Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл
Глава 4 Определенный интеграл
жүктеу/скачать 16,21 Mb. Pdf көрінісі
|
| Глава 4
Определенный интеграл § 1. И нтеграл Римана 1.1. Верхний и нижний интегралы Римана. Критерий интегрируемости функции. О п ред ел ен и е 1. Разбиением П сегмента [а, 6] называется конечное множество точек { х 0, xi, . . . , х п}, где а — х 0 < Xi < ... < х„ — Ь. Пусть / : [а, 6] —■ К и / — ограниченная на сегменте [о, 6] функция, а П — произвольное разбиение этого сегмента. Верхней и нижней интегральными суммами, соответствующими разбиению П, называют ся числа П—1 П—1 Sn(f) = J 2 M’Ax‘’ £“(/) = Е m i A xi , ;=о >=0 где Mi = sup = inf j/( r ) } , A i , = i , +i - r , . О п р ед ел ен и е 2. Числа ( f d x = inf {. 5 n(/)}, f f d x = sup{Sn(/)}, J fn > J {n} - где точные грани берутся по всем возможным разбиениям сегмента [о, 6], называются со ответственно верхним и нижним интегралами Римана функции f на сегменте [а, 6]. О п ред елен и е 3 . Функция f называется интегрируемой по Риману на сегменте [а, 6], если J f dx = J f d x , а общее значение верхнего и нижнего интегралов называется интегра- ь лом Римана функции f на этом сегменте и обозначается J f { x ) d x . а Класс всех интегрируемых по Риману функций / обозначают / G R [о, 6]. Критерий интегрируемости. Для того чтобы ограниченная функция / : [ а , 6 ] —» М была интегрируемой на сегменте [а, 6 ] , необходимо и достаточно, чтобы V e > 0 существо вало такое разбиение П этого сегмента, что 0 ^ < ? п ( / ) — 5 п ( / ) < е. Сокращенно критерий интегрируемости записывают следующим образом: П — 1 / € R [о, Ъ] Vg > О ЭП : 0 ^ 5 ц ( /) — S n ( f ) = ^ ш{Ах, < г ;=о ( з д е с ь ui, = М, — ш , — к о л е б а н и е ф у н к ц и и / н а с е г м е н т е [х ; , 1.2. И н т е гр а л Рим ан а как предел и н тегр ал ьн ы х сумм. П у с т ь П — п р о и з в о л ь н о е р а з б и е н и е с е г м е н т а Г а, 61 и (Г ( П ) = max A x i . Ha каждом сегменте [х,, г ;+1] возьмем произвольную точку £, и образуем так называемую интегральную сумму П—1 Sn( f ) = Ат,. 1=0 |