
4. Вторая производная
d2y _ з (
1
-
1
2) 2 ' 
dx
2
4 ( 1 - 1
)3
имеет разрыв в точке 1 = 1 . Заполним таблицу:

$ 11. Построение графиков функций по характерным точкам
1&3
t
—
oo 
<
t 
< — 1
- 1
< t
< 1
1
<
t 
<
+oo
X
—
oo 
<
x 
< —
3
—
3 
<
x 
< 1
—
oo 
<
x
 
< 1
У
—2
< 
у 
<
-foo
—2
< 
у < 2
-o o
<
у
 
< 2
dy
dx
& > 0
dx
г > °
d2y 
dx
2
^ > 0 
*c2 ^ u
^ < o
Из таблицы следует, что при —оо < х < — 3 функция у(х) убывает; при — 3 < х < 1 — 
возрастает; при х = — 3 имеет минимум, равный —
2
, а при х = 1 — максимум, равный 
2
.
Если х возрастает от —оо до 
1
, то график функции у = у(х) сохраняет выпуклость, 
направленную вниз; если х убывает от 
1
до —оо, то выпуклость направлена вверх; (
1
, 
2
) — 
точка перегиба.
5. Пользуясь полученными данными, строим график (рис. 31). ►
1 7 9 . х =
t - Г
У =
I
2
- г
М Функция x(t) определена и непрерывна при —оо < t < 
1
; 
1
< f < -foo, причем х = 1 — 
вертикальная асимптота при t —►
1
. Из равенства x(t) = t -f 
1
+
следует, что х = t + 1 —г 
наклоииая асимптота. Находим производную x'(t) =
■ Очевидно, что на интервалах
] — оо, 
0
[, ]
2
, -f оо[ функция х(<) возрастает, а на интервалах ]
0
, 
1
[, ]
1
, 
2
[ — убывает; хт а х = О 
при t — 
0
; xmin =
4
при t =
2
.
График функции x(t) изображен на рис. 32.
Функция y(t) определена и непрерывна при всех значениях t , кроме t = ±1; причем
t =
—1
и t = 1 — асимптоты. Поскольку y'(t) = —
H+i
('а-
0
!
< 
0
, то функция y(t) убывает при
всех t из области определения (рис. 33). 
i
Из этих исследований вытекает, что функция 
у 
— 
у(х) 
определена при —оо < 

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: