Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл
жүктеу/скачать 16,21 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 1.7. Свойства интеграла, выраженные неравенствами.
- _)_Е__©">* п ( / ) = £ / = - ” + ( © " - > ) Е ©
- § 1. Интеграл Римана 257 Поскольку б2(П) —► 0 при и —+ оо и lim п—оо (Ъ — lim Т In - + о
- H Blna2+ln (a — 1)(1 — 2 ^ 1 )
| § 1. Интеграл Римана
255 О п ред елен и е 3. Пусть Е С [а, Ь] С Ш-, f : Е R — ограниченная функция. Продолжим функцию / на весь сегмент [а, 6], образовав функцию р ( г \ _ / Я *). если * € ' ' \ если х € [а, Ь]\Е. Если функция F интегрируема на сегменте [а, Ь], то j f ( x ) d x = J F(x) dx. О п ред елен и е 4. Ограниченное множество Е С R, граница которого имеет лебегову меру 0, называется измеримым по Жордану, а интеграл ’ h - J XB(x ) dx> где [а, Ь] — произвольный сегмент, содержащий множество Е , называется жордановой ме рой множества Е, или его длиной. 1.6. Свойства интеграла, выраженные равенствами. 1) Если / € R [а, Ь], то и с / 6 Я[а, Ь], с = const, причем ь ь J c f (x )d x = с J f ( x ) d x . а а 2) Если /, g € R [а, Ь], то и ( / ± g) € R [а, 6] и при этом ь ь ь J ( f ( x ) ± g ( x ) ) d x = J f ( x ) d x ± J g(x)dx. о а а " 3) Если / € Д[а, 6] и с €]а, Ь[, то Ь с Ь / f ( x ) dx = j f ( x ) dx + J f ( x ) d x (свойство аддитивности). а а с • 4) Если сужения функции / : [а, 6] —*• R на сегменты [а, с] и [с, Ь] интегрируемы, то / € R [а, Ь] и при этом Ь с Ь J f ( x ) d x = j f ( x ) d x + j f (x) dx. 1.7. Свойства интеграла, выраженные неравенствами. ь 1) Если функция / интегрируема на [а, Ь] и f ( x ) > 0 Vz € [а, Ь], то J f { x ) d x ^ 0; ейщ а Ь f ( x ) > О, / 6 С[а, 6] и f ( x ) £ 0 на [а, Ь], то / f{x) dx ^ с > 0, где с — некоторая постоянная. 2) Если f ( x ) < у (я) Уя € [а, 6] и / , д € R [о, Ь], то ь ь j f ( x ) d x < j д(х) dx. 256 Гл. 4. Определенный интеграл 1.8. Формулы замены переменной и интегрирования по частям. а) Пусть выполнены условия: 1) / б С[а, 6]; 2) сегмент [а, Ь] является множеством значе ний некоторой функции х : t ь-► g(t), а ^ t ^ /?, имеющей на ]а, /3[ непрерывную производную; 3) д(а) = а, д(/3) = Ъ. Тогда справедлива формула замены переменной ь /з I f ( x ) d x = J f(g{t))g'(t)dt. а « б ) Ф ормула интегрирования по частям. Если и, v £ С ^ [ а , 6], то ь ь J u(x)v'(x) dx = и(х) v(x) — J v(x)u(x)dx. В примерах 1—5 интегралы Римана вычисляются с помощью интегральных сумм 5 п (/)- Для любой интегрируемой по Риману функции / : [a, S] -> R имеем / f ( x ) d x = lim Sn{f) d(II)-.0 независимо от выбора разбиения П и точек g [xi,x;+i], поэтому при решении указанных примеров разбиения П и точки £, выбираются определенным образом. Вычислить следующие интегралы: 4 Ч (1 + х) dx. 4 Функция / : I н 1 + i , - 1 ^ I ( 4, принадлежит классу С[— 1, 4], следовательно, / б R [о, Ь]. В силу линейности функции / , удобно при произвольном разбиении П сегмента [—1, 4] взять £, = 2 i ±£ j ±1 Тогда интегральная сумма ,9п( /) равна самому интегралу. Имеем п —1 п —1 / 2 S n ( f ) = £ / ( $ ) Дх. = ( д х , + ^ 2 2 Н ~ x i = Х п — Т о + так как хо = —1, х„ = 4. Следовательно, х2п - То : (хп - то) ( l + Х’-~ X- j = 12,5, J ( 1 + х ) dx = 12,5. ► ь J Хт dx, 0 < а < Ъ, т ф — 1 . а ■4 Выберем такое разбиение П, чтобы длины сегментов [х;, x;+i] образовывали геометри ческую прогрессию, и возьмем = х,. Тогда : ход’, i = 1, п, х0 = а, *■ » = © " ■ « - = • © " ■ Д*‘ - © " ( © " - 1' * п ( / ) = £ / < * ) = - ” + ' ( © " - > ) Е © *'=о V / ,=о i(m+l) " = ( 6 m+1- a m+1) т+1 § 1. Интеграл Римана 257 Поскольку б2(П) —► 0 при и —+ оо и lim п—оо (Ъ — lim Т In - + о ( - ) 1 n g 1 V n J 1 — ^ l n i + e ( i ) m + l> Ь _ а т + 1 то f х т dx — lim .Sn(/) 1 --------T~j • ^ J <к п ) — о т + 1 О * • / , 0 < о < Ь. ■4 Пусть П = {хо = о, x i , . . . , х„ = 6} — произвольное разбиение сегмента [а, Ь]. Подын тегральная функция интегрируема на [а, Ь], в силу чего, как говорилось выше, lim Sn{f) d(n)“*0 существует и не зависит от выбора точек . Полагая & = ^/xixT+T, получим « я = Е 1 1 1 _ 1 а b' 1 1 Следовательно, Г = Пт 5 п (/) — — г- ’ J 1 а(п)-»о а о > • / - sin х d x . ■4 Взяв П = { х ; = t ^ ; г = 0, и } , £< = ®i, имеем 7г 77 ^ V 2* sm ( г — 5п(/) = _ ^ 5тг_ = _ ---- t=0 4п Принимая во внимание, что с?(П) -+ О ПРИ 71 °°> находим 2 / sin х dx = lim Я-ЮО 4?i л /2 * s i n ( f - ^ ) = 1. ► 7Г i. У ln (l - 2 a c o sx + a 2) dx при |a | < 1 и |a | > 1. ◄ Возьмем П = { x k = ffc; Jfc = 0, »}> & = **• Тогда (i(n) - » 0 п р и « - * о о . Обозначив 2 =■ eix = cos x + i sin x , z = ci”"1'* " cos ж “ 7 s*n 35 * получим / ( x ) = ln(« - *)(« - *), .5п(Л = J E ln Г " e‘n j Vх ~ e~ ‘" J = k=0 Если |« | < l, to lim Sa{f ) = °> так как “ 2" 0 при n ° ° - < П ) —0 Если |cv| > 1, то, представляя Sa i f ) в виде ■5n(/) = H Blna2+ln (a — 1)(1 — 2 ^ 1 ), a + 1 258 Гл. 4. Определенный интеграл п о л у ч и м , ч т о П ш Sai f ) = й ш 6 ' п ( / ) — 7 г I n л 2 . С л е д о в а т е л ь н о , с((П )-»0 П -* оо 7Г / ‘„ о - 2 \ , I 0, если |от| < 1, 2а cos х + а ) ах = < , 2 . i . . ► ’ 1 7г1ппг, если \а\ > 1. 6 . Пусть функция / : [о, 6] —+ К монотонна на сегменте [о, Ъ ]. Доказать, что j is 1 ◄ Если / £ Л [а, 6], то при любом разбиении П сегмента [а, 6] и произвольном выборе точек £, £ [т,, r , + j] выполняются неравенства О / Д п ( /) < / / ( х ) dx < Лп ( / ) , 5’п ( / ) < Лп ( / ) < S n ( / ) , в силу которых f f ( x ) dx — S n ( / ) ^ Лп ( / ) — .S'n(/). a I Для монотонной функции / при разбиении сегмента [а, 6] на п равных частей имеем 5 п (/) - .9п(Л = ^ |/(*) - /(«)! = О ( i ) . J f ( x ) d x - S n ( f ) ь Обозначив ----- —- = 0, получим, что J f ( x ) d x - S a ( f ) = О О ( ^ ) , так как |0| < ]. ► 7 . Пусть /, v3 € С'[о, Ч- Доказать, что S u ( f ) - S u ( f ) lim d(n)-»0 f ( x) ip ( x) dx , a где /(£,) ¥>(0.) Дх< , I, ^ 6 , ^ Ti +1 • ◄ Из оценки |,Sn(./V)-< тп (/^)| ^ X) |/(£ ,)||^ (0 !)-<р(£,)| А х г, ограниченности функции / , 1 = 0 условия i р £ Л[а, b] и оценки | — <р(£>)1 ^ а;,-, где а>; — колебание функции на сегменте [т;, *i+i], получаем, что lim ($n{f = 0. d ( n ) — o ь Следовательно, lim <тп (f lim 5 п ( / ^ ) = I f(x) <1(П)—*0 d(n)—0 J a 8 . Доказать, что функция Дирихле х •' [о, 6] —» R, где Х(г) I 0, если а: иррационально, 1 1, если а рационально, не интегрируема на сегменте [о, 6]. ◄ Функция х ограничена и разрывна в каждой точке сегмента [о, 6]. Согласно теореме Лебега, х не интегрируема на этом сегменте. ► 259 § 1. Интеграл Римана 9 . Доказать, что функция Римана / : [а, b] —* R, где Я * ) если £ = — п ’ если х иррационально, ь а т и п (п ^ 1) — взаимно простые целые числа, интегрируема на [а, 6] и J f ( x ) dx = 0. а ◄ В примере 263, гл. 1. доказано, что функция Римана непрерывна в каждой иррацио нальной точке сегмента [о, 6] и разрывна в каждой его рациональной точке. Поскольку она ограничена и множество ее точек разрыва счетное, то, согласно теореме Лебега, /бД [а, Ь]. При любом разбиении П сегмента [о, 6] каждый сегмент [ж,-, £i+i] содержит иррациональ ные точки, поэтому S n ( f ) = 0, в силу чего sup{,S’n (/)} = {П} - J,d’ = l /(х ) dx = 0. ► 1 0 . Доказать, что разрывная функция / : i h sgn полуинтервале ]0, 1]. 0 < х ^ 1, интегрируема на М Функция / разрывна на счетном множестве точек X = {ж* = j ; к G N} и ограничена. Множество X имеет одну предельную точку х = 0, поэтому имеет жорданову меру нуль. Функция F : [0, 1] —> R, где F( . _ ( 0, если х е X U {0}, f(x), если х € [0, 1[\{Х U {0}}, ограничена на сегменте [0,1], а множество ее точек разрыва X U {0} имеет жорданову меру 0, следовательно, F € Д[0, 1]. Согласно определению 3, п. 1.5, / g Д]0, 1]. ► 1 1 . Доказать, что сужение ограниченной на сегменте [о, 6] функции / на множество Е = {а} интегрируемо на множестве Е и J f ( x ) d x - 0. Е ◄ Образуем функцию F : [а, 6] —> R, где F(x) /(а ), если х = а, О, если а < х ^ Ъ. ь Функция F интегрируема на сегменте [а, 6] и f F(x)dx = 0, так как при /(а ) ф 0 она а разрывна лишь в одной точке, а при любом разбиении П сегмента [а, Ь] имеем Sn(F) = 0, Ь а J F dx = J F(x) dx = 0. Обо значим J f ( x ) d x = J f ( x ) d x . Согласно определению 3, п. 1.5, — а Е а получаем / f ( x ) d x = 0. ► 1 2 . Пусть / : [а, 6] —► R — ограниченная на сегменте [о, Ь] функция. Разбиением П* сегмента [а, 6] в направлении от точки b к точке а назовем множество точек П* = {жо = Ъ, х 1 , . . . , х п = а}, где х,- > ж,-+ 1 , i = 0, п — 1. Ha каждом сегменте [®i+i, ж>] выберем произвольную точку £; и образуем сумму П — 1 ‘ /(&)(*>'+1 - * 0 - » = 0 |