Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

194
и 
< 0 при <о < t < 0; следовательно, при t = to получаем точку перегиба (хо, Уо), где 
хо и —0,07; уо « 0,37 (рис. 35).
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
У
Пусть 
0
^ t < 1. Тогда —оо < х <
0
, —оо < у ^ 0, у'х >
0
, у"? >
0
(рис. 36). Если 
1 < / < 2 , т о 4 ^ х < +оо, § ^ у < +оо, у* > 
0
, у"2 <
0
(рис. 37). Наконец, если 2 < t  < +оо,
то х ^ 4; 0 < у < | ; у'х < 0; у”2 > 0 (рис. 38).
Окончательный график изображен на рис. 39. ►
1 8 0 . x = i + e~l , 
у = 2i + e~2t.
◄ Функции x(t) и y(i) определены и непрерывны при всех t. Из определения асимптоты 
следует, что х = t, у =
2
t — асимптоты при t —+ +оо соответственно графиков функций x(t) 
и y(t). Имеем x'(t) = 1 — e- t ; х '(
0
) =
0
; x"(t) = e_t > 
0
при всех t; y'(t) = 2 ( l — e-2 t) , 
y '(
0
) =
0
; y"(t) = 4e_2t >
0
при всех t. Таким образом, xm;n = 1 при t — 
0
; ym;n =
1
при 
t =
0
. Графики функций x(t) и y(t) выпуклы вниз (рис. 40, а, б).
Если — оо < < <
0
, т о
1
< х < +оо, 
1
< у < +оо, у'х =
2
( l + е *) > 
0
; у"2 = 
—2
(ее — l ) >
0
. Если же 
0
< t < +оо, то 
1
< х < +оо; 
1
< у < +оо; у'х > 
0
; 
< 
0
.
Следовательно, функция у = у(х) возрастает, ее график выпуклый вниз при 
1
<
0
и 
вверх — при t > 
0
.
В точке х =
1
функция у(х) имеет минимум, равный 1.

§ 11. Построение графиков функций по характерным точкам
195
Далее, ^
2; 
у — 2х —>0 при t —►
+оо, поэтому прямая у = 
2х
является асимптотой граф ика функции при t —+ -foo (рис. 41). ^
1 8 1 .
х =
cos
3
t
= a tg
3
t (а >
0
).
◄ Так как функции x(t) и y(t) известны, то относительно функции 
у(х) выясним следующие вопросы: симметрию, экстремум, участки и ха­
рактер выпуклости граф ика функции и существование асимптот.
Поскольку x(t) = х (—t ) ; y(t) = —y{—t), то график функции у = у(х) 
симметричен относительно оси Ох, а так как x(t) = — х(тг + t); y(i) =
У{* + *) и 
1
( f + *) = - * ( т  + *) >
У ( f + *) = У ( т + *) (О < t < § ) , то 
граф ик функции у(х) симметричен относительно оси Оу.
Следовательно, для построения всего графика достаточно знать гра­
фик функции у(х) при I >
0
и у ^
0
, т. 
е. 
при 
0
^ t <
Производная у'х = siiit > 0 при 0 < t < 
следовательно, функция 
у = у(х) возрастает на этом промежутке, причем х —+ +оо; у —>
+оо при t
Вторая производная у"2 = 
cos
5
t sin- 1 1 > 
0
(о < t < 
. откуда следует, что при 0 <
t < Z график функции у(х) выпуклый вниз.
Так как х —+ +оо только при t -ч j -
0
и у —+ +оо только при 
t —* j  — 
0
, то вертикальных асимптот нет.
Для выяснения вопроса о существовании наклонной асимптоты 
у = кх + Ь рассмотрим пределы
! - ° -
у(*)
к = lim 
. , 
t ^ Z - 0 x(t)
lim
tg 
3t
n  n COS
- 3
t
=
1
,
= И ? 
b M - x 
= « lim 
(tg* t -
= -
0 0
.
t—. --- 0 
t —
_
___ 0
'
l/
Рис. 42
Следовательно, асимптот нет.
График кривой при всех t (cost ф 
0
) изображен на рис. 42. ►
Представив уравнения кривых в параметрической форме, постро­
ить эти кривые, если:
1 8 2 . х
2
+ у
2
= х
4
+ у4 .
◄ Очевидно, что график функции симметричен относительно осей координат. Предста­
вим кривую при х >
0
и у ^
0
в параметрическом виде, положив у = tx (t >
0
):
1
+ t
2 
1
+ t 4 ’
y = t
1
+ t
2 
1
+ t 4 '
Вычисляя производные x' и у', выясняем вопрос об экстремумах 
функций x(t) и y(t):
(l — 
2
t
2
— t4) t 
3
. +
2
t
2
— t
4
х ( ч
.,'2
>
 
У{*) =
ф ) ( 1 + « т
x ( t ) ( l + t * r
У>
1
______
/
1
0
i \ Т
- 1
\
Рис. 43
Отсюда следует, что при t = О достигается минимум функции x(t), 
равный 
1
(у = 
0
); при t = у/у/2 — 
1
достигается максимум функции x (t), равный 
(«/ =
; при t = \/л
/ 2
+
1
достигается максимум функции y(t), равный \
J
(х =
,
Нетрудно проверить, что в точках пересечения кривой с координатными осями существует 
касательная к кривой (рис. 43). ►
1 8 3 . * У = х
3
- у 3 .
◄ Полагая у = tx,. получим

196
Если параметр i изменяется в интервалах ] — оо, 0[ и ]
0
; -+оо[, то переменная х может 
принимать все значения от —оо до +оо; следовательно, функция 
у 
— 
у(х)
 
определена при 
всех значениях 
х.
Из параметрического представления кривой получаем равенства
2 
1
, 1
2
. , 
.2
У = ~ х 
+ 
У — x - t + t ,
из которых непосредственно вытекают асимптотические соотношения: у2 ~ х при t —* 
± 0
(при этом 
х
 
—►
+оо, у —у ±оо); у ~ х при t —►
± о о
(при этом х —*■
±оо, у —у —оо).
Полагая в исходном равенстве х — у = и, х + у = v, получим равенство (у2 — и2) =
12и2и + 4и3, которое указывает на симметрию графика кривой относительно оси v = 0, т. е. 
относительно прямой х + у =
0
.
Вычисляя производные
dy 
t ( l +
2
<3) 
d2y _ 
2t
3
(f
6
+ 7t
3
+ l)
' 
d x ~  
2
 + i
3
 
’ 
dx2 
( 2
 + t
3 ) 3
 
' ^
'
находим, что при to = —л/2 и —1,26 (хо = | v ^ « 1,89; уо = —| v ^ « — 2,38) обе произ­
водные у'х и у
" 3
не существуют, а у'х = 0 при t 2 = ~ \ j \  « -0 ,7 9
(х
2
= j v 'T « 2,38;
2/2 = - | ^ 2 « -1,89). 
_____ 
• 
^
Далее, у
" 3
=
0
при Ь = - ^ / 7+3v? » —1,90 (xi и 2,18; yi я -4,14) и при t 3 = -
~
-0,53 (х
3
и 4,14; у
3
и -2,18).
Пользуясь этими данными и таблицей
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
t
— оо < t < tj
*1 < t < tQ
t0 < 
t 
< 
t2
*2 < t <
t3 < t < о
0 < t < +оо
X
xl
< 
х
< +оо
х0 <Х <Ху
XQ
< 
X
< 
X2
х2 < х < х3
хз < х
< + оо
— оо < * < +оо
V
-оо 
< у < У
1
У
1
< 
У 
< 
Уо
Уо < У < У
2
УЪ < У < У2
-ОО < 
у < УЗ
— ОО < 
у
< +оо
Ух
у'х
<0
У'х<0
У'х >0
У'х <0
Ух<й
у'х >
0
»"2 
х*
< 2 < °
У
"о > 0 
х*•
у”
2
< 
0
х1
у
" 2
< 
0
х*
у"
2
> 
0
« & < °
строим гр аф и к ф ун кц и и
у
= у(х) (рис. 44). ►
1 8 4 . П остроить г р аф и к кривой ch2 х — ch2 
у =
1.
◄ Г р аф и к кривой сим м етричен относительно координатны х 
осей, так как при зам ене х на —х и у на 
—у
уравнение кривой 
вида не меняет.
Если х > 0; 
у
> 0, то уравнение ветви кривой при м ет вид 
sh х = ch 
у,
откуда х = In ^cli 
у
+
\ / l
-f- ch2 
y'j .
И м еется асим птота x =
ky
+
b,
где
J t= Hill 
=
1
; 
b =
У-у+оо у
lim (x(y) - y) =
0
. • 
y-y
+ oo
Р и с. 44
Найдем производную
shy
\ / l + ch
2
у
откуда следует, что функция х = х(у) возрастает при у > 
0
, а в точке у =
0
достигается 
минимум, равный In ( l + л/
2
) .
Далее,
„ _
2
ch у
( l + ch2 у) :
>
0
,
откуда вытекает, что кривая выпукла вниз при у > 0. Принимая во внимание симметрию 
кривой относительно осей координат, строим график функции (рис. 
4 5
). ►

197
Построить графики функций, заданных в полярной системе координат (<р, р) (р ^
0
):
1 8 5 .
р — а - —
где t p > \  (а >
0
).
V ~  
1
§ 11. Построение графиков функций по характерным точкам
◄ Функция p(tp) непрерывна как элементарная; lim р(<р) = +оо, т. е. имеется асимптота
ч>—
1
+о
tp =
1
; lim p(ip) =
0
, т. е. кривая асимптотически входит в полюс по спирали.
if i — + o o
Возьмем производную
p'v = а
1
ch2 <р- (<р -  
1
)
th 
tp
\
так как <р — 1 < j sh 2р при tp > 1, то pv < 0; следовательно, функция р(<р) убывает (рис. 46). ►
1 8 6 .
tp 
=
arccos — г— •
Р2
М Область существования функции определяется неравенством
\ р -
1| ^
Р
у
откуда следует, что
- 1
+ V5 „ 
_
Pi 
— 
-----
Д
----- <
Р < + 0 О .
Предельные значения tp в граничных точках:
7Г
lim tp(p) = тг; 
lim tp(p) =
p - . p l + 0
Р - . + 00 
Z
Так как р — 1 ф р2, то функция tp(p) нулей не имеет и положительна. 
Производная этой функции
/ 
р — 
2
1
Р
р
^
V '
показывает, что в точке р = 2 достигается минимум функции, равный arccos j-. В точке р = рi 
производная не существует; функция в этой точке принимает краевой максимум, равный я. 
При pi < р < 2  функция убывает, а при р > 2 — возрастает.
Как уже было отмечено (см. Предельные значения tp в граничных точках), имеется вер­
тикальная асимптота.
Найдем ее расстояние а от полюса. Имеем
а
lim р cos tp(p) = lim р 
=
1
.
p —fOO 
р —ю о
р *
График изображен на рис. 47. ►
f I 
•]

Построить графики семейства кривых 
( а
— переменный параметр):
1 8 7 .
у 
= х
± у/а(1 
—
х2).
◄ Рассмотрим два случая: а) а > 0 и б) а <
0
.
а) а >
0
. Область существования функции: 
1
— 

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: