О ^ Г - О - г Г - О ^ Г О ^ )

48
Гл. 1. Введение в анализ'
х п
где 
0
< 9п < 
1
, и вычислить число е с точностью до 
10
“ .
^ Переходя к пределу в неравенстве
V 
n j
п
 
2
! 
и2 
3
!
и (и -
1
) . .. (w - к +  
1
) J _
+ ? » ( n - l) . . .
2 1
 
1
>
- •
' 
Л! 
iik 
«! 
и"
при п —►
оо, получим неравенство
e > 2 + h + h + "
+ h = y к’
справедливое при любом к. Так как в множестве {ук} нет наибольшего элемента, то при
к = «
г,п = 2 + ^! + ^!+ •” 
+ Ь.
<С’
т. е. знак равенства невозможен. Кроме того,
/
1
\ " 
1 1
1 
* п _ ( 1
+ п ) <
2
+ 2! + 3! + • " + ^! ~ Уп'
Таким образом, х„ < у„ < е и lim *„ = е. Отсюда следует, что lim уп — е.
п —*о о  
п —*оо
Переходя к пределу в неравенстве
1
.
1
. 
.
1
Ут+п — ffn —
(я +
1
)! 
(» +
2
)!
+
... 
+
(»* + ni)!
<
<
__!_ 
(i + -± -+
1 + ..Л = —1— 
< _L_
(н + 1)! 
+ п + 2 + (n + 2 ) 2 
J
(п + 1)! п + 1 
п-в!
при фиксированном п и т —►
оо, получаем
Обозначим 
вп
=
0 
< е - уп < - — -.
п ■
 п\
, 
0
< вп < 1. Отсюда получаем требуемое.
Неравенство 0 < е — уп < -~т < Ю 
5
справедливо при п ^
8
. Отсюда
e «
2
+ i -
81. 
Доказать неравенство
’ а 2 * Ь + Т, + Ь + Ь. + 1: + Ь + Ь а 2 -ш м - -
< Левая часть неравенства справедлива при п = 1; далее, ПО индукции
, . + а д - , . + „ > ( 5 ) - , . + 1, . ( Д ± 1 ) - < ^ Ц } : > ( = ± 1 ) - .
так как неравенство (я 
+ 1) ( 7 ) ” (^т^) П_1
> 1 
эквивалентно неравенству 
(l + 7 ) " < 
е 
(справедливость последнего следует из примера 77).
■ Правая часть неравенства следует из того, что (см. пример 42)
82. 
Доказать неравенства:
. 
1
, / ,
1
\
1
а) ■
1
< In 
1 1
+ — I < —, где н — любое натуральное число;
< 
П + 1
V 
п /
в 
!
б) 
1
+ а < еа , где а — действительное число, отличное от нуля.

◄ а) Логарифмируя неравенство (см. пример 77)
1 
\ 
"+ 1
§ 6. Предел последовательности
* ^ f*-’ nti' 
fS-7
получаем nln (l +
< Inc =
1
< (n + l)ln (l + ^ ), откуда следует нер&венствоа). 
; ~ *’
б) Покажем сначала, что
1
+ г
< 
1
п
(1
+ г) < г,
ф
где г — любое рациональное число, отличное от нуля и большее —
1
. Пусть г =? 
>. (L Тогда,
в силу неравенства а), получаем
ь (
1
+ , ) = ь
(1
+ = ) _ ь ( г ±
1
. г ± £ . . . -
1
± = - . ) -
V 
« /
V в 
в + 1 
в + m —1У
= 1п 
(1
 + я) +1“ 
(1
 + ^Тг) + 
+1“ (1
 + й+пГП') <
< - +
'•I, Г I
jqn:>
А
1
п
(1
+ г) > —
+ —i — + . . . +
в +
1
в +
2
1
в 
в +
1 
т
, 
, 
1
ЙГ ^
+ • • • Н----- ;------- - < — “ *у.
в + го — 1 
в
в + го 
в + го 
1
+ ~
1
+ г ’
откуда следует неравенство (
1
) для г > 
0
.
Если же — 1 < г, < 0, то, полагая —п = г, 
0
< г < 1, имеем
1
п
(1
+ п ) =
1
п
(1
- г) = - In 
- = — In 
^1
+ у ™ :) ,
откуда - J r ; < ln(l + п ) < - г , т. е. 
<
1
п
(1
+ п ) < п .
' 
; *1
й
Пусть а — произвольное действительное число, большее —1, отличное от нуля. Torjta 
существует такое рациональное число г, что
г , 
г
0 
+ 7 Т 7 < “ < г
£ 
Z + г 
• х ■
: :• ;• *к:к •,
(например, любое рациональное число г, содержащееся между действительными числами в
и у/а2 + 4 + of — 
2
). Тогда 
л
Ь (
1
+ « ) < M l + , ) = а (Г
± 2
• Щ г )  = I» ( i + ^
) + In ( i + § j <
1
Следовательно, ln(l + о) < о (о > -1 , о ф 0) и 1 + о < е“ (о > -1 , а ф ff)i ЕсИЙГ^.Ч —1;, 
то неравенство 
1
+ а <
еа очевидно, поэтому неравенство 
1
+ о <
е а
справедливо при 
веек
а 
Ф
0. ►
8 3 . Доказать, что
X $s,
lim я а» -
1
1
= In а, 
а >
0
,
п —*оо 
\
J
где In а есть логарифм числа а при основании е = 2,718 . . . .
◄ Из неравенства (l + £ )" < е < (l +
находим, что 1 < в |e n — l^j < 1 + “ -£■; « 'ЗИ'<.
1
, откуда 
( 
1
lim в [ еп — 1 ) = 1. 
I
п-«оо 
у 
J
 
■
..«>■ :• и я акт
a n —l j а п ( е » — 
1
J = г„ (е** — 
1
J 
1
п а , где z„ щ 
+оо 
при в —►
оо. Обозначим а„ =
[г„1 
(целая часть), так что а„ < 
< о„ +
1
и —Цт < — <
Ь J \ 
/> 
^ 
,а«+1 
zH 
7
s ал
Отсюда получаем неравенства 
'
1
п а • о „ ^ е
а»+1
— l j < у„ < 
1
п а (а „ +
1
) ^еа» — 
1
^, 
| . , »
— 
1
п а ^ е
“ «+1
— 
1
^ +
1
п а ( а „ +
1
)^ е
“ »+1
— 
1
j 
< у„ < 
1
п а • а„ ^еа» — 
1
^ +W a|^e^n — 
1
^ . ’ s
••к 
ь

SO 
Гл. 
1
. Введение в анализ
Так как последовательность 
— 1 j ^ является подпоследовательностью сходящейся
последовательности ^ » |е » — 
1
^ , то
lim <Хп(еап — l ) = lim n (e « — l ) =
1
.
П —
-<Х> 
\
/
п —ЬОО 
\
/
Применяя утверждение 
1
, п. 6.3, получаем
lim уп = lim ^
1
п а • «„ 
а» — 
1
^ + In а ^еа» — 
1
^ = In о, 
о > 
1
.
Если же 
0
< а < 
1
, то
'
’
 
V(i)= 
/
*" 
V 
1
где 
6
= ^ > 1. А так как 
6
« —. 
1
и п ^
6
» — 1^ —»In 
6
при и
оо, то
lim уп = — In 
6
= — In — = In а, 
0
< а < 
1
. ►
П—
►
 ОО 
Q
84. 
Пользуясь теоремой о существовании предела монотонной и ограниченной последо­
вательности, доказать сходимость последовательности (хп), где
4
Имеем —^ =
1
+ —q
.!1
>
1
, следовательно, последовательность возрастает. 
Ограниченность следует из неравенств
In *п — In ^1 + - ) + In ( l + - ) + . .. + In ^1 + 
<
1 1
1
1
1
1
1 1
< 2
+ 4 + -
+ F
< 2 + I + - + F + - = 2 r n
1
, 
X n < e .
ТакИм образом, последовательность, согласно утверждению 2, п. 6.3, сходится. ►
Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость следующих последовательностей (х п), 
где:
I а к
sin l 
sin 
2
, sinn
! 85 
*„ = — + - р - +  ... + —
, п е N.
Щ Пусть V е > 
0
. Тогда
j*»+p 
*п| —
sin(n +
1
) 
sin(n +
2
)
sin(n + р)
2
n+i 
+
2П+2
+ • • • +
2
п+р
| sin(n +
1
)| 
| sin(w +
2
)|
2
»+i 
2n+2
<
+
у—
"Я I . . . I l sin( " + p)l
2
ra+p
^
2
«+i 
2П+2
2
п
+
р
При п > — log
2
е и всех натуральных р. ►
л л
cosl! 
cos 
2
! 
cosn!
x« *
- + — — + . .. +
■
14, « € N.
1 - 2
2 -3
» ( » +
1
)
4  Для произвольного e >
0
и при всех натуральных р имеем
cos(n + р)!
_ 
2*+1
2п
< е
l*t>+p “* * » |:
Cos(n +
1
)! 
_ 
cos(n +
2
)!
(» + l)(n +
2
) + (n +
2
)(n + 3) + ‘ ’ ‘ +
(п + р )(п + р + 1)

1 
1
______
1
_
(
^ (п + 
1
)(п + 
2
) 
(м + 
2
)(п + 
3
) 
(n + р)(п + 
Р
+ *)
= _ i ______ ______________ , 
, 1
1
_
1
________
n 
+ 1
» +
2
» +
2
п +
3
п + р 
n + р +
1
п +
1
и + р +
1
и +
1
-
V п > — — 1 = N(e). ►
8 7 .
Последовательность (*„) имеет ограниченное изменение, если существует тУсЬв ^тГ-' 
ело с, что
|Х
2
—
®l| + |х3 - ®2| + ... + |*п —
*B-l| < С, П € N.
Доказать, что последовательность с ограниченным изменением сходится:. 
•• -
Построить пример сходящейся последовательности, не имеющей ограниченного изменю? 
ния.
◄ Из условия вытекает, что последовательность (у„), где
уп —
| * 2
- *i| + |хз - тг| + ••• + |*п - Xn-i|. 
. 1
сходится (как ограниченная и монотонно возрастающая). Далее, так как (у„) — сходящаяся 
последовательность, то
|хп+р —
Xn| = |Хп
+ 1
Г
п
+ Г
п
- 2
Хп
—1
+ • * * + Xn+p Xn+p—
1
| ^
^ |х
п+1
— Х„| + |*п
—2
~ Хп—1! + • • • + |xn+p — I n+P
—1
| 
IУп+р ~  llnf <
6
§ б. Предел последовательности 
Ш\
при п > N(e) Vp > 
0
, т. е. последовательность (х„) сходится. 
Очевидно, последовательность
Хп
2
п
n e N ,
сходится; однако она не имеет ограниченного изменения, так как при любом А > 0 неравен­
ство 
,; j..
2 
2 
2 
1 
1 .
-‘ it
1*2 
— 
Xi| 
+
|хз 
— 
Х2| 
+ • • • +
|х2п 
— 
X2n-l| 
=
1 
+
3
+
jT 
+ ••• +
2п — 
1 
> 
1
2 
3 
‘ 
п >
>
ln ( l + l ) + l n ( l + ^ ) + l n ( l + j ) + • •• + ln f 1 +
= l n (
y
• 
\
• I
~ ~ ~ )
= 1» (n + 1) >
&
i. ' .*4
справедливо при n > 
e A —
1
. ►
8 8
. Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последовательностей (х„), где:..
a) * » « 1 + | + . . . + £ ,
« € N; б) *„ = ^ +
. . . + ^ , » € N. 
'
< Пусть г — произвольное число из интервала ]0, -[.
а) Поскольку 
.
|Хп+р 
Х„|
+
п +
1
п +
2
+
... 
+
п + р
>
р
п + р ’
а при р = п
| * п + р — Х п | > — >
£
для всех и, то последовательность расходится.
б) Расходимость последовательности следует из того, что
|*п+р 
х«| 
-р 
1
) 
1
п(п +
2
) 
1
п(« + р) ^
1
п(п + р) ^ п + р
м- Ч
1
2
" РИ
п
= р. ►
8 9
. 
Доказать, что сходящаяся последовательность достигает либо своей точной верхней 
грани, либо своей точной нижней грани, либо той и другой. Привести примеры поелвд&ва» 
тельностей всех трех типов.
•Ч Пусть Цш х п — а. Предположим, что х п < а (х„ > а) V» € N. Тогда существует наи-
п —►
 оо
меньший (наибольший) элемент последовательности, который будет точной нижней (верхней^, 
гранью. Если последовательность содержит элементы как меньшие а, так и большие а или

52
Гл. 1. Введение в анализ
некоторые элементы, равные а, то во всех этих случаях последовательность имеет как наи­
меньший, так и наибольший элементы, т. е. достигает своих точной нижней и точной верхней 
гр&йей.
Приведем примеры последовательностей всех трех типов:
1
) (х„) = (^ j^ ) , i i =
0
= inf {*„}; 
2
) (х„) = (--) , XI =
1
= sup{x„};
3) (хп) =
> XI =
- 1
= inf {xn}, Х
2
= \ -  sup{x„}. ►
Найти Наибольший член последовательности (х„), если:
, 9 0 . *„ = £ .
4  Условимся наибольший член последовательности (х„) обозначать символом m axxn - Из 
неравенства

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: