Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл
Гл. 3. Неопределенный интеграл
жүктеу/скачать 16,21 Mb. Pdf көрінісі
|
| Гл. 3. Неопределенный интеграл
1 4 8 . Д о к а з а т ь , ч т о I ( Е + А х ) п dx = А ~ \ Е + Л х)п+1 + С , (1) J п + 1 г д е Е — е д и н и ч н а я , А , С — п о с т о я н н ы е м а т р и ц ы о д н о г о п о р я д к а и м а т р и ц а А — н е в ы р о ж д е н н а я , п — н а т у р а л ь н о е ч и с л о . М Д л я д о к а з а т е л ь с т в а д о с т а т о ч н о п о к а з а т ь , ч т о п р о и з в о д н а я л е в о й ч а с т и р а в е н с т в а ( 1 ) р а в н а п о д ы н т е г р а л ь н о й м а т р и ц е . П о п р а в и л у д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я п р о и з в е д е н и я м а т р и ц и м е е м ' l— A ~ l ( E + Л х)п+1) = А . 1 ((£ + А х ) п А + ( Е + А х ) 7 1 - 1 А ( Е + А х ) + ... + А ( Е + А х ) п ) . \?i 1 / 'll -j- 1 А т а к к а к м а т р и ц ы А и Е + А х к о м м у т а т и в н ы , т о А ~ \ Е + A x ) n + i ) ' = - ^ — - А { п + \){Е + А х ) п = ( Е + А х ) п . ► \ и -|— 1 / i t -|— 1 Упражнения для самостоятельной работы Найти интегралы от вектор-функций: 142. J (sin I , cos х) d x. 143. f ( tgx, tg2x, tg3x)dx, i £ ] 0 , ^[ . 144. / ( xsinx, xsin2x, . . . , x sin mx ) dx. 145. f (xex , x3e* , xbex )dx. 146. f (x, x2, . . . , xm) dx. 147. f (x, x2, . . . , xm) In x dx, x > 0. Найти интегралы от функциональных матриц: 148. / 2х + cos 2х — х sin х + cos х + х cos х + sin х + + COS X In X COS X • л л , л In 1 ------- sin x In x cos 2x + 2 — dx. 152. Пусть все элементы квадратной функциональной матрицы х 1 ч- Л(х) имеют произ водные на интервале ]а, 6[. Доказать, что на этом интервале справедливы равенства: а) /(Л (х )Л '(х ) + Л'(х)Л(х) ) dx = Л2(х) + С'; б) J (Л2(х)Л'(х) + Л(х)Л'(х)Л(х) + Л'(х)Л2(х) ) dx = Л3(х) + С. 153. Доказать, что / (Л (х )£ В (г ) + ( £ л ( х ) ) В(х)) dx = А(х)В(х) + С, где А к В — квадратные функциональные матрицы. 154. Пусть Л — постоянная квадратная матрица. Матрицу еАх определим посредством равенства еАх ~ lim ( Е + ^ А х ) П. Доказать, что f еАх dx = Ае Ах + С, где С — произвольная постоянная квадратная матрица. |