Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

§ 6. Предел последовательности
9 5 .
I n = ( 1 + n) (_1)n + sir
4 
> 
't «.1,4
◄ Выделяя из всех членов данной последовательности восемь подпоследовательнд{ЗД&р
.. ,.Ч(; 
-;t. |,\'.,П':‘ПНоЛ
.. -• I • t • ,x,i (i \
легко убедиться, что наименьший и наибольший частичные пределы имеют 
соответственно
•••'1
,.„
т
Н
6
‘
(Хвп—
j),
подпоследовательности 
ха
1
(
J 
V 
8
П
-.6
- , 
1 |.!ВП ■
1
+ Т----- Тг) 
+ .
1
-
8
п — 
6
/
, .
0(1
: I й в Я
ч/2’
Поэтому
— lim 
хап
—з
П—► ОО 
п
—*00
lim
П —+ ОО
9 6 .
Х п =
lim 
хп —
lim 
Х а п - в
=
lim
П —» 0 0
п * ^ 0 0
U —*• ОО
п 
. 2 ПК
----- - sm --- .
П + 1 
4
(  
1 
\ 8 п — 3 
i  \
^ 
^ 1 ^
~
1 1
+
8
^ з ]
~ V 2 J = ~ S ' V 2 ’
1
\ 8 п —6 
\
1 + —
) 
+ 1 ] = е +■ 1. ► 
,u ">:u
8« — 6 / 
J
■ 
1. 
, . - л . : м - 0 ч р л
VM
◄ Имеем 
< Х
4
П
- 3
< ®
4
n - l < Х
4
П-
2
, откуда 
' , i 
r p
------ 
. 
4ti — 2
lim 
xn
= lim X
4
„ =
0
, 
lim x„ = lim X
4
n
- 2
= lim 
д
. 1
f * , 
Ah )-
П—
►
ОО 
n—
ьоо 
n—
eoo 
n—
BOO 
П
—»00
4tl “ 1
' ' ' 
, 
’ ’ ! ' 
K, t'-fi " - 
> 3\
Найти частичные пределы:
Q(y 1 1 1 3 1 7 
1 
2
n 
- 1
’ 2 ’ 2 ’ 4 ’ 4 ’ 
8
’ 
8
’ 
2
n ’ 
2n ’
◄ Из членов данной последовательности составим две сходящиеся подпосдедоватец^ост^: 
хп
=
и 
х п = ^ Г - -
Их пределы lim х„ = lim ^ - = 0, lim ? = lim 
ж 1 
будут
2
 
п 
71 
2п
п—
►
то 
п—
»оо ■ 
П^ОО 
П-ТОО ■ 
#>
а
частичными пределами. 
. 
' 
,,,-v .П т -
Так как все другие сходящиеся подпоследовательности входят в состав этих двух^ то дру-
1
1
, "L Ч L I .
whiftoff
гих частичных пределов нет. ►
1 
- 
1 
1 
.
1
1
1
1
98, 
1 + i ’ i 1 + t ’ § + f ’ 
v
1 + i ’ i + i ’ f +
i 
i
я— i
n 
n — 
1
n n +
1
4 Члены данной последовательности составляют сходящиеся 
Подпоследовательности Хп 
-
и 
Хкп
= jr +
(А:, n € N), которые имеют соответственно 
пределы 
0, £ (А: 
6
N). ► !
9 9 .
1 
1 
2 
1 
2 3 
1 
2 3 4
2 ’ 3 ’ 3 ’ 4 ’ 4 ’ 4 ’ 5 ’ 5 ’ 5 ’ 5 ’ 
; - ' * \ ч -8 ® “
◄ Очевидно, все рациональные числа 
г
(0 < г < 1) являются членами данно^.йбсле- 
довательности. Пусть 
a
— любое действительное число такое, что б ^
a
< 1; тогд» О рн; 
достаточно большом натуральном m неравенство 
‘i
a
 +
< 
1
n + m
справедливо при всех 
п £
N.
Для каждого натурального числа 
п
среди членов данной последовательности найдется 
такое рациональное число 
г
п , что
a < гп < a +
п + т 
. ,,,'] 
9
*-
Отсюда следует, что lim 
гп
= а , т. е. 
a
— частичный предел. Аналогично рассматриваете*
«—*■00
^
случай, если 
0
<
a
<
1
. ► 
(
1 0 0 . Построить числовую последовательность, имеющую в качестве своих частичный 
пределов данные числа:
а 
1
, 
0
,
2
, . . . ,
ор.

54
Гл. 1. Введение в анализ
, .. 
Обозначим хьп = а* + —
, 
к =
1 ,
р ,
п € N. Так как последовательности х*п сходятся 
к числам а*, к £ N, то искомой последовательностью может быть, например, последователь­
ность
« i - f l ,
«2
+
1
, . . . , ар +
1
, ai + —, ct
2
+ —, - . ., ар + —, . . . ,
«1
Ч 
, 
«2
Ч 
, • • •, «р + —, • • •,
, • • 
2 
2 
2 
п 
п . 
п.,
составленная из членов последовательностей (Хкп), fc € N. ►
101. 
Построить числовую последовательность, для которой все члены данной последо­
вательности
являются ее частичными пределами. Какие еще частичные пределы обязательно имеет данная 
последовательность?
Ч Из членов последовательностей х„ = «п, Хкп = а* +
(n, fc € N) составим последо­
вательность с членами
1
1
1
1
,
1
, 1
«
1
, 
«1
+
а2>
ai + g > 
«2
+ —, аз, ai + —, аг + —, «з + —, а4, . . . ,
которая имеет своими частичными пределами: 
1
) пределы последовательностей (хь„), т. е. 
члены последовательности (an) и 
2
) частичные пределы последовательности (an). ►
102. 
Построить последовательность:
а) не имеющую конечных частичных пределов;
б) .имеющую единственный конечный частичный предел, но не являющуюся сходящейся;
в) имеющую бесконечное множество частичных пределов;
г) имеющую в качестве своего частичного предела каждое действительное число.
Ч а) Например, х п — п.
б) Пусть ( i n) — последовательность, стремящаяся к конечному пределу а, (уп) — беско­
нечно большая последовательность; тогда последовательность xi, y i , Х
2
, У
2
, . .. ,х „ , уп, . .. 
является расходящейся и имеет единственный конечный частичный предел а.
в) Примеры 99 и 
100
.
г) Построим последовательность, содержащую все рациональные числа ± - , где р и q — 
натуральные числа:
1
1
2
2
3
3
3
3 
1
1
1
2
2
3 ’
3 ’ 3 ’
3 ’
2
’
2
’
1
’
1 ’ 4 ’ '
• • > 
) 
п
3
п
1
} 
п
п ’
« -
1
« — 
1
п
п
п
п ’ 
n ’ п — 
1
’ 
п — 
1
’ 
’ 
2
’
п
п
п
2 ’ Т* “ Т
Тот факт, что любое действительное число является частичным пределом, доказывается ана­
логично решению примера 99. ►
103. 
Доказать, что последовательности 
(
х
п) 
и (уп) 
= 
имеют одни и те же
частичные пределы.
. Ч Так как lim у/п — 
1
(см. пример 75), то lim Рч/рп = 1, где (рп) — произвольная
п —.о о
п —,о о
подпоследовательность ряда натуральных чисел.
Пусть « — частичный предел последовательности (хп) и Km хРп = а. Тогда, применяя
п —*оо
теорему о предельном переходе в произведении, находим
lim уРп = lim х Рп 'tyjbT = lim хр„ lim 
= а,
П—*• ОО 
П 
—
*• 
СО 
п —изо 
п —*• оо
т..,е, « — частичный предел последовательности (уп)-
Пусть теперь /3 — частичный предел последовательности (у„) и Km уЧп = /?. Поскольку
П—
*оо
у/п > 
0
, то определена подпоследовательность (хп) = (уп п п ^ , а следовательно, и подпосле­
довательность (хЧп) = {у<ы (уп) Чп ^ , которая имеет своим пределом число fi. ►
104. 
Пусть последовательность (х„) сходится, а последовательность (уп) расходится. 
Что можно 
утверждать о сходимости последовательностей: 
а) (*» + Уп); 6) (*п»п)?
Привести соответствующие примеры (для случая б)).

§ 6. Предел последовательности
65
◄ а) Последовательность (х„ + уп) расходится. Если бы она сходилась, то сходйлась 
бы и разность последовательностей (х„) и (хп + Уп)- Но это невозможно в силу тбго, ‘йТб 
(х„ - (х„ + у,г)) — 
- ( у п )
а (уп) — расходится. 
” '
б) Последовательность может как сходиться, так и расходиться. Например:
1
) последовательность (хп) = (^ ) сходится, а последовательность (у„) = ((—
1
)п) расхо­
дится, однако их произведение (хпуп) = ( 
) образует сходящуюся последдва$&п
1
к&йЖ(''
' " ' 
, 
п \ 
■
1
. 
0.1
2)
последовательность 
(х„) = ( ^ j - )
сходится, а 
(
у п ) =
( <’~ 1^ 1П ) 
расходится; их произве­
дение 
( х п У п )
= ( y ji) " , ^ тоже расходится. ► 
, : . :1,!V

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: