Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл
Гл. 4. О п р е д е л е н н ы й и н т е г р а л
жүктеу/скачать 16,21 Mb. Pdf көрінісі
|
| 254
Гл. 4. О п р е д е л е н н ы й и н т е г р а л Полагаем lini Sn ( /) = ./, если Vs > 0 35 > 0 : d(II)-+0 УПА(1(П) < в ^ | S n ( / ) - / | < е . Теорема. Если: ь 1) при d(П) —*0 3 lim S n ( f ) = I , то / G Я [а, 6] и J f ( x ) dx = / ; а Ь 2) / 6 Л [а, 6], то 3 lim 5 ц (/) = / /(ас) dx. d ( I l ) —►О а Эта теорема устанавливает два эквивалентных определения интеграла Римана. 1.3. Некоторые классы функций, интегрируемых по Риману. Теорема 1. Если f 6 С'[о, Ь], то / £ Й [а , Ь]. Теорема 2. Если / монотонная на сегменте [о, 6] функция, то / € Я [о, Ъ]. 1.4. М ера 0 Лебега и мера 0 Ж ордана. О п ред елен и е 1. Мерой р З сегмента J = [а, 5] (мерой р З интервала 3 =]а, &[) назы вают его длину, т. е. число Ъ — а. • О п ред елен и е 2. Множество X С К имеет лебегову меру 0, если Vs > 0 существует такое счетное покрытие W — { 3 j', j & N} этого множества сегментами 3 j (счетное оо оо покрытие W = {Зу, j € N) интервалами 3j), меры которых p j , что pj < е, где J 3 Рз = 3 = 1 з = 1 П lim Y I p j - I—.о о J 7=1 Примером множества лебеговой меры 0 может служить произвольное счетное множество точек X С До о п р е д е л е н и е 3. Множество X С К имеет жорданову меру 0, если Vs > 0 существует такое конечное покрытие W = { 3 j', j = 1, n} ( W = {3y, j = 1, n}) этого множества П сегментами 3 } (интервалами 3j), меры которых p j , что р} < е . 3=1 Примером множества жордановой меры 0 может служить любое конечное множество точек X С R, а также любое счетное множество точек Y С R, имеющее конечное число предельных точек. Из определения 3 следует, что всякое множество жордановой меры 0 имеет лебегову меру 0. Теорема (Лебега). Пусть f : [о, 5] —*■ R •— ограниченная функция и Е С [о, 6] — мно жество ее точек разрыва. Функция f интегрируема по Риману на сегменте [а, 6] тогда и только тогда, когда Е — множество лебеговой меры 0. Согласно теореме Лебега, классу интегрируемых по Риману функций принадлежат огра ниченные функции, множество точек разрыва которых не более чем счетное или имеет жор данову меру 0. 1.5. И нтегралы функций, заданных на произвольных ограниченных множествах. М ножества, измеримые по Ж ордану. О п ред елен и е 1. Пусть Е С X С R. Функция х Е '■ X -+ R, где , , _ Г 0, если х G Х \ Е , XW — ^ если х £ Е, называется характеристической функцией множества Е. О п ред елен и е 2. Пусть £ С [о, S) С R, / : [а, 6] —► R — ограниченная функция. Если f x E € Я [а, 6], то ь J f ( x ) d x d= J f ( x ) x E(x)dx. Е а |