Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

§ 1. Производная явной функции
123
Это и есть требуемое уравнение. ►
Упражнения для самостоятельной работы 
Найти производные следующих функций:
!• / : х 
Ж 1п 
Ifrf I 
“ £ arctg* -
64
8(*4-! ) 2 
32(*4- lV
е 
4
2 .
f : x ^
4 v V ^ T 2 — 1 — 2 х / 2 a r c t g
+ 1 .
3. / : * i - l n | t K ( § + f ) | - r i b - 3 r i ^ + 4 -
j?2 
^.2 
I 2
. 
, 
1
, e T +
-y/2eT +
1
1
e T -
1
4. / н и — = In —;---------- 5-------- ----- 7= arctS --------Г
8>/2
 
i i
- - i f
4 л / 2
i !
e 
2
— -y/2 e 4 + 1
y/2 t
2
5 .
f
: 
x
1
—► a r c t g \ / c o s 2 x — t
/
cos
2 x . 
6
. / : г
s i n 2 ( w c o s ( v i ) + c o s
2
( a ; s i n
ax).
f -
 
^ —a * 2 
sh аог+ s i n aa; 
л
л 
/ 
( 
* 
\
7. t : x 
. 
8• f \ x i—* ---- r -------. 
9• f \ x i—*■
arcsm (cos 
4* sin пя).
y 
1 + /3
j
?2 
'
c h c w + c o s а г
J
 
v 
/
1 0
. 
f \ x
s i n ( a r c s m o r + a r c c o s a x ) .
1 1
. / : г и A s m
0
( / l x +
7
) .
(
2
(e
*2
+ l ) ) "
1
+ 3 .
12
. / : x
---
13. / : x
/
1+11
t + .И
14. / : x 
1
—* ctg (o tg (b arctg (cx))).
к- +
1/2
+1
’
1 5 .
f : x t-т
( l o R a y
^
y
.
1 6 .
I T . / : x
l n a ( l n (,( ] n c x ) ) .
1 8 . / : x i • 
( s i t : r ) J . 
1 9 . / :
i
h
/
.
 
20. f : x ^
'
Н а й т и п р о и з в о д н ы е с л е д у ю щ и х в е к т о р - ф у н к ц и й :
21.
f
: 
I и
( a r c c o s i , a r c s i n ( s i n
г ) , 
s i n a ( x ) , c o s « ( x ) ) .
22
.
f
:
i h
t h и л ( х ) , c h «
4
( x ) , s h u
6
( x ) ^ .
2 3 . f : 
x
ы - ( 2
tx, it
— x 3 , s i n w t , c o s c o x ) .
24. 
f : 
t 
s-> ( e a t c o s
i,
e a t s i n t , и ( y ) , 
«(sin 
t ) ) .
25.
f
: 
p
1
—► 
(p(p)
s i n
1
p, p[p)
c o s
p, p2
— 
xp, p3
— 
x2p)
.
26.
f
: pi— (ps'mp(p), pcosp(p
) ,
p2(p)
-
xp(p), p3(p2) - x2p(p2)).
27. f : i к ^sin(e2a:), esln x, ^(sili
2
x), ^(cos
2
x)^ .
28. f : i b
arctS 
4
:
4
). 
.
29. f : i ' H (Vi 
> h{ u{ x ) v( x ) ), f 3 (sintt(a(x)))j .
30. a) f : 
1
t-* 
)C Я (х ), 
; 
6) f •' x ^ (:jl/( x )l> a^sinx, x^cosx).
31.
Н а к р и в о й н а й т и т о ч к и , в к о т о р ы х к а с а т е л ь н а я к . н е й к о л л и н е а р н а у к а з а н н о м у в е к ­
т о р у , а к р и в а я о п и с ы в а е т с я с л е д у ю щ и м р а д и у с о м - в е к т о р о м ( в е в к л и д о в о м к о н е ч н о м е р н о м
п р о с т р а н с т в е
Е
) :
а ) f : 
t
ь-> ( 3 c o s i , 4 s i n i , 5
1),
0 ^
t <
2гт, a = ( 0 , 4 , 5 ) ;
б
) f : < ( - . ( < ,
t2,
i 3 ) , 0 ^ * < 4 , a = ( 2 , 4 ,
6
) ;
в ) f : <
k
( e / , e - t , s l i t ) ,
—00
<
t
< +
00
, a = (
1
, —
1
, 
0
) .
32.
Н а й т и в е л и ч и н у с к о р о с т и д в и ж е н и я м а т е р и а л ь н о й т о ч к и п о к р и в о й , е с л и р а д и у с -
в е к т о р е е и м е е т в и д :
a ) f (
t)
= ( s i n i , 3 c o s t ) в м о м е н т
t
= гг: 
6
) f ( i ) = ( s i n i 2 , 3 c o s i 2 ) в м о м е н т
t =
y T ;
в )
f (
t
) = ( s i n у , c o s i , i )
в м о м е н т
t — \ -
33.
Н а д а н н ы х т р а е к т о р и я х н а й т и т о ч к и п о к о я , е с л и т р а е к т о р и и о п и с ы в а ю т с я с л е д у ю щ и ­
м и в е к т о р - ф у н к ц и я м и :
a ) f : t w ( s i n ( i
2
x ) , c o s
(tx),
c h i ) ;
6
) f : 
1
1
- * ^ i
2
+ ( 1 -
x)t, 212
- x t + 1 , 
~ + x2t -
1 7 t ) ;
в )
f : i
1
—►
(xt
+
It2 + it, 2xt
+ | i
2
- 4 i +
З) .
34.
П о к а з а т ь , ч т о т р а е к т о р и и , к о т о р ы е о п и с ы в а ю т с я с л е д у ю щ и м и в е к т о р - ф у н к ц и я м и ,
о р т о г о н а л ь н ы :
a ) f i : 
t
н-> ( i s i n i , i c o s i ,
1
) и
£2
: i
( i c o s i , — t s i n i ,
2
) ;

124
б) fi : 1
( j |/ i ( f ) |, u2(t), u
2
(t)) и f
2
: 1 e-* 
- j , l ) t. 
i 
. . r .
35. Найти кинетическую энергию системы материальных точек с массами Шк, движу­
щихся по следующим траекториям:
а) f* : ( м
sinozt, costotj (к =
1
, «; то*, =
1
);
б) ffc : < I—<- (arcsin (sin kt), arccos (cos kt)) (к = 
1
, n; in к = kp).
36. Найти производные следующих комплекснозначных функций:
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
а) / : х м х In х -)- it х ; 
б) / : a: i—►
е'ш;,:(со
5
«ж + г sin «ж);
в) / : х 
cos2(ж + гг3); 
г) / : х >-*• 
1
п
3
(
2
х + гг2).
Найти производные следующих матричных функций: 
sli х
2
cli х г А
t h x 2 
C . t l l Z 2 
у
 
•
у £«1*0 
и ^ е
sinХ{ху) 
4
37. / : х Н- 
39. / : г и
41. f : х
У
(ду Г пг<____________
\ J х + \ / х 2 + 
arccos (arctg (arsli 
X х ) )
hix(lnx x)
и (г
i(x))
"(*)
42. / : x I
sin
1
(sin-* x)
1
I * - M l
In (a(x)ln u(x))
П
к/
l + u2(x)
E lnlcos^ |
k=l 
k= 
1
Вычислить производные функций / по множеству, если:
43. f (x ) = ех при х — 
п & N.
44. f ( x ) = sin 2х при х 
6
Е, Е =  {1, §, 
5
, j ,
j , . .. }.
45. /(х ) = ж1п(1+ж3) при х е Е , Е = {  1, л/
2
, 
$3, 7
-,  ^ 4 , . . . } .
46. /(х ) =
при х е Е, Е = Q.
47. Пусть а = а(ж), b = Ь(ж), с = с(х) — вектор-функции (а(х), b(x), 
с(х) е Е 3), 
имеющие конечные производные. Доказать, что:
а) [а(х), Ь(ж)]' = [а'(ж), Ь(ж)] + [а(х), Ь'(ж)];
б) (а(х)Ь(ж)с(ж))' = (а'(ж)Ь(ж)с(ж)) +
(
а
(
х
) Ъ ’
(х)с(х))
+ (а(ж)Ь(ж)с'(ж)).
48. Найти производные от следующих определителей:
а)
sin 
х2
2
cos 
х 2 
2
; б)
2 
3 
X 
X 
X
2 
3 
4 
X
X
X
; в)
е х
е 2х
е 2х 
е3х 
е 3х 
eix
— COS 
X
Sill 
X
x3 
ж4 
хь
е 3х
e i x
е Ьх
sin х 
sin 2х sin Зж sin 4ж
. 
sin 2x sin Зж sin 4ж sin 5x 
г )
sin Зж sin 4x sin 5x sin 6x 
sin 4x sin 5x sin 
6
ж sin7x
49. Пусть A(x), B(x) — функциональные матрицы, имеющие конечные производные. 
Показать, что
(det. (
А ( х ) В ( х ) ) У
= (det 
А ( х ) ) '
det 
В ( х )
+ det Д(ж) (det 
В ( х ) ) '
.
Найти производные функций / , если:
50
f i x ) -
I
я Ь 2 г х ’
5° ‘ Л 1 ) - \ и ,
х
6 R\(Q).
51. 
а ) 
/(ж) = inf {cos £}; 
б) 
/(х ) = sup {cos£}. 
52. 
/ ( a : )
= c o s^ -- lim x2nW .
0
<^a:
53. a) 
f ( x )
= 

6) /(ж) =
<р(ф(х));
в) 
f( x ) = ф(р(х))-,
г) /(ж) = 
ф(ф(х)),
где
, . 
I х , 
если
¥>(ж) = { 
2
1
х , если
й>
1
: «•>-{ Г
если 
0
^ х < +оо, 
если - оо < х < 
0
.

54. /( х ) = Кш f t c h ^ '
55> а) /(* 0 = Um E ln arct)g 
’
°° k=i 
n^°° k=\
6 ) / ( x ) = lim П
* ) f ( x ) = l™ E sin ( £ + z 2) •
n—oo 
|_.=1 
\
' 
°0
k=0
Вычислить правую и левую производные следующих функций:
56. а) / : 
х 
н-> 
( i ) , где 
y>(t) 
— расстояние до ближайшего целого числа;
6 ) / :
i h
m in(tg х, 2 — sin2x), - § < х < J ; в) / :
i k
m ax(4|;r|-1, x 2).
57. /
:
i h
[z2]|siin rx 2|. 
58. a) / : x >-+ ----- —— , x ф 1, / ( 1) = 1;
1 _ 2 i - i
6) / : * •— ^
1
,
x ф 1, /(1 ) = 6.
59. a) / : x 
h
-. lim e*sin ' 2; 6) / : 
i k
J m eIS,n‘s .
t—
“OO 
t — OQ
60. f : x ~ [ x p , x 2 \ .  
61. / : * - { lsin™l*- x e Q
L J 
[
0
, 
x €  K\Q.
62. Найти 
f L ( x
о) и /+ (го) в точках разрыва х0 функции / , если: 
а) /( * ) = М И ; б) /( х ) = 1Л^
Т-
63. При каком условии функция
/ : ас *—
*• № “ [|х |2/3] , а: ф 0, и /(0 ) = 0
имеет конечную производную при х = 0?
64. Пусть
=
■(!- * Г ‘> 
к е п .
1=0
Вывести рекуррентное соотношение для функций /*.
65. Найти числа Дини

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: