Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

Гл. 1. Введение в анализ
'•44
6 5 . Доказать, что:
a) 
lim qn — 
0
при |?| < 
1
; б) lim qn = оо при |?| > 
1
.
п - * о о  
п —»оо
4  а) Если q = 0, то равенство а) очевидно. Пусть е > 0 — произвольно и 
0
< |Тогда, пользуясь неравенством Бернулли, получим
м
_ < £
у „ > Л
Отсюда
Ып = 
\яп\ <
б) Пусть |g| > 1 н Д >
0
—• произвольно. Тогда из неравенства
1«П = (1 + (Ы - 1))” > 1 + п(|?| - 1) > n(|g| - 1) > Д
находим, что
|д|п > Д
Vn >
Ы ~
1
'
Найти следующие пределы:
6 6
. Urn ( 1 + 4 + Л + ••• + — — V
n-oo V
2
 
22
т
23
 
2
П )
< Положим S„ = “ + £ + £ + . . . +
Тогда 
О 
U
1 , / 3
1 \
/ 5 
3 \
5 п - 1 + 1 + - + . . . +
^ 2
г - 1
2?i -
3 \
2n — 1
2n
2n )
2"+!
1 , / 1
1
~ 2 + {2
+
22
+ . . . + ;
— 1 _L 1 - З ^ т
2» — 1
1 - i
2"
Таким образом,
lim S „ = lim f l + i ----
2
^
1
-
= Um ( l +
2
 - -
1
- -
=
n—oo 
П-.00 Y 
1 —
 - 
2n 
J
n—oo \ 
2
n~2 
2” у
= Inn 3 - lim —
- 2 lim 
+ lim ~  = 3.
n — oo 
n — oo 2 " 2 
n — oo 2 n
П
- . 0 0
2 n
Здесь воспользовались тем, что 
»
(1
+ l ) n 
1
+ „ +
+ . .. +
1
n -  
1
< e
для произвольного e > 
0
, если в >
1
+ - , т. e. lim rj- =
0
. ►
6 7 . lim ( —
-f . .. н—
.
n-.oo yl •2 
2-3 
n(n -)-1
) J
◄ Заметим, что
r b + ^
+ - - + ^ T i ) = (1- | ) + ( b D + --- + ( i - d ^ ) = 1~^TT-
Тогда
JiSo ( г л + г з + •••+ ^ T i y ) ~ n'Lmoo 0 *■ ^
t t
) = *•
6 8
. lim (y/2 • \ П ■ \p i . .. %/
2
).

§6. Предел последовательности
◄ Так как л/2 • у/2- \ Л  . . . 2^ 2 =
22
+ 
4
+ +
2
" =
21
-
2
» = —
и при п > 2
U
1
22
»
2
= ^
2
2* ^ 
= ^
1
+ ^
22
” -
1
^
> ^
1
+ ^
22
” -
1
^ =
=
1
+ » ^
2 2
5Г - l ) + . . . ' + ^
2
^
- l ) "
> п ( 2 ^
- l ) , т .е . О < г 2* — 
1
<
1
то 
2
2П —* 
1
при п —►
оо и предел последовательности равен 
2
. ►
Доказать следующие равенства:
6 9 . lim ^— =
0
.
п -* сю « !
< Равенство следует из неравенства
. Л 
2” 
2 2 2
n! 
1
2
3
и из того, что (1 ) " —►
0 при я —
+ оо (см. пример 65). ►
7 0 . lim — =
0
, 
а
>
1
.
п—
* оо ап
◄ Пусть т — целое и т ^ к . Тогда
п
_ Я* 
^ пт _
(
Я 
\ т _ { п \ ’
0
< ^ ^
- ^ " 7 ^ )  
_
где Ъ = 
у / а  
>
1
. Но
О < — =
2
п
Ъп
(1 + ( Ь - 1 ) ) п 
1 -+ »(Ь - 1) +
(6 - I ) 2 + . . . + (6 - 1)" 
я ( я - 1 ) ( 6 - 1 ) *
при п —►
оо; тогда, применяя теорему о предельном переходе в произведении, 
п о л у ч а е м , ЧТО 
(рг) —►
0
при я —►
оо, откуда следует требуемое. ►
7 1 . lim 
^ 7
=
0
.
П—ОО п:
< Равенство нулю предела следует из очевидного неравенства
о < | — | = М . Н
И . _ Н _ . . . Н <
1
д Г ( _ м _ у ~
I я! I 
1
2
" " m m +
1
" ’ я 
m! \ т  +
1
J
< е,
справедливого при любом £ > 
0
и т +
1
> |о |, если я достаточно велико. ►
7 2 .
lim nqn =
0
, если |g| < 
1
.
гг—►
оо
◄ Доказательство следует из того, что
|«?"| = г р г =
Ь> 1 (см. пример 70). ►
И
7 3 . lim л/а =
1
.
П —«■ ОО
◄ При а = 
1
равенство очевидно. Пусть а > 
1
, тогда у/а > 1 и (см. пример 40)
й —
 
( 1
+ ( 
\/5
 — 
1
))" >
1
+ п( 
у/а
— 
1
) > я( 
у/а —
 
1
),
откуда получаем, что 
0
< (/а -
1
< ^ < г при в > f (е > 
0
), т. е. 
1
/ а -> 
1
при я —►
оо. 
Если 0 < а < 1, то ~ > 1 и по доказанному y j ^ —^ 
1
при я —►
оо Но тогда
«
I 
в

46
Гл. 1. Введенне в анализ
74.
lim f e
= o, в >
1
.
п —*оо 
Н
◄ Так как lim £ = О, Ь > 1 (см. решение примера 70), то — < — < 1 при достаточно
1
ft
большом я . Положим b = ае, где о > 1, а е > 0 — произвольное. Тогда ---- < ---- < 
1
аеп 
асп
или 
1
< и < а2п.
Логарифмируя последнее неравенство, имеем 
0
< logan < еп, откуда 
0
< 
< е при
достаточно большом я. Из последнего неравенства и следует утверждение. ►
75.
lim (Уя =
1
.
П ► ОО
◄ Из очевидного неравенства
я =
(1
+' (
-
1
))" =
1
+ „( t f i -
1
) + w(?t~ 
y r t -
1)2
+
следует, что | (/n — ] | < < /
< 
e
при произвольном 
e
> 
0
и при всех я > 
1
+
2
е~2. ►
76. 
lim -^т= =
0
.
n - . o o
у я !
◄ Покажем сначала, что
■ЧтГ-
Применим метод математической индукции. При я =
1
неравенство справедливо. Далее, 
если оно справедливо при я , то для я + 
1
имеем
(ч +
1
)! = ,.!(« +
1
) > ( | ) " ( „ +
1
) = ( i ± i . ) “+' . 
> 
•
Последнее неравенство справедливо, так как
— Ч ( Ч ) - Ч ( Ч ) ( Ч )
■('—
)<
< 1
+ , + i! + " ' + S
< 1 + 1
+
5
+
• +
2
^
<
1
1
< 1
+ 
1
+ 
2
+ - ■• + 
2
^
+ " '
= 1
+ Г З Т = 3-
Существование и равенство нулю предела вытекает из неравенства
о < 4 , < - Д = = £ < г ,
уп!
# г
*
справедливого для любого е > 
0
при всех я > j .  ►
7 7 . Доказать, что последовательность (*„), где
x „ = ( l + I ) ,
монотонно возрастает и ограничена сверху, а последовательность (уп), где
/ 
1
\»+ !
у- 
- (i + - )
,
монотонно убывает и ограничена снизу. Следовательно, они имеют общий предел:
lim 
(1
+
1
) П= lim 
(1
+ - Г
+1 
n — o o \
П /
n — oo
V 
П /
= e.

•Я Согласно неравенству примера 40, имеем
£п±
1
_ _
( Ц ^ Г 1
§ 6. Предел последовательности
Xn 
(1
+
_______
1
i ) n 
у  
(п +
1
? )
п 
> \  
п +
1
/
«
п +
1
У п - 1
(
1
+ = Ы
“ ~ 0
+ = £ г Г '
•
< -
1
1
 +
*
2-1
п +
1
_ и
3
+ п2 — п — 
1 
» 
«3
+ и
2
— п
<
1
,
т. е. х„ / ,  а уп \ . Далее, х п < Уп и 0 < уп — х„ = ( l + £ ) “ “ < ~ > 0 при п —*■ оо; 
0
*кУДЙ-
{Уп - х„) — 0 при п — оо. 
?
Следовательно, lim х п = lim уп = е. ►
п
—»оо 
п —*оо
78. 
Доказать, что
(
1
\ •» 
т 
. 
у 'i.i.-t:
1
+ - ) < - ,
n € N.
п /
п
При каких значениях показателя п выражение 
^1
+ —^ будет отличаться от числа е меньше 
чем на 
0,001
?
Я Согласно примеру 77, имеем (l +
—) " +1
> е. Тогда
0 < e - ( i + I ) n < ( i + I ) n+1_ ( i + I ) n < ( i + i r i < i < i < _ L
при « > з о о р . ►
\
п )  
V 
« /
V 
п )
\
п / п 
п 
п 
1000
'
7 9 .
Пусть (рп) — произвольная последовательность чисел, стремящаяся к +оо, и (произвольная последовательность чисел, стремящаяся к —оо. Доказать, что 
г;-
Ц,п Л + _ ! _ у Л = Ид, Л +
2
. у “ = е.
и —оо у 
р п J
П— ОО у
?п /
Я Пусть (пк) — произвольная последовательность целых чисел, стремящаяся к +
00
-'То­
гда из неравенства
| ^1 + ^ — с| < е при п > N(e), е > 0 ,
следует, что 
^1
+
— е| < е при n* > N(e), т. е. lira ^1 +
= е.
Если произвольная числовая последовательность (р*), р* > 1, стремится к +оо, то суще­
ствует такая последовательность целых чисел (п*), что и* ^ рк < «а + 1 и «* —►
+оо. Так 
как левая и правая части очевидного неравенства
(
\ n* 
+1
 
Я
- < ( i + i X
> < ( 1 + i . r ( i + i ) ' " "
' 7
1 + ^+Т 
V 
Рк/
'
Пк)
V
(
J 
\ Р к
1
+ — J 
= е.
Если произвольная последовательность чисел (д*), —
9
* > 1, стремится к —оо, то, полагая 
Цк — —or*, Получаем

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: