' Г*  § 4. Производные и дифференциалы высших порядков

142
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
◄ Умножив левую часть первого равенства на i и сложив с левой частью второго равен­
ства, получим
(еах cos(Ъх + с))(п> + (геах sin(bx + с))(п> = е<с(е<в+6,'>*)<п> = е‘с(а + Ы)а е(а+6*> =
= (а2 + Ь2) 
2
е(а+(п) 
_ (а2 _|_ ^ 2 f a l(cos^ x 
с 
_|_ j'sin(f>x + с + nip)).
Отсюда по аксиоме равенства комплексных чисел и следуют доказываемые формулы. ►
7 6 .
Преобразовав функцию / : х i—►
sin2p х, где р — натуральное число, в тригонометри­
ческий многочлен
р
/(* ) = £
Ак cos 2кх, 
к = 0
найти f ^n\ x ) .
◄ Сначала с помощью формул Эйлера и бинома Ньютона преобразуем функцию / в 
тригонометрический многочлен. Имеем
2 р 
/ е 
с 
sin г X =
,ta- 
л —
ta*
-IX \  2Р
( -
1
)
2j>
2*v
п
£ ( - 1
)k
C%
e'k
xe~i(2
p
~k
)x
 =
= 
Ц зГ
£
Ы ) кС ^ е 2<к~”А + ^ .
\к=0 
к=р
+ 1 
/
Во второй сумме, стоящей в скобках, введем новый индекс суммирования к1, полагая к = 
2р — к ' . При этом, использовав известную формулу С^р = С'^~к, получим
sin2p х
= (- w -  ( й
- 1) * 6!
eH k ~ p)s +  £ ( - i ) fc,c 2p- * 'e 2>
=
\ k = 0 
fc'=0 
/
22p •
Далее, по одной из формул пункта 4.2,
( s i n =P * ) ( » ) =
U L
£ ( - 1
)*С%,
2
п (к
-
р ) п 
c o s
 
( 2
 
{к
-
Р ) х  + ^
) =
к —О
=
£ ( - l ) fc+PC t 2’- 2p+1 
(к - р ) п
COS 
(2
(к
-
Р ) х +
.
к = 0
7 7 . И спользуя тож дество ——^—- = 4? f
: ---- г) , доказать, что
X1 + 1 
2г \ х ~ г 
X + г)
(  
1 
V n) 
(—1)” п!
/
= -------- ~Ъ±Г sinWn + г>arcctg *)•
(т2 + 1) 2
◄ Сначала и раз продифференцируем указанное тождество:
(  
1 
\ (n) = 1 (  (~1)пн! _ (—1)"и!
U 2 + 1 / 
2г \^(х —г)п+1 
( х -(-i)n+1
Далее, применяя к комплексным числам (х —г)~п_1 и (х + г)- " -1 формулу Муавра, имее 
(х М Г у ) 
= ----2г----((1 + а ; ) 
2 (со*(и + 1) у? + г sin (и + 1) <р) —
— ( 1 + х 2) 
2
(cos()i + 1) tp — ish\(n + 1) f )  = —^ ^ s i n ( ; i + 1) <
,
(1 + x 2) ~

§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков
143
где V5 = arg (х + i) = ^ — arctg х — arcctg х . ► 
. 7 8 .
Найти / (,,)(0), если / ( х ) = arctg x .
◄ Дифференцируя / два раза, получаем
/'( * ) = у + х2
/" (* ) =
—2х 
_  - 2 x f
(1 + X2)2 
1 + X2 ’
откуда (1 + х2) /" ( х ) + 2х /'( х ) = 0.
Применяя к полученному тождеству формулу Лейбница, находим
(1 + x 2) f (n\ x )  + 2 (и - 2) х / <п- 1)(х) + (п - 2)(н - 3 ) / (п- 2)(х) +
+ 2 х /(п-1)(х) +
2 
(« -
2 ) / (
п
_2)(
х
) 
=
0.
Подставив г- = 0, имеем рекуррентное соотношение
/ ( ”)(0) = - ( п - 1 ) ( п - 2 ) / (п- 2Н0),
из которого при п четном находим / (2*>(0) = о, а при n = 2к + 1, последовательно полагая 
к = 0, 1, 2 . . . , — формулу
f (2k+l)(0) = (—1)^(2*:)!, 
к е  
Zo. ►
79.
Вычислить / (п)(0), если /(х ) 
= 
c o s
(
j
«
arcsinх).
◄ Дифференцируем / и возводим найденное выражение в квадрат, а затем дифференци­
руем полученное еще раз и приходим к тождеству
(1 - х2)/" (х ) - х /'(х ) + ш2/(х ) = 0.
Дифференцируя это тождество п — 2 раза с помощью формулы Лейбница, получаем
(1 
- х2)/<п>(х) - 2x(n 
- 2 ) f ( " ~ 1)(x) - (м -
2)(п 
- i ) f (n~2\ x )  -
- х/<п~1)(х) -
( п -
2
) / (
п
“
2
) (
х
)
+ m 2/ (n“ 2)(x) = 0.
Отсюда при х = 0 следует рекуррентная формула
/ (n)(0) = ( ( n - 2 ) 2 - m 2)/(0), 
(1)
из которой при п = 2к, к £ N, с учетом начального значения /(0 ) = 1 находим 
f (2k)(0) = ( - l ) * m 2(m 2 - 22) . . . (m2 - (2к - 2)2).
Аналогично, полагая в (1) п — 2к + 1, к £ N, и учитывая значение /'( 0 ) = 0, приходим к 
равенству
f (2k+l\ 0) = 0. ►
8 0 . Доказать, что функция
/ : х i-t-
x2n sin -
0,
х Ф 0,
х
= 0,
п € N, в точке х = 0 имеет производные до n -го порядка включительно и не имеет производ­
ной (п + 1)-го порядка.
◄ Поскольку lim 
— 0, то /'(0 ) = 0. Предположим, что для некоторого натурального
.г—*0
к ^ п — 1 (« = 2, 3, . . . ) /(*>(0) =
0
. 
Покажем, что тогда и f ^ k+1\ 0 )  =
0
. 
Действительно, 
поскольку
= ] П С'к 2n(2n - 1) . . . (2и - k + i + 1 ) x 2n~k+i (sin 
,
i a O
i / 0 ,
(1)
то по определению производной
f (k+1){u) = liin 
- / (4 ° I _ i;
j?—0 
X
= lim V
d 2 n ( 2 n - l ) . . . ( 2 n - k + i + l) 
x2n- fc+’- 1 fsin ^ У '= 0.
X

Здесь учитываем то, что функция (sin 
содержит член вида 
sin ^ или 
cos - (в
зависимости от того, четное или нечетное к).
Итак, с помощью метода математической индукции мы показали, что /<*>(0) = 0 м =
1 , п .
Наконец, полагая в (1) к = п, замечаем, что liin f ( n\ x )  не существует, т. е. функция / ^
X —+Q
разрывна в нуле. Следовательно, она не может иметь производной в этой точке. ► 
Упражнения для самостоятельной работы 
Найти n-ю производную функции / :
144 
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
136. /(* ) = ех . 137. f{x) =
140. Найти f '( x),  если
f i(x) 
/ 2(х)
f l (x) 
Ш
/(* )
138. f i x ) = х2<р"(х). 139. f i x ) = X”
fn(x) 
<р(х)
f'nix) 

f[n\*) fin\*)
Найти n-ю производную:
141. 
f i x )
= (sin2x, sin2 
x, x k), 
к € N. 
142. 
f i x )
= 
143. 
f i x )
=
144. 
f i x ) = x 2ei x.
. /p<»>(x)
x
x* + l
sh2x
»(»)
/
1 
X
. 
хп
145. /(х ) 
=
xsin(3x 
+ 2 г ) .
146. /(х ) 
=
X 
х2
. 
х п+1
\
х п х п+1 
. . 
х2п
147. Пусть u = u(x), v = v(x) есть n -кратно дифференцируемые вектор-функции. Тогда
(u(x), v(x))<"> = £ Ск (u(fc)(x), v < -* )(x )) .
k=0
Доказать это.
148. Доказать, что формула Лейбница (n -кратного дифференцирования произведения) 
справедлива также для матричных функций А — Л(х) и В = Н(х), т. е.
(Л(х)Д(х))<"> = £ С кА^к\ х ) В ^ ~ к\ х ) ,
к
=О
если А и В  есть n -кратно дифференцируемые функции.
Найти п -ю производную, используя примеры 147, 148:
149. f (х) = (u(x), v(x)) , если:
150. f ( x )  = А{х) В( х) у если:
ч ./ v 
f  sin пх 
cos пх .
а) А(х) =
, В(х
' 
V — cos пх 
sin пх 1 
v
б) А(х)
_ ( хех х2е2х 
x V * \
, . __
- ^ 
1
х п 
Х
2
П J , # (х ) -
151. Показать, что функция
у = f i x ) = C\e'wx + С'2е '
удовлетворяет уравнению у" + ш2у = 0.
152. Показать, что функция
ех, е2х, .
, е “
(*, *2, •• . , Х П).
sh пх
ch пх
—ch пх
sh пх
/
х
х2
I i+*
0 + *)2
1 
4
1
\ In X
1п2 X
(о», Ci, С
-2
— постоянные)
s = s(<) = p -ln сhiky/gt),

146
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
а) х = у + у3; б) х = у + sin у .
163. Вычислить d2f ( 0) функции / : х (-*• |х|а arctg 
ж ф 0, и /(0 ) = 0.
164. Найти /"(0 ), если у = /(ж) и х = 2t — t2, у = (t — l) 4.
165. Найти /"(ж ) функции у = /(ж ), заданной параметрически:
x(t) =
2t, t < 1,
t2, t >  1,
y{t) =
^ arcsin t, 
|t| ^ 1,
1 + t - t 2, 
|t| > 1.
166. Вычислить вторую производную функции у = /(ж ), заданной неявно уравнением 
sin(xy) = х + у - | , у > 0 , в точке х = | .
167. Найти 
/
5 0 0
(
3
')) если:
/ n+l(x) = X Д (х),
168. Вычислить /'(0 ), если функция / : х н-+ у задана уравнением у& + х3 + х2 — у2 = 0 и 
дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки х = 0.
Вычислить 
/С6о>(0), если:
169. /(х ) = мп(*2). 
170. /(х ) =
171. f ( x) = - ^ T . 
172. у = /(* ), x = 2 t - t 2, y = 3 t - t 3.
Найти 
, если:
173. /(х ) = sin(«(x)v(x)). 
174. /(х ) = arcsin 
175. /(х ) = и(х) e~vJl<-xK
176. /(х ) = 1и(«(Дх))). 177. f ( x ) = («(х) + «(х), * § } ). 178. /( * ) = ( “аЗД
179. у = /(х ); 
a) 
y(t) = i sin t , x(t) = tcost; 6) y(ip) — p(ip) sin уз, x(ip) = p(ip) cos уз.
180. у = Д х ); y(t) = (sint, cost, tg t), x(f) = 3f + t3.
181. у = Д х ); y(i) = ^ 
<2
^3

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: